Coordinate curvilinee

Possiamo esprimere tutti gli operatori differenziali in qualsiasi set di variabili; non dimostreremo come si arriva alla formule che andiamo ora ad ottenere. La tabella con i valori di ogni coordinata e parametro è a fine sezione e riportata a fine testo.

Iniziamo dal gradiente di un campo scalare $f$ $f$ :

{\boldsymbol {\nabla }}(f)={\frac {1}{l}}{\frac {\partial f}{\partial u}}{\hat {\mathbf {u} }}+{\frac {1}{m}}{\frac {\partial f}{\partial v}}{\hat {\mathbf {v} }}+{\frac {1}{n}}{\frac {\partial f}{\partial w}}{\hat {\mathbf {w} }}

La divergenza di un campo vettoriale $\mathbf {G}$ $\mathbf {G}$ , invece:

{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {G} ={\frac {1}{lmn}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}(mnG_{u})+{\frac {\partial }{\partial v}}(lnG_{v})+{\frac {\partial }{\partial w}}(lmG_{w})\right)

Il rotore di campo vettoriale:

{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {G} ={\frac {1}{mn}}\left({\frac {\partial }{\partial v}}(nG_{w})-{\frac {\partial }{\partial w}}(nG_{v})\right){\hat {\mathbf {u} }}+{\frac {1}{ln}}\left({\frac {\partial }{\partial w}}(lG_{u})-{\frac {\partial }{\partial u}}(nG_{w})\right){\hat {\mathbf {v} }}+{\frac {1}{lm}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}(mG_{v})-{\frac {\partial }{\partial v}}(lG_{u})\right){\hat {\mathbf {w} }}

{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {G} ={\frac {1}{mn}}\left({\frac {\partial }{\partial v}}(nG_{w})-{\frac {\partial }{\partial w}}(nG_{v})\right){\hat {\mathbf {u} }}+{\frac {1}{ln}}\left({\frac {\partial }{\partial w}}(lG_{u})-{\frac {\partial }{\partial u}}(nG_{w})\right){\hat {\mathbf {v} }}+{\frac {1}{lm}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}(mG_{v})-{\frac {\partial }{\partial v}}(lG_{u})\right){\hat {\mathbf {w} }}

Il laplaciano di un campo scalare:

{\boldsymbol {\nabla }}^{2}f={\frac {1}{lmn}}\left[{\frac {\partial }{\partial u}}\left({\frac {mn}{l}}{\frac {\partial f}{\partial u}}\right)+{\frac {\partial }{\partial v}}\left({\frac {ln}{m}}{\frac {\partial f}{\partial v}}\right)+{\frac {\partial }{\partial w}}\left({\frac {lm}{n}}{\frac {\partial f}{\partial w}}\right)\right]

{\boldsymbol {\nabla }}^{2}f={\frac {1}{lmn}}\left[{\frac {\partial }{\partial u}}\left({\frac {mn}{l}}{\frac {\partial f}{\partial u}}\right)+{\frac {\partial }{\partial v}}\left({\frac {ln}{m}}{\frac {\partial f}{\partial v}}\right)+{\frac {\partial }{\partial w}}\left({\frac {lm}{n}}{\frac {\partial f}{\partial w}}\right)\right]

Coordinate	$u\quad v\quad w$ $u\quad v\quad w$	$l\qquad m\qquad n$ $l\qquad m\qquad n$
Cartesiane	$x\quad y\quad z$ $x\quad y\quad z$	$1\qquad 1\qquad 1$ $1\qquad 1\qquad 1$
Sferiche	$r\quad \theta \quad \phi$ $r\quad \theta \quad \phi$	$1\qquad r\quad r\sin \phi$ $1\qquad r\quad r\sin \phi$
Cilindriche	$r\quad \phi \quad z$ $r\quad \phi \quad z$	$1\qquad r\qquad 1$ $1\qquad r\qquad 1$