Le equazioni di Jefimenko

Le equazioni di Jefimenko, a volte note come ''campi di Jefimenko'', sono delle espressioni dei campi elettrici e magnetici ricavati direttamente dai potenziali ritardati, applicando la definizione. Stranamente sono stati pubblicati molto recentemente, nel 1966, cento anni dopo la pubblicazione del trattato di Maxwell. Questo è anche dovuto al fatto che non siano di grande utilità questi campi: è spesso più semplice ricavarsi i potenziali e poi derivarli piuttosto che applicare direttamente questi.

Dati i potenziali ritardati nel vuoto:

<math display="block">\begin{align}
&V( \mathbf{r}, t) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_{\tau} \frac{\rho \left(\mathbf{r}', t - \frac{|\Delta \mathbf{r}|}{c} \right) }{|\Delta \mathbf{r}|} d \tau' \\
&\mathbf{A} ( \mathbf{r}, t ) = \frac{\mu_=}{4 \pi} \int_{\tau} \frac{ \mathbf{J}  \left(\mathbf{r}', t - \frac{|\Delta \mathbf{r}|}{c} \right) }{|\Delta \mathbf{r}|} d \tau'
\end{align}</math>

Ricaviamo i campi come:

<math display="block"> \begin{align}
&\mathbf{E} = - \boldsymbol{\nabla} V - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \\
&\mathbf{B} = \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}
\end{align}
</math>

Partiamo dal calcolare il gradiente del potenziale scalare. Questo sarà:

<math display="block">
\boldsymbol{\nabla} V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_{\tau} \left[ (\boldsymbol{\nabla} \rho ) \frac{1}{|\Delta \mathbf{r}|}  + \rho \, \boldsymbol{\nabla} \left( \frac{1}{|\Delta \mathbf{r}|} \right) \right] d \tau</math>

Procediamo passo passo. Calcoliamo:

<math display="block"> \boldsymbol{\nabla} \rho = \frac{\partial \rho}{\partial t} \, \boldsymbol{\nabla} \left( t - \frac{|\Delta \mathbf{r}|}{c} \right) =  - \dot{\rho} \frac{1}{c} \boldsymbol{\nabla} (|\Delta \mathbf{r}| )</math>

D'altro canto, <math>\boldsymbol{\nabla} ( |\Delta \mathbf{r}|) = \hat{\Delta \mathbf{r}}</math>, e <math>\boldsymbol{\nabla} \left( \frac{1}{|\Delta \mathbf{r}|} \right) = -\frac{ \hat{\Delta \mathbf{r}}}{|\Delta \mathbf{r}|^2}</math>. Quindi:

<math display="block"> \boldsymbol{\nabla} V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_{\tau} \left[ - \frac{\dot{\rho}}{c} \frac{\hat{\Delta \mathbf{r}}}{|\Delta \mathbf{r}|} - \frac{\rho}{|\Delta \mathbf{r}|^2} \hat{\Delta \mathbf{r}} \right] d\tau'</math>

Banalmente, la derivata temporale del potenziale vettore:

<math display="block"> \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_{\tau} \frac{\dot{J}}{|\Delta \mathbf{r}|} d\tau'</math>

Quindi il campo elettrico:

<math display="block"> \mathbf{E} (\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_{\tau} \left[ \left( \frac{\dot{\rho} \left(\mathbf{r}', t - \frac{|\Delta \mathbf{r}|}{c} \right) }{c|\Delta \mathbf{r}|} + \frac{\rho \left(\mathbf{r}', t- \frac{|\Delta \mathbf{r}|}{c}\right)}{|\Delta \mathbf{r}|^2} \right)\hat{\Delta \mathbf{r}}  - \frac{\dot{\mathbf{J}} \left( \mathbf{r}', t- \frac{|\Delta \mathbf{r}|}{c} \right)}{c^2 |\Delta \mathbf{r}|} \right] d\tau'</math>

Per il campo magnetico dovremo calcolare il rotore del potenziale vettore:

<math display="block"> \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_{\tau} \left( \frac{1}{|\Delta \mathbf{r}|} ( \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{J} ) - \mathbf{J} \times \boldsymbol{\nabla} \left( \frac{1}{|\Delta \mathbf{r}|} \right) \right) d\tau'</math>

Dove abbiamo usato:

<math display="block"> \begin{align} 
&\boldsymbol{\nabla}\times(f \mathbf{v}) = f \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{v} + \boldsymbol{\nabla} f \times \mathbf{v} = f \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{v} - \mathbf{v} \times \boldsymbol{\nabla} f \\
&\boldsymbol{\nabla} \times \left( \frac{\mathbf{J}}{|\Delta \mathbf{r}|} \right) = \frac{1}{|\Delta \mathbf{r}|} (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{J} ) - \mathbf{J} \times \boldsymbol{\nabla} \left( \frac{1}{|\Delta \mathbf{r}|} \right)
\end{align}
</math>

Il rotore della densità di corrente è:

<math display="block"> \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{J} = \left(\frac{\partial J_z}{\partial y} - \frac{\partial J_y}{\partial z} , \, \frac{\partial J_x}{\partial z} - \frac{\partial J_z}{\partial x} , \, \frac{\partial J_y}{\partial x} - \frac{\partial J_x}{\partial y} \right)</math>

Questo è brutto. Però possiamo migliorarla un po', ad esempio:

<math display="block"> \frac{\partial J_z}{\partial y} = \frac{\partial J_z}{\partial t} \frac{\partial \left( t- \frac{|\Delta \mathbf{r}|}{c} \right)}{\partial  y} = - \dot{J}_z\frac{1}{c} \frac{\partial (|\Delta\mathbf{r}|)}{\partial y}</math>

La componente <math>\hat{\mathbf{x}}</math> del rotore può essere scritta come:

<math display="block"> (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{J} )_x = -\frac{1}{c} \left( \dot{J}_z \frac{\partial (|\Delta \mathbf{r}|)}{\partial y} - \dot{J}_y \frac{\partial (|\Delta \mathbf{r}|)}{\partial z} \right)</math>

In conclusione (se non vi fidate, rifate i calcoli) <math>\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{J} = \frac{1}{c} \dot{\mathbf{J}} \times \hat{\Delta \mathbf{r}}</math>. Il primo termine è fatto, che faticaccia. 

Il secondo termine è per fortuna noto, <math>\boldsymbol{\nabla} \left( \frac{1}{|\Delta \mathbf{r}|} \right) = -\frac{ \hat{\Delta \mathbf{r}}}{|\Delta \mathbf{r}|^2}</math>. Quindi, otteniamo anche il campo magnetico di Jefimenko:

<math display="block"> \mathbf{B} ( \mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_{\tau} \left( \frac{1}{c} \frac{\dot{\mathbf{J}} \left( \mathbf{r}', t - \frac{|\Delta \mathbf{r}|}{c} \right) }{|\Delta \mathbf{r}|} + \frac{\mathbf{J} \left( \mathbf{r}', t - \frac{|\Delta \mathbf{r}|}{c} \right) }{|\Delta \mathbf{r}|^2}  \right) \times \hat{\Delta \mathbf{r}} \, d \tau'</math>