Coordinate curvilinee

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<math display="block"> \nabla^2 f = \frac{1}{lmb} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left(\frac{mn}{l} \frac{\partial f}{\partial u} \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{ln}{m} \frac{\partial f}{\partial v} \right) + \frac{\partial}{\partial w} \left( \frac{lm}{n} \frac{\partial f}{\partial w} \right)\right]</math>
 
<math display="block"> \nabla^2 f = \frac{1}{lmb} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left(\frac{mn}{l} \frac{\partial f}{\partial u} \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{ln}{m} \frac{\partial f}{\partial v} \right) + \frac{\partial}{\partial w} \left( \frac{lm}{n} \frac{\partial f}{\partial w} \right)\right]</math>
 +
{| class="wikitable sortable"
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!Coordinate
 +
!<math>u \quad v \quad w</math>
 +
!<math>l \qquad m \qquad n</math>
 +
|-
 +
|Cartesiane
 +
|<math>x \quad y \quad z</math>
 +
|<math>1 \qquad 1 \qquad 1</math>
 +
|-
 +
|Sferiche
 +
|<math>r \quad \theta \quad \phi</math>
 +
|<math>1 \qquad r \quad r \sin \phi</math>
 +
|-
 +
|Cilindriche
 +
|<math>r \quad \phi \quad z</math>
 +
|<math>1 \qquad r \qquad 1</math>
 +
|}

Versione delle 22:40, 8 apr 2017

Possiamo esprimere tutti gli operatori differenziali in qualsiasi set di variabili; non dimostreremo come si arriva alla formule che andiamo ora ad ottenere. La tabella con i valori di ogni coordinata e parametro è a fine sezione e riportata a fine testo.

Iniziamo dal gradiente di un campo scalare :

La divergenza di un campo vettoriale , invece:

Il rotore di campo vettoriale:

Il laplaciano di un campo scalare:

Coordinate
Cartesiane
Sferiche
Cilindriche
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