Coordinate curvilinee

Versione delle 20:28, 19 lug 2017

Possiamo esprimere tutti gli operatori differenziali in qualsiasi set di variabili; non dimostreremo come si arriva alla formule che andiamo ora ad ottenere. La tabella con i valori di ogni coordinata e parametro è a fine sezione e riportata a fine testo.

Iniziamo dal gradiente di un campo scalare ${\displaystyle f}$:

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } (f)={\frac {1}{l}}{\frac {\partial f}{\partial u}}{\hat {\mathbf {u} }}+{\frac {1}{m}}{\frac {\partial f}{\partial v}}{\hat {\mathbf {v} }}+{\frac {1}{n}}{\frac {\partial f}{\partial w}}{\hat {\mathbf {w} }}}$$

La divergenza di un campo vettoriale ${\displaystyle \mathbf {G} }$, invece:

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {G} ={\frac {1}{lmn}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}(mnG_{u})+{\frac {\partial }{\partial v}}(lnG_{v})+{\frac {\partial }{\partial w}}(lmG_{w})\right)}$$

Il rotore di campo vettoriale:

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {G} ={\frac {1}{mn}}\left({\frac {\partial }{\partial v}}(nG_{w})-{\frac {\partial }{\partial w}}(nG_{v})\right){\hat {\mathbf {u} }}+{\frac {1}{ln}}\left({\frac {\partial }{\partial w}}(lG_{u})-{\frac {\partial }{\partial u}}(nG_{w})\right){\hat {\mathbf {v} }}+{\frac {1}{lm}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}(mG_{v})-{\frac {\partial }{\partial v}}(lG_{u})\right){\hat {\mathbf {w} }}}$$

Il laplaciano di un campo scalare:

$${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{lmn}}\left[{\frac {\partial }{\partial u}}\left({\frac {mn}{l}}{\frac {\partial f}{\partial u}}\right)+{\frac {\partial }{\partial v}}\left({\frac {ln}{m}}{\frac {\partial f}{\partial v}}\right)+{\frac {\partial }{\partial w}}\left({\frac {lm}{n}}{\frac {\partial f}{\partial w}}\right)\right]}$$

Coordinate	${\displaystyle u\quad v\quad w}$	${\displaystyle l\qquad m\qquad n}$
Cartesiane	${\displaystyle x\quad y\quad z}$	${\displaystyle 1\qquad 1\qquad 1}$
Sferiche	${\displaystyle r\quad \theta \quad \phi }$	${\displaystyle 1\qquad r\quad r\sin \phi }$
Cilindriche	${\displaystyle r\quad \phi \quad z}$	${\displaystyle 1\qquad r\qquad 1}$