Conferma che i potenziali ritardati soddisfano le equazioni delle onde

Sezione breve. Semplicemente, calcoliamo il laplaciano del potenziale scalare (perché il potenziale vettore è uguale) e vediamo che questo ci rida l'equazione delle onde $\Box V=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$ $\Box V=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$ . Nella precedente sezione abbiamo calcolato il gradiente di $V$ $V$ :

{\boldsymbol {\nabla }}V={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\tau }\left[({\boldsymbol {\nabla }}\rho ){\frac {1}{|\Delta \mathbf {r} |}}+\rho \,{\boldsymbol {\nabla }}\left({\frac {1}{|\Delta \mathbf {r} |}}\right)\right]d\tau

Basterà farne la divergenza:

{\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}^{2}V={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\tau }{\Bigg [}&-{\frac {1}{c}}\left({\frac {\hat {\Delta \mathbf {r} }}{|\Delta \mathbf {r} |}}{\boldsymbol {\nabla }}{\dot {\rho }}+{\dot {\rho }}\,{\boldsymbol {\nabla }}\left({\frac {\hat {\Delta \mathbf {r} }}{|\Delta \mathbf {r} |}}\right)\right)-\\&-\left({\frac {\hat {\Delta \mathbf {r} }}{|\Delta \mathbf {r} |^{2}}}{\boldsymbol {\nabla }}\rho +\rho \,{\boldsymbol {\nabla }}\left({\frac {\hat {\Delta \mathbf {r} }}{|\Delta \mathbf {r} |^{2}}}\right)\right){\Bigg ]}d\tau '\end{aligned}}

{\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}^{2}V={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\tau }{\Bigg [}&-{\frac {1}{c}}\left({\frac {\hat {\Delta \mathbf {r} }}{|\Delta \mathbf {r} |}}{\boldsymbol {\nabla }}{\dot {\rho }}+{\dot {\rho }}\,{\boldsymbol {\nabla }}\left({\frac {\hat {\Delta \mathbf {r} }}{|\Delta \mathbf {r} |}}\right)\right)-\\&-\left({\frac {\hat {\Delta \mathbf {r} }}{|\Delta \mathbf {r} |^{2}}}{\boldsymbol {\nabla }}\rho +\rho \,{\boldsymbol {\nabla }}\left({\frac {\hat {\Delta \mathbf {r} }}{|\Delta \mathbf {r} |^{2}}}\right)\right){\Bigg ]}d\tau '\end{aligned}}

Sembra un suicidio. Basta ricordarsi quello che abbiamo visto nella sezione scorsa e le cose vengono gratis:

{\boldsymbol {\nabla }}{\dot {\rho }}=-{\frac {1}{c}}{\ddot {\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}(|\Delta \mathbf {r} |)=-{\frac {1}{c}}{\ddot {\rho }}{\hat {\Delta \mathbf {r} }}

Allo stesso modo conosciamo già tutti i risultati dei gradienti di cose radiali, quindi sostituendo troveremo:

{\boldsymbol {\nabla }}^{2}V={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\tau }\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\ddot {\rho }}{|\Delta \mathbf {r} |}}-4\pi \,\rho \,\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\right)d\tau '={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}-{\frac {1}{\epsilon _{0}}}\rho (\mathbf {r} ',t)

{\boldsymbol {\nabla }}^{2}V={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\tau }\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\ddot {\rho }}{|\Delta \mathbf {r} |}}-4\pi \,\rho \,\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\right)d\tau '={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}-{\frac {1}{\epsilon _{0}}}\rho (\mathbf {r} ',t)

Per il potenziale vettore è lo stesso, quindi soddisfano le equazioni delle onde entrambi.