Campo elettrico e campo magnetico di una carica in moto

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Cominciamo dal gradiente di <math>V</math>. Ricordiamo che <math>\mathbf{\nabla} f(\mathbf{r}) = \frac{\partial f}{\partial \mathbf{r}} \mathbf{\nabla} f</math>, quindi:
 
Cominciamo dal gradiente di <math>V</math>. Ricordiamo che <math>\mathbf{\nabla} f(\mathbf{r}) = \frac{\partial f}{\partial \mathbf{r}} \mathbf{\nabla} f</math>, quindi:
  
<math display="block">\mathbf{\nabla} V = \mathbf{\nabla} \left(\frac{qc}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{hc - \mathbf{h} \cdot \mathbf{v}} \right) = \frac{qc}{4 \pi \epsilon_0} \left(- \frac{1}{hc - \mathbf{h} \cdot \mathbf{v}} \right) \mathbf{\nabla}(hc-\mathbf{h}\cdot \mathbf{v})</math>
+
<math display="block">\mathbf{\nabla} V = \mathbf{\nabla} \left(\frac{qc}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{hc - \mathbf{h} \cdot \mathbf{v}} \right) = \frac{qc}{4 \pi \epsilon_0} \left(- \frac{1}{(hc - \mathbf{h} \cdot \mathbf{v})^2} \right) \mathbf{\nabla}(hc-\mathbf{h}\cdot \mathbf{v})</math>
  
 
Poiché <math>h=c(t-t_r)</math>, vale <math>\mathbf{\nabla} h = -c \mathbf{\nabla} t_r</math>, quindi il primo gradiente è presto dato; per il secondo termine <math>\mathbf{\nabla}(\mathbf{h} \cdot \mathbf{v})</math> usiamo la regola del prodotto:
 
Poiché <math>h=c(t-t_r)</math>, vale <math>\mathbf{\nabla} h = -c \mathbf{\nabla} t_r</math>, quindi il primo gradiente è presto dato; per il secondo termine <math>\mathbf{\nabla}(\mathbf{h} \cdot \mathbf{v})</math> usiamo la regola del prodotto:
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</math>
 
</math>
  
Con <math>\mathbf{a} = dot{\mathbf{v}} =\ddot{\mathbf{w}}</math> è l'accelerazione della particella al tempo ritardato. L'altro termine:
+
Con <math>\mathbf{a} = \dot{\mathbf{v}} =\ddot{\mathbf{w}}</math> è l'accelerazione della particella al tempo ritardato. L'altro termine:
  
 
<math display="block">(\mathbf{v} \cdot \mathbf{\nabla} ) \mathbf{h} = (\mathbf{v} \cdot \mathbf{\nabla})(\mathbf{r} - \mathbf{w})</math>
 
<math display="block">(\mathbf{v} \cdot \mathbf{\nabla} ) \mathbf{h} = (\mathbf{v} \cdot \mathbf{\nabla})(\mathbf{r} - \mathbf{w})</math>
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Lo dividiamo in due e avremo:
 
Lo dividiamo in due e avremo:
  
<math display="block"> (\mathbf{v} \cdot \mathbf{\nabla} ) \mathbf{r} = \left( \frac{v_x \frac{\partial}{\partial x} +v_y \frac{\partial}{\partial y} + v_z \frac{\partial }{\partial z} \right) \mathbf{r} = \mathbf{v}</math>
+
<math display="block"> (\mathbf{v} \cdot \mathbf{\nabla} ) \mathbf{r} = \left( v_x \frac{\partial}{\partial x} +v_y \frac{\partial}{\partial y} + v_z \frac{\partial}{\partial z} \right) \mathbf{r} = \mathbf{v}</math>
  
 
Mentre l'altro termine si risolve come <math>(\mathbf{h} \cdot \mathbf{\nabla}) \mathbf{v}</math>, quindi avremo:
 
Mentre l'altro termine si risolve come <math>(\mathbf{h} \cdot \mathbf{\nabla}) \mathbf{v}</math>, quindi avremo:

Versione delle 17:25, 28 giu 2017

Grazie ai potenziali di Liénard-Wiechert, possiamo calcolare i campi di una carica in moto. È matematica, matematica e un po' di disperazione. Dati i potenziali già ricavati:

Possiamo calcolare i campi secondo le espressioni:

Cominciamo dal gradiente di . Ricordiamo che , quindi:

Poiché , vale , quindi il primo gradiente è presto dato; per il secondo termine usiamo la regola del prodotto:

Passo passo:

Con è l'accelerazione della particella al tempo ritardato. L'altro termine:

Lo dividiamo in due e avremo:

Mentre l'altro termine si risolve come , quindi avremo:

Okay, i prodotti scalari sono alle spalle. Passiamo ai prodotti vettoriali: sono solo calcoli, quindi forniamo il risultato:

Quindi, rimettendo in ordine le cose:

Per il triplo prodotto usiamo la formula , avremo:

Otteniamo quindi . Rimettiamo a posto tutto ottenendo:

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