Campo elettrico e campo magnetico di una carica in moto

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Grazie ai potenziali di Liénard-Wiechert, possiamo calcolare i campi di una carica in moto. È matematica, matematica e un po' di disperazione. Dati i potenziali già ricavati:
  
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<math display="block"> V(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{qc}{(hc - \mathbf{h} \cdot \mathbf{v} )} \quad \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mathbf{v}}{c} V(\mathbf{r}, t)</math>
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Possiamo calcolare i campi secondo le espressioni:
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<math display="block"> \mathbf{E} = - \mathbf{\nabla} V - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \quad \mathbf{B} = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A}</math>
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Cominciamo dal gradiente di <math>V</math>. Ricordiamo che <math>\mathbf{\nabla} f(\mathbf{r}) = \frac{\partial f}{\partial \mathbf{r}} \mathbf{\nabla} f</math>, quindi:
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<math display="block">\mathbf{\nabla} V = \mathbf{\nabla} \left(\frac{qc}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{hc - \mathbf{h} \cdot \mathbf{v}} \right) = \frac{qc}{4 \pi \epsilon_0} \left(- \frac{1}{hc - \mathbf{h} \cdot \mathbf{v}} \right) \mathbf{\nabla}(hc-\mathbf{h}\cdot \mathbf{v})</math>
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Poiché <math>h=c(t-t_r)</math>, vale <math>\mathbf{\nabla} h = -c \mathbf{\nabla} t_r</math>, quindi il primo gradiente è presto dato; per il secondo termine <math>\mathbf{\nabla}(\mathbf{h} \cdot \mathbf{v})</math> usiamo la regola del prodotto:
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<math display="block"> \mathbf{\nabla} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} )= (\mathbf{a} \cdot \mathbf{\nabla})\mathbf{b} + (\mathbf{b} \cdot \mathbf{\nabla})\mathbf{a} + \mathbf{a} \times (\mathbf{\nabla}\times \mathbf{b}) + \mathbf{b} \times(\mathbf{\nabla} \times \mathbf{a})</math>
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Passo passo:
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<math display="block">
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\begin{align}
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(\mathbf{h} \cdot \mathbf{\nabla})\mathbf{v} =& \left(h_ \frac{\partial}{\partial x} + h_y \frac{\partial}{\partial y} + h_z \frac{\partial}{\partial z} \right) \mathbf{v}(t_r) = \\
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=& h_x \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t_r}\frac{\partial t_r}{\partial x} + h_y \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t_r} \frac{\partial t_r}{\partial y} + h_z \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t_r}\frac{\partial t_r}{\partial z} = \\
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=&(\mathbf{h} \cdot \mathbf{\nabla} t_r ) \dot{\mathbf{v}} = (\mathbf{h} \cdot \mathbf{\nabla} t_r) \mathbf{a}
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\end{align}
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</math>
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Con <math>\mathbf{a} = dot{\mathbf{v}} =\ddot{\mathbf{w}}</math> è l'accelerazione della particella al tempo ritardato. L'altro termine:
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<math display="block">(\mathbf{v} \cdot \mathbf{\nabla} ) \mathbf{h} = (\mathbf{v} \cdot \mathbf{\nabla})(\mathbf{r} - \mathbf{w})</math>
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Lo dividiamo in due e avremo:
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<math display="block"> (\mathbf{v} \cdot \mathbf{\nabla} ) \mathbf{r} = \left( \frac{v_x \frac{\partial}{\partial x} +v_y \frac{\partial}{\partial y} + v_z \frac{\partial }{\partial z} \right) \mathbf{r} = \mathbf{v}</math>
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Mentre l'altro termine si risolve come <math>(\mathbf{h} \cdot \mathbf{\nabla}) \mathbf{v}</math>, quindi avremo:
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<math display="block">( \mathbf{v} \cdot \mathbf{\nabla} ) \mathbf{w} = \mathbf{v}(\mathbf{v} \cdot \mathbf{\nabla} t_r)</math>
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Okay, i prodotti scalari sono alle spalle. Passiamo ai prodotti vettoriali: sono solo calcoli, quindi forniamo il risultato:
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<math display="block">
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\begin{align}
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&\mathbf{\nabla} \times \mathbf{v} = - \mathbf{a} \times \mathbf{\nabla} t_r \\
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&\mathbf{\nabla} \times \mathbf{h} = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{r} - \mathbf{\nabla} \times \mathbf{w} \\
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&\mathbf{\nabla} \times \mathbf{r}= 0 \\
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&\mathbf{\nabla} \times \mathbf{w} = - \mathbf{v} \times \mathbf{\nabla} t_r
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\end{align}
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</math>
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Quindi, rimettendo in ordine le cose:
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<math display="block"> \mathbf{\nabla}(\mathbf{h} \cdot \mathbf{v}) = \mathbf{a}(\mathbf{h} \cdot \mathbf{\nabla} t_r) +\mathbf{v} -\mathbf{v}(\mathbf{v} \cdot \mathbf{\nabla} t_r) - \mathbf{h} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{\nabla} t_r) + \mathbf{v} \times (\mathbf{v} \times \mathbf{\nabla} t_r)</math>
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Per il triplo prodotto usiamo la formula <math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \mathbf{b} ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c} ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b})</math>, avremo:
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<math display="block"> \mathbf{\nabla}(\mathbf{h} \cdot \mathbf{v}) = \mathbf{a}(\mathbf{h} \cdot \mathbf{\nabla} t_r) +\mathbf{v} -\mathbf{v}(\mathbf{v} \cdot \mathbf{\nabla} t_r) - \mathbf{a}(\mathbf{h} \cdot \mathbf{\nabla} t_r ) + \mathbf{\nabla} t_r(\mathbf{h} \cdot \mathbf{a}) + \mathbf{v}(\mathbf{v} \cdot \mathbf{\nabla}t_r) - \mathbf{\nabla}t_r ( \mathbf{v} \cdot \mathbf{v})</math>
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Otteniamo quindi <math>\mathbf{\nabla}(\mathbf{h} \cdot \mathbf{v} )= \mathbf{v} +(\mathbf{h} \cdot \mathbf{a} -v^2)\mathbf{\nabla} t_r</math>. '''Rimettiamo a posto tutto''' ottenendo:
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<math display="block"> \mathbf{\nabla} V = \frac{qc}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{(hc - \mathbf{h} \cdot \mathbf{v} )^2 }\big(\mathbf{v} + (c^2 - v^2 + \mathbf{h} \cdot \mathbf{a}) \mathbf{\nabla} t_r \big)</math>

Versione delle 17:23, 28 giu 2017

Grazie ai potenziali di Liénard-Wiechert, possiamo calcolare i campi di una carica in moto. È matematica, matematica e un po' di disperazione. Dati i potenziali già ricavati:

Possiamo calcolare i campi secondo le espressioni:

Cominciamo dal gradiente di . Ricordiamo che , quindi:

Poiché , vale , quindi il primo gradiente è presto dato; per il secondo termine usiamo la regola del prodotto:

Passo passo:

Con è l'accelerazione della particella al tempo ritardato. L'altro termine:

Lo dividiamo in due e avremo:

Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle (\mathbf{v} \cdot \mathbf{\nabla} ) \mathbf{r} = \left( \frac{v_x \frac{\partial}{\partial x} +v_y \frac{\partial}{\partial y} + v_z \frac{\partial }{\partial z} \right) \mathbf{r} = \mathbf{v}}

Mentre l'altro termine si risolve come , quindi avremo:

Okay, i prodotti scalari sono alle spalle. Passiamo ai prodotti vettoriali: sono solo calcoli, quindi forniamo il risultato:

Quindi, rimettendo in ordine le cose:

Per il triplo prodotto usiamo la formula , avremo:

Otteniamo quindi . Rimettiamo a posto tutto ottenendo:

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