Campo elettrico e campo magnetico di una carica in moto

Grazie ai potenziali di Liénard-Wiechert, possiamo calcolare i campi di una carica in moto. È matematica, matematica e un po' di disperazione. Dati i potenziali già ricavati:

V(\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {qc}{(hc-\mathbf {h} \cdot \mathbf {v} )}}\quad \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mathbf {v} }{c}}V(\mathbf {r} ,t)

Possiamo calcolare i campi secondo le espressioni:

\mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\quad \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A}

Cominciamo dal gradiente di $V$ $V$ . Ricordiamo che $\mathbf {\nabla } f(\mathbf {r} )={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}\mathbf {\nabla } f$ $\mathbf {\nabla } f(\mathbf {r} )={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}\mathbf {\nabla } f$ , quindi:

\mathbf {\nabla } V=\mathbf {\nabla } \left({\frac {qc}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{hc-\mathbf {h} \cdot \mathbf {v} }}\right)={\frac {qc}{4\pi \epsilon _{0}}}\left(-{\frac {1}{(hc-\mathbf {h} \cdot \mathbf {v} )^{2}}}\right)\mathbf {\nabla } (hc-\mathbf {h} \cdot \mathbf {v} )

Poiché $h=c(t-t_{r})$ $h=c(t-t_{r})$ , vale $\mathbf {\nabla } h=-c\mathbf {\nabla } t_{r}$ $\mathbf {\nabla } h=-c\mathbf {\nabla } t_{r}$ , quindi il primo gradiente è presto dato; per il secondo termine $\mathbf {\nabla } (\mathbf {h} \cdot \mathbf {v} )$ $\mathbf {\nabla } (\mathbf {h} \cdot \mathbf {v} )$ usiamo la regola del prodotto:

\mathbf {\nabla } (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {b} +(\mathbf {b} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {a} +\mathbf {a} \times (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {b} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {a} )

Passo passo:

{\begin{aligned}(\mathbf {h} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {v} =&\left(h_{\frac {\partial }{\partial x}}+h_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+h_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\mathbf {v} (t_{r})=\\=&h_{x}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t_{r}}}{\frac {\partial t_{r}}{\partial x}}+h_{y}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t_{r}}}{\frac {\partial t_{r}}{\partial y}}+h_{z}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t_{r}}}{\frac {\partial t_{r}}{\partial z}}=\\=&(\mathbf {h} \cdot \mathbf {\nabla } t_{r}){\dot {\mathbf {v} }}=(\mathbf {h} \cdot \mathbf {\nabla } t_{r})\mathbf {a} \end{aligned}}

{\begin{aligned}(\mathbf {h} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {v} =&\left(h_{\frac {\partial }{\partial x}}+h_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+h_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\mathbf {v} (t_{r})=\\=&h_{x}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t_{r}}}{\frac {\partial t_{r}}{\partial x}}+h_{y}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t_{r}}}{\frac {\partial t_{r}}{\partial y}}+h_{z}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t_{r}}}{\frac {\partial t_{r}}{\partial z}}=\\=&(\mathbf {h} \cdot \mathbf {\nabla } t_{r}){\dot {\mathbf {v} }}=(\mathbf {h} \cdot \mathbf {\nabla } t_{r})\mathbf {a} \end{aligned}}

Con $\mathbf {a} ={\dot {\mathbf {v} }}={\ddot {\mathbf {w} }}$ $\mathbf {a} ={\dot {\mathbf {v} }}={\ddot {\mathbf {w} }}$ è l'accelerazione della particella al tempo ritardato. L'altro termine:

(\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {h} =(\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } )(\mathbf {r} -\mathbf {w} )

Lo dividiamo in due e avremo:

(\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {r} =\left(v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\mathbf {r} =\mathbf {v}

Mentre l'altro termine si risolve come $(\mathbf {h} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {v}$ $(\mathbf {h} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {v}$ , quindi avremo:

(\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {w} =\mathbf {v} (\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } t_{r})

Okay, i prodotti scalari sono alle spalle. Passiamo ai prodotti vettoriali: sono solo calcoli, quindi forniamo il risultato:

{\begin{aligned}&\mathbf {\nabla } \times \mathbf {v} =-\mathbf {a} \times \mathbf {\nabla } t_{r}\\&\mathbf {\nabla } \times \mathbf {h} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {r} -\mathbf {\nabla } \times \mathbf {w} \\&\mathbf {\nabla } \times \mathbf {r} =0\\&\mathbf {\nabla } \times \mathbf {w} =-\mathbf {v} \times \mathbf {\nabla } t_{r}\end{aligned}}

Quindi, rimettendo in ordine le cose:

\mathbf {\nabla } (\mathbf {h} \cdot \mathbf {v} )=\mathbf {a} (\mathbf {h} \cdot \mathbf {\nabla } t_{r})+\mathbf {v} -\mathbf {v} (\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } t_{r})-\mathbf {h} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {\nabla } t_{r})+\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {\nabla } t_{r})

Per il triplo prodotto usiamo la formula $\mathbf {a} \times \mathbf {b} \times \mathbf {c} =\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )$ $\mathbf {a} \times \mathbf {b} \times \mathbf {c} =\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )$ , avremo:

\mathbf {\nabla } (\mathbf {h} \cdot \mathbf {v} )=\mathbf {a} (\mathbf {h} \cdot \mathbf {\nabla } t_{r})+\mathbf {v} -\mathbf {v} (\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } t_{r})-\mathbf {a} (\mathbf {h} \cdot \mathbf {\nabla } t_{r})+\mathbf {\nabla } t_{r}(\mathbf {h} \cdot \mathbf {a} )+\mathbf {v} (\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } t_{r})-\mathbf {\nabla } t_{r}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )

Otteniamo quindi $\mathbf {\nabla } (\mathbf {h} \cdot \mathbf {v} )=\mathbf {v} +(\mathbf {h} \cdot \mathbf {a} -v^{2})\mathbf {\nabla } t_{r}$ $\mathbf {\nabla } (\mathbf {h} \cdot \mathbf {v} )=\mathbf {v} +(\mathbf {h} \cdot \mathbf {a} -v^{2})\mathbf {\nabla } t_{r}$ . Rimettiamo a posto tutto ottenendo:

\mathbf {\nabla } V={\frac {qc}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{(hc-\mathbf {h} \cdot \mathbf {v} )^{2}}}{\big (}\mathbf {v} +(c^{2}-v^{2}+\mathbf {h} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {\nabla } t_{r}{\big )}