Coordinate curvilinee

 
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Iniziamo dal '''gradiente''' di un campo scalare <math>f</math>:
 
Iniziamo dal '''gradiente''' di un campo scalare <math>f</math>:
  
<math display="block"> \mathbf{\nabla} (f)= \frac{1}{l} \frac{\partial f}{\partial u} \hat{u} + \frac{1}{m} \frac{\partial f}{\partial v} \hat{v} + \frac{1}{n} \frac{\partial f}{\partial w} \hat{w}</math>
+
<math display="block"> \boldsymbol{\nabla} (f)= \frac{1}{l} \frac{\partial f}{\partial u} \hat{\mathbf{u}} + \frac{1}{m} \frac{\partial f}{\partial v} \hat{\mathbf{v}} + \frac{1}{n} \frac{\partial f}{\partial w} \hat{\mathbf{w}}</math>
  
 
La '''divergenza''' di un campo vettoriale <math>\mathbf{G}</math>, invece:
 
La '''divergenza''' di un campo vettoriale <math>\mathbf{G}</math>, invece:
  
<math display="block">\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{G} = \frac{1}{lmn} \left( \frac{\partial}{\partial u} (mn G_u) + \frac{\partial}{\partial v} (ln G_v) + \frac{\partial}{\partial w} (lm G_w) \right)</math>
+
<math display="block">\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{G} = \frac{1}{lmn} \left( \frac{\partial}{\partial u} (mn G_u) + \frac{\partial}{\partial v} (ln G_v) + \frac{\partial}{\partial w} (lm G_w) \right)</math>
  
 
Il '''rotore''' di campo vettoriale:
 
Il '''rotore''' di campo vettoriale:
  
<math display="block"> \mathbf{\nabla}\times \mathbf{G} = \frac{1}{mn} \left( \frac{\partial}{\partial v} (n G_W) - \frac{\partial}{\partial w} (n G_v) \right) \hat{u}+ \frac{1}{ln} \left( \frac{\partial }{\partial w} (l G_u) - \frac{\partial}{\partial u} (n G_W) \right) \hat{v} + \frac{1}{lm} \left(\frac{\partial}{\partial u} (mG_v) - \frac{\partial}{\partial v} (l A_u) \right)\hat{w}</math>
+
<math display="block"> \boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{G} = \frac{1}{mn} \left( \frac{\partial}{\partial v} (n G_w) - \frac{\partial}{\partial w} (n G_v) \right) \hat{\mathbf{u}}+ \frac{1}{ln} \left( \frac{\partial }{\partial w} (l G_u) - \frac{\partial}{\partial u} (n G_w) \right) \hat{\mathbf{v}} + \frac{1}{lm} \left(\frac{\partial}{\partial u} (mG_v) - \frac{\partial}{\partial v} (l G_u) \right)\hat{\mathbf{w}}</math>
  
 
Il '''laplaciano''' di un campo scalare:
 
Il '''laplaciano''' di un campo scalare:
  
<math display="block"> \nabla^2 f = \frac{1}{lmb} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left(\frac{mn}{l} \frac{\partial f}{\partial u} \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{ln}{m} \frac{\partial f}{\partial v} \right) + \frac{\partial}{\partial w} \left( \frac{lm}{n} \frac{\partial f}{\partial w} \right)\right]</math>
+
<math display="block"> \boldsymbol{\nabla}^2 f = \frac{1}{lmn} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left(\frac{mn}{l} \frac{\partial f}{\partial u} \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{ln}{m} \frac{\partial f}{\partial v} \right) + \frac{\partial}{\partial w} \left( \frac{lm}{n} \frac{\partial f}{\partial w} \right)\right]</math>
{| class="wikitable sortable"
+
 
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{| class="wikitable"
 
!Coordinate
 
!Coordinate
 
!<math>u \quad v \quad w</math>
 
!<math>u \quad v \quad w</math>

Versione attuale delle 20:58, 25 dic 2017

Possiamo esprimere tutti gli operatori differenziali in qualsiasi set di variabili; non dimostreremo come si arriva alla formule che andiamo ora ad ottenere. La tabella con i valori di ogni coordinata e parametro è a fine sezione e riportata a fine testo.

Iniziamo dal gradiente di un campo scalare :

La divergenza di un campo vettoriale , invece:

Il rotore di campo vettoriale:

Il laplaciano di un campo scalare:

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