Campo elettrico e campo magnetico di una carica in moto

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Per calcolare <math>(\mathbf{h} \cdot \mathbf{\nabla} ) \mathbf{h} </math> ragioniamo come abbiamo fatto per <math>(\mathbf{v} \cdot \mathbf{\nabla} )\mathbf{h}</math>, e quindi concludiamo:
 
Per calcolare <math>(\mathbf{h} \cdot \mathbf{\nabla} ) \mathbf{h} </math> ragioniamo come abbiamo fatto per <math>(\mathbf{v} \cdot \mathbf{\nabla} )\mathbf{h}</math>, e quindi concludiamo:
  
<math display="block"> (\mathbf{h} \cdot \mathbf{\nabla} ) \mathbf{h}  = \mathbf{h} - \mathbf{v} (\mathbf{h}\cdot \mathbf{\nabla} t_r})</math>
+
<math display="block"> (\mathbf{h} \cdot \mathbf{\nabla} ) \mathbf{h}  = \mathbf{h} - \mathbf{v} (\mathbf{h}\cdot \mathbf{\nabla} t_r)</math>
  
 
Abbiamo invece già calcolato <math>\mathbf{\nabla} \times \mathbf{h} = (\mathbf{v} \times \mathbf{\nabla} t_r) </math>
 
Abbiamo invece già calcolato <math>\mathbf{\nabla} \times \mathbf{h} = (\mathbf{v} \times \mathbf{\nabla} t_r) </math>
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Riordinando di nuovo tutto:
 
Riordinando di nuovo tutto:
  
<math display="block"> -c \mathbf{\nabla} t_r = \frac{1}{h} \big( \mathbf{h} - \mathbf{v} ( \mathbf{h} \cdot \mathbf{\nabla}t_r ) + \mathbf{h} \ttimes ( \mathbf{v} \times \mathbf{\nabla} t_r) \big) = \frac{1}{h} \big( \mathbf{h} - (\mathbf{h}  \cdot \mathbf{v} ) \mathbf{\nabla} t_r} \big)</math>
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<math display="block"> -c \mathbf{\nabla} t_r = \frac{1}{h} \big( \mathbf{h} - \mathbf{v} ( \mathbf{h} \cdot \mathbf{\nabla}t_r ) + \mathbf{h} \times ( \mathbf{v} \times \mathbf{\nabla} t_r) \big) = \frac{1}{h} \big( \mathbf{h} - (\mathbf{h}  \cdot \mathbf{v} ) \mathbf{\nabla} t_r \big)</math>
  
 
Alleluja!
 
Alleluja!
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Passiamo a calcolare la derivata temporale del potenziale vettore:
 
Passiamo a calcolare la derivata temporale del potenziale vettore:
  
<math display="block">\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{qc}{(hc - \mathbf{h} \cdot \mathbf{v} )^3} \left( (hc - \mathbf{h} \cdot \mathbf{v}) \left(- \mathbf{v} + h \frac{\mathbf{a}{c} \right)  + \frac{h}{c} (c^2 - v^2 + \mathbf{h} \cdot \mathbf{a}) \mathbf{v} \right)</math>
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<math display="block">\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{qc}{(hc - \mathbf{h} \cdot \mathbf{v} )^3} \left( (hc - \mathbf{h} \cdot \mathbf{v}) \left(- \mathbf{v} + h \frac{\mathbf{a}}{c} \right)  + \frac{h}{c} (c^2 - v^2 + \mathbf{h} \cdot \mathbf{a}) \mathbf{v} \right)</math>
  
 
(perdonatemi, sono esausto). Definiamo <math>\mathbf{u} = c \hat{h}  - \mathbf{v}</math>, otteniamo '''il campo elettrico generato da una carica puntiforme in moto nello spazio''':
 
(perdonatemi, sono esausto). Definiamo <math>\mathbf{u} = c \hat{h}  - \mathbf{v}</math>, otteniamo '''il campo elettrico generato da una carica puntiforme in moto nello spazio''':
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Da questi campi, possiamo scrivere '''l'espressione generale della forza di Lorentz''' percepita da una particella <math>Q</math> e generata da una qualsiasi distribuzione di cariche in una qualsiasi configurazione dinamica (sfruttando il principio di sovrapposizione, questo è quella generata da una carica in moto):
 
Da questi campi, possiamo scrivere '''l'espressione generale della forza di Lorentz''' percepita da una particella <math>Q</math> e generata da una qualsiasi distribuzione di cariche in una qualsiasi configurazione dinamica (sfruttando il principio di sovrapposizione, questo è quella generata da una carica in moto):
  
<math display="block"> \mathbf{F} = \frac{qQ}{4 \pi \epsilon_0} \frac{h}{(\mathbf{h} \cdot \mathbf{u})^3} \left[ \Big((c^2 - v^2) \mathbf{u} + \mathbf{h} \times (\mathbf{u} \times \mathbf{a} ) \Big] + \frac{\mathbf{v}'}{c} \times \Big[ \hat{h}\times \big( ( c^2 - v^2) \mathbf{u} + \mathbf{h}\times (\mathbf{u} \times \mathbf{a} \big) \Big] \right]</math>
+
<math display="block"> \mathbf{F} = \frac{qQ}{4 \pi \epsilon_0} \frac{h}{(\mathbf{h} \cdot \mathbf{u})^3} \left[ \Big[(c^2 - v^2) \mathbf{u} + \mathbf{h} \times (\mathbf{u} \times \mathbf{a} ) \Big] + \frac{\mathbf{v}'}{c} \times \Big[ \hat{h}\times \big( ( c^2 - v^2) \mathbf{u} + \mathbf{h}\times (\mathbf{u} \times \mathbf{a} \big) \Big] \right]</math>
  
 
Con <math>\mathbf{v}'</math> la velocità della carica <math>Q</math>. In questa espressione c'è ''tutta'' l'elettrodinamica, è il caso più generale che potessimo considerare.
 
Con <math>\mathbf{v}'</math> la velocità della carica <math>Q</math>. In questa espressione c'è ''tutta'' l'elettrodinamica, è il caso più generale che potessimo considerare.

Versione delle 18:33, 28 giu 2017

Grazie ai potenziali di Liénard-Wiechert, possiamo calcolare i campi di una carica in moto. È matematica, matematica e un po' di disperazione. Dati i potenziali già ricavati:

Possiamo calcolare i campi secondo le espressioni:

Cominciamo dal gradiente di . Ricordiamo che , quindi:

Poiché , vale , quindi il primo gradiente è presto dato; per il secondo termine usiamo la regola del prodotto:

Passo passo:

Con è l'accelerazione della particella al tempo ritardato. L'altro termine:

Lo dividiamo in due e avremo:

Mentre l'altro termine si risolve come , quindi avremo:

Okay, i prodotti scalari sono alle spalle. Passiamo ai prodotti vettoriali: sono solo calcoli, quindi forniamo il risultato:

Quindi, rimettendo in ordine le cose:

Per il triplo prodotto usiamo la formula , avremo:

Otteniamo quindi . Rimettiamo a posto tutto ottenendo:

Non resta che calcolare ; come abbiamo detto all'inizio, , quindi conviene calcolare questo:

Per calcolare ragioniamo come abbiamo fatto per , e quindi concludiamo:

Abbiamo invece già calcolato

Riordinando di nuovo tutto:

Alleluja!

Abbiamo finalmente, davero stavolta, il gradiente del potenziale scalare:

Passiamo a calcolare la derivata temporale del potenziale vettore:

(perdonatemi, sono esausto). Definiamo , otteniamo il campo elettrico generato da una carica puntiforme in moto nello spazio:

Osserviamo che, se velocità e accelerazione sono nulle, ricadiamo nel caso statico che abbiamo già visto svariate volte. Il primo termine, dipendente da viene di solito chiamato campo elettrico di Coulomb generalizzato, o, a volte, campo velocità elettrico. Il secondo termine è dominante a grandi distanze ed è il responsabile della radiazione elettromagnetica, per questo viene spesso indicato come campo accelerazione elettrico o campo di radiazione.

Per il campo magnetico, dobbiamo calcolare il rotore del potenziale vettore. Avremo:

Abbiamo già calcolato tutto, basta solo buttarli nel minestrone e tirarne fuori il risultato:

Il termine tra le parentesi quadre assomiglia vagamente al termine tra parentesi quadre del campo elettrico. Quest'ultimo, usando la regola del triplo prodotto vettoriale, può essere scritto come . I due termini sono identici a meno di scambiare con nei primi due termini. Per la definizione di , e visto che dopo moltiplichiamo tutto vettorialmente per (quindi ce ne sbatte altamente del termine nella definizione di Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \mathbf{u}), sostituiamo e otteniamo: <math display="block"> \mathbf{B} ( \mathbf{r}, t) = \frac{1}{c} \hat{h} \timees \mathbf{E}( \mathbf{r},t )}

Il campo magnetico risulta essere sempre ortogonale sia al campo elettrico che al vettore congiungente con la posizione ritardata.

Da questi campi, possiamo scrivere l'espressione generale della forza di Lorentz percepita da una particella e generata da una qualsiasi distribuzione di cariche in una qualsiasi configurazione dinamica (sfruttando il principio di sovrapposizione, questo è quella generata da una carica in moto):

Con la velocità della carica . In questa espressione c'è tutta l'elettrodinamica, è il caso più generale che potessimo considerare.

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