L'equazione fondamentale della magnetostatica

==Potenziale scalare e potenziale vettore==
Come nel caso dell'elettrostatica, abbiamo trovato le due equazioni di Maxwell per la magnetostatica:

<math display="block"> \begin{align}
&\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B} =0 \\
&\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}
\end{align}
</math>

In elettrostatica, poiché avevamo a che fare con un campo conservativo, abbiamo potuto definire un potenziale scalare <math>V</math> tramite cui si poteva risalire al campo elettrico calcolandone il gradiente <math>\mathbf{E} = -\boldsymbol{\nabla} V</math>. Allo stesso modo, ''potremmo supporre <math>\mathbf{B}</math> conservativo'', la cosa non è così strana, alla fine: è vero che il rotore non è nullo, ma lì dove è nulla la corrente, risulta esserlo. Quindi, in queste zone di spazio si potrebbe definire un '''potenziale magnetico scalare''' <math>\phi</math> legato al campo di induzione tramite l'equazione <math>\mathbf{B} = - \boldsymbol{\nabla} \phi</math>; affinché ciò possa essere fatto, il dominio in cui è definito il potenziale deve essere ''semplicemente connesso'', e non è proprio così scontato che lo sia. In ogni caso, ricavato il potenziale scalare, il problema diventa simile ai problemi di elettrostatica finora trattati: si calcola il gradiente del potenziale per ottenere il campo magnetico.

Tuttavia, questo sviluppo matematico è solo ciò che sembra essere: uno sviluppo matematico. Nonostante sia a volte utilizzato nella pratica per calcolare i campi magnetici di zone in cui non sono presenti correnti, questo metodo '''non ha applicazioni nella teoria''', quindi non risulta essere proprio così utile.

Inutile invece non è lo sviluppo della teoria sfruttando il potenziale vettore <math>\mathbf{A}</math>, che abbiamo determinato dopo aver confermato che <math>\mathbf{B}</math> è un campo solenoidale, e lo è sempre. La comodità del potenziale vettore sta nel fatto che '''non è univocamente determinato''': l'unica equazione che deve risolvere, ovvero l'unico vincolo che poniamo, è che <math>\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} = \mathbf{B}</math>, '''non ci sono restrizioni sulla sua divergenza'''. Parlando del rotore di <math>\mathbf{B}</math> abbiamo visto come questa libertà di scelta ci ha permesso di determinare un potenziale vettore ''a divergenza nulla'', ma non è l'unico modo per poterlo determinare. La cosa fondamentale, e centrale in tutto il nostro discorso, è che '''qualsiasi gioco facciamo con <math>\mathbf{A}</math>, questo non altera il campo <math>\mathbf{B}</math>''', tanto che deve essere sempre vero <math>\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} = \mathbf{B}</math> per come lo abbiamo definito. Quindi, cambia la matematica, cambia la trattazione teorica degli elementi in gioco, ma '''la fisica non cambia''': questo è il succo delle trasformazioni di gauge. Una trasformazione come quella che abbiamo sfruttato nella sezione 6.6 viene comunemente chiamata '''gauge coulombiana'''. In questa, abbiamo preso un potenziale scalare <math>\phi</math> il cui laplaciano fosse la divergenza del potenziale vettore, ovvero <math>\boldsymbol{\nabla}^2 \phi = - \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A}</math>. C'è un'analogia non banale tra questa equazione e l'equazione di Poisson:

<math display="block"> \begin{align}
&\boldsymbol{\nabla}^2 \phi = - \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A} \\
&\boldsymbol{\nabla}^2 V=  - \frac{\rho}{\epsilon_0}
\end{align}
</math>

A tutti gli effetti, essendo <math>\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A}</math> ''uno scalare'', '''queste due equazioni sono identiche'''. E a equazioni identiche ''corrispondono soluzioni identiche'', quindi ha senso scrivere:

<math display="block"> \begin{align}
&\phi = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_{\tau'} \frac{\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A}}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} d \tau' \\
&V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_{\tau'} \frac{\rho ( \mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} d\tau'
\end{align}
</math>

L'espressione del potenziale scalare, sotto la gauge coulombiana, è formalmente identica al potenziale elettrico.

==L'equazione della magnetostatica==
La potenza del potenziale vettore sta anche nella sua pratica utilità: come abbiamo fatto per il potenziale elettrico, a partire dalle due equazioni di Maxwell possiamo ottenere un'unica equazione differenziale in termini di <math>\mathbf{A}</math>:

<math display="block">
\begin{align}
&\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B} =0  \, \rightarrow \, \mathbf{B} =\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}\\
&\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}
\end{align}
</math>

Legando queste due equazioni otteniamo '''l'equazione fondamentale della magnetostatica''':

<math display="block"> \boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B} = \boldsymbol{\nabla} \times ( \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}) = - \boldsymbol{\nabla}^2 \mathbf{A} + \boldsymbol{\nabla} ( \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A} ) = \mu_0 \mathbf{J}</math>

Sotto la gauge coulombiana, il potenziale vettore è un campo solenoidale a divergenza nulla. In pratica, sotto queste condizioni, possiamo scrivere:

<math display="block"> \boldsymbol{\nabla}^2 \mathbf{A} = - \mu_0 \mathbf{J}</math>

Questa ''sembra'' essere formalmente identica all'equazione di Poisson, tuttavia questo ''è un sistema di tre equazioni'' lungo le tre coordinate cartesiane:

<math display="block">
\left| \begin{align}
&\boldsymbol{\nabla}^2 A_x = - \mu_0 J_x \\
&\boldsymbol{\nabla}^2 A_y = - \mu_0 J_y \\
&\boldsymbol{\nabla}^2 A_z = - \mu_0 J_z
\end{align} \right.
</math>

Queste tre equazioni di Poisson sono identiche all'equazione di Poisson dell'elettrostatica (la ripetizione del nome è volontaria), quindi la soluzione è identica, ovvero possiamo esprimere il potenziale vettore in termini della sua sorgente <math>\mathbf{J}</math> così come per il potenziale elettrico:

<math display="block"> \mathbf{A} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_{\tau'} \frac{\mathbf{J} ( \mathbf{r}') }{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} d \tau'</math>

Lo avevamo già calcolato espressamente, ma questo discorso dimostra come avremmo potuto evitare il calcolo esplicito del potenziale vettore semplicemente ragionando sulle analogie tra magnetostatica e elettrostatica. Inoltre, questa formulazione può essere ancora modificata: chiamato <math>\tau'</math> il volume del circuito, possiamo porre <math>d \tau' = S' \, dl'</math>, dove <math>S'</math> è la superficie del circuito. Allora, l'espressione:

<math display="block"> \mathbf{J} \, d \tau' = \mathbf{J} \, S' dl' = I d \mathbf{l}'</math>

Dove <math>d \mathbf{l}'</math> è orientato come la corrente <math>\mathbf{J}</math>. Posto questo, l'espressione del potenziale vettore diventa:

<math display="block"> \mathbf{A} = \frac{\mu_0}{4 \pi} I \oint_{l'} \frac{d \mathbf{l}'}{|\Delta \mathbf{r}|}</math>

Osserviamo questa formula: '''è un integrale molto semplice da calcolare''', una semplice circuitazione. È quindi immediato osservare che '''calcolare <math>\mathbf{A}</math> risulta molto più semplice che calcolare <math>\mathbf{B}</math>'''. Tuttavia, per passare poi al campo magnetico di induzione dobbiamo calcolare il rotore di <math>\mathbf{A}</math>, '''e questo non è assicurato che sia semplicissimo'''. Quindi, la difficoltà intrinseca del magnetismo sta nella presenza di prodotti vettoriali e conseguenti rotori ricorrenti: se nell'elettrostatica bastava calcolare un gradiente per ottenere il campo elettrico, qui tocca calcolare un rotore, quindi vanno fatti più calcoli. 

==Giustificazione dell'equazione di Laplace==
Da questa espressione del potenziale vettore possiamo anche ''giustificare'' la prima equazione di Laplace, che avevamo "lanciato" sul tavolo annunciandola come una legge sperimentale senza giustificazioni teoriche. Prendiamo un elementino <math>d \mathbf{l}'</math> percorso da corrente stazionaria <math>I</math>, il potenziale vettore che questo genera su un punto <math>\mathbf{P} \,(x,y,z)</math> dello spazio è dato da:

<math display="block"> d\mathbf{A}(\mathbf{P})= \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \frac{d \mathbf{l}' }{|\Delta \mathbf{r}|}</math>

Di conseguenza, il campo di induzione magnetica generato da questo sarà:

<math display="block"> d \mathbf{B}(\mathbf{P})= \boldsymbol{\nabla} \times d\mathbf{A}(\mathbf{P})=\frac{\mu_0 I}{4 \pi} \left(\boldsymbol{\nabla} \times \frac{d \mathbf{l}'}{|\Delta \mathbf{r}|} \right)</math>

Applicando la formula <math>\boldsymbol{\nabla} \times(f \mathbf{v} )= \boldsymbol{\nabla} f \times \mathbf{v} + f(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{v})</math>, avremo:

<math display="block">
\boldsymbol{\nabla} \times \left(\frac{d \mathbf{l}'}{|\Delta \mathbf{r}|} \right) = \boldsymbol{\nabla} \left(\frac{1}{|\Delta \mathbf{r}|} \right) \times d \mathbf{l}' + \frac{\boldsymbol{\nabla}\times d\mathbf{l}'}{|\Delta \mathbf{r}|}
</math>

Osservando che <math>\boldsymbol{\nabla} \times d\mathbf{l}'=0</math> perché l'operatore nabla agisce su variabili pure mentre l'elementino dipende da variabili primate, otterremo:

<math display="block">\boldsymbol{\nabla} \left(\frac{1}{|\Delta \mathbf{r}|} \right) \times d \mathbf{l}'  = - \frac{\Delta \mathbf{r}}{|\Delta \mathbf{r}|^3} \times d \mathbf{l}' = d \mathbf{l}' \times \frac{\Delta \mathbf{r}}{|\Delta \mathbf{r}|^3}</math>

Quindi, tornando al campo magnetico, otterremo:

<math display="block">d \mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \frac{d \mathbf{l}'  \times \Delta \mathbf{r}}{|\Delta \mathbf{r}|^3}</math>

Applicando quindi il principio di sovrapposizione, otterremo la prima equazione di Laplace:

<math display="block">\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \oint_{l'} \frac{d \mathbf{l}'  \times \Delta \mathbf{r}}{|\Delta \mathbf{r}|^3}</math>

L'ultima cosa, fondamentale, per cui possiamo sfruttare il potenziale vettore è per calcolare il flusso del campo magnetico, applicando il teorema di Stokes:

<math display="block"> \Phi_S ( \mathbf{B}) = \int_S \mathbf{B} \cdot d \mathbf{S} = \int_S (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B} ) \cdot d \mathbf{S} = \oint_{\Gamma} \mathbf{A}\cdot d \mathbf{l}</math>

Quindi anche il flusso di <math>\mathbf{B}</math> risulta essere molto semplice da calcolare sfruttando la relazione:

<math display="block">\Phi_S(\mathbf{B} ) =\oint_{\Gamma} \mathbf{A} \cdot d \mathbf{l}</math>