Sezione breve. Semplicemente, calcoliamo il laplaciano del potenziale scalare (perché il potenziale vettore è uguale) e vediamo che questo ci rida l'equazione delle onde
. Nella precedente sezione abbiamo calcolato il gradiente di
:
![{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}V={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\tau }\left[({\boldsymbol {\nabla }}\rho ){\frac {1}{|\Delta \mathbf {r} |}}+\rho \,{\boldsymbol {\nabla }}\left({\frac {1}{|\Delta \mathbf {r} |}}\right)\right]d\tau }](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/ed9eb14fa9c27deca12014c921d106f53550e9c2)
Basterà farne la divergenza:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}^{2}V={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\tau }{\Bigg [}&-{\frac {1}{c}}\left({\frac {\hat {\Delta \mathbf {r} }}{|\Delta \mathbf {r} |}}{\boldsymbol {\nabla }}{\dot {\rho }}+{\dot {\rho }}\,{\boldsymbol {\nabla }}\left({\frac {\hat {\Delta \mathbf {r} }}{|\Delta \mathbf {r} |}}\right)\right)-\\&-\left({\frac {\hat {\Delta \mathbf {r} }}{|\Delta \mathbf {r} |^{2}}}{\boldsymbol {\nabla }}\rho +\rho \,{\boldsymbol {\nabla }}\left({\frac {\hat {\Delta \mathbf {r} }}{|\Delta \mathbf {r} |^{2}}}\right)\right){\Bigg ]}d\tau '\end{aligned}}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/f7ffe18ac7f3f7eaabd1104b0e722c7635f053a7)
Sembra un suicidio. Basta ricordarsi quello che abbiamo visto nella sezione scorsa e le cose vengono gratis:

Allo stesso modo conosciamo già tutti i risultati dei gradienti di cose radiali, quindi sostituendo troveremo:

Per il potenziale vettore è lo stesso, quindi soddisfano le equazioni delle onde entrambi.