Coordinate curvilinee

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Possiamo esprimere tutti gli operatori differenziali in qualsiasi set di variabili; non dimostreremo come si arriva alla formule che andiamo ora ad ottenere. La tabella con i valori di ogni coordinata e parametro è a fine sezione e riportata a fine testo.
  
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Iniziamo dal '''gradiente''' di un campo scalare <math>f</math>:
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<math display="block"> \boldsymbol{\nabla} (f)= \frac{1}{l} \frac{\partial f}{\partial u} \hat{\mathbf{u}} + \frac{1}{m} \frac{\partial f}{\partial v} \hat{\mathbf{v}} + \frac{1}{n} \frac{\partial f}{\partial w} \hat{\mathbf{w}}</math>
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La '''divergenza''' di un campo vettoriale <math>\mathbf{G}</math>, invece:
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<math display="block">\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{G} = \frac{1}{lmn} \left( \frac{\partial}{\partial u} (mn G_u) + \frac{\partial}{\partial v} (ln G_v) + \frac{\partial}{\partial w} (lm G_w) \right)</math>
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Il '''rotore''' di campo vettoriale:
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<math display="block"> \boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{G} = \frac{1}{mn} \left( \frac{\partial}{\partial v} (n G_w) - \frac{\partial}{\partial w} (n G_v) \right) \hat{\mathbf{u}}+ \frac{1}{ln} \left( \frac{\partial }{\partial w} (l G_u) - \frac{\partial}{\partial u} (n G_w) \right) \hat{\mathbf{v}} + \frac{1}{lm} \left(\frac{\partial}{\partial u} (mG_v) - \frac{\partial}{\partial v} (l G_u) \right)\hat{\mathbf{w}}</math>
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Il '''laplaciano''' di un campo scalare:
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<math display="block"> \boldsymbol{\nabla}^2 f = \frac{1}{lmn} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left(\frac{mn}{l} \frac{\partial f}{\partial u} \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{ln}{m} \frac{\partial f}{\partial v} \right) + \frac{\partial}{\partial w} \left( \frac{lm}{n} \frac{\partial f}{\partial w} \right)\right]</math>
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{| class="wikitable"
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!Coordinate
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!<math>u \quad v \quad w</math>
 +
!<math>l \qquad m \qquad n</math>
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|-
 +
|Cartesiane
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|<math>x \quad y \quad z</math>
 +
|<math>1 \qquad 1 \qquad 1</math>
 +
|-
 +
|Sferiche
 +
|<math>r \quad \theta \quad \phi</math>
 +
|<math>1 \qquad r \quad r \sin \phi</math>
 +
|-
 +
|Cilindriche
 +
|<math>r \quad \phi \quad z</math>
 +
|<math>1 \qquad r \qquad 1</math>
 +
|}

Versione attuale delle 20:58, 25 dic 2017

Possiamo esprimere tutti gli operatori differenziali in qualsiasi set di variabili; non dimostreremo come si arriva alla formule che andiamo ora ad ottenere. La tabella con i valori di ogni coordinata e parametro è a fine sezione e riportata a fine testo.

Iniziamo dal gradiente di un campo scalare :

La divergenza di un campo vettoriale , invece:

Il rotore di campo vettoriale:

Il laplaciano di un campo scalare:

Coordinate
Cartesiane
Sferiche
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