Esercizi sui dipoli

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Unitile dire che con i dipoli ci si possono fare tanti esercizi belli e carini. Vediamone alcuni
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{{InizioEsempio|title=3.1}}
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[[File:Anello dipolo.svg|miniatura|496x496px|Fig. 3.5: Il modello dell'esempio 3.1]]
  
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In questo esempio prendiamo come distribuzione di carica un anello carico, con densità di carica lineare variabile pari a <math>\lambda (\phi)= \lambda_0 \sin (\phi)</math>, dove <math>\phi</math> è l'angolo formato dal raggio dell'anello <math>R</math> e l'asse <math>\hat{\mathbf{x}}</math>. In figura 3.5 è presentato il modello e una rappresentazione schematica di come si dispongono le cariche sull'anello. L'obiettivo dell'esercizio è calcolare campo elettrico e potenziale generati dall'anello ''a grande distanza'', dove potremo utilizzare l'approssimazione di dipolo.
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A tutti gli effetti, questo modello '''è un dipolo'''; da una parte ci sono le cariche positive, dall'altra quelle negative. Ci aspettiamo quindi che il suo momento di dipolo sia orientato parallelo all'asse <math>\hat{\mathbf{y}}</math>, e inoltre, per come è definita la densità <math>\lambda</math>, ci aspettiamo anche che la carica totale sia neutra. Partiamo da questa.
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Poiché <math>Q= \oint \lambda \, dl = \int_0^{2 \pi} \lambda (\phi) R \, d \phi = \int_0^{2 \pi} \lambda_0 \sin (\phi ) R \, d \phi = 0</math>, il calcolo dell'integrale è elementare. Andiamo allora a calcolare il suo momento di dipolo. Osservando la figura, notiamo come <math>\delta = 2 y' = 2 R \sin \phi</math>, da cui otteniamo il momento di dipolo:
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<math display="block"> dp = \delta dq = 2 R \sin (\phi) \lambda (\phi) dl = 2 R \sin (\phi) \lambda_0 \, R \sin(\phi) \, d \phi = 2 R^2 \sin^2 (\phi) \lambda_0 \,d \phi</math>
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Integrando su tutto l'anello ('''attenzione: l'integrale va da <math>0</math> a <math>\pi</math>, perché il sistema è simmetrico''') otteniamo <math>p= \lambda_0 \pi R^2</math>. Per calcolarne le componenti procediamo ognuna per ognuna:
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<math display="block"> \begin{align}
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&p_z = 0 \text{ siamo sul piano }z=0 \\
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&p_x = \oint \lambda (\phi) x' \, d \phi = \int_0^{2 \pi} \lambda_0 \sin (\phi) R \cos (\phi) R \, d \phi = 0 \\
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&p_y = \oint \lambda (\phi) y' \, d \phi = \int_0^{2\pi} \lambda_0 \sin (\phi) R \sin (\phi) R\, d \phi = \lambda_0 \pi R^2
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\end{align}
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</math>
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Come ci aspettavamo, abbiamo ottenuto che il momento di dipolo è diretto parallelamente all'asse <math>y</math> ed è pari a <math>\mathbf{p} = (0, \lambda_0 \pi R^2, 0)</math>. Per calcolare potenziale e campo elettrico di dipolo non resta che applicare le formule viste nella sezione 3.1:
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<math display="block">
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\begin{align}
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&V(\mathbf{r} )= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{r} }{r^3} \\
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&\mathbf{E} ( \mathbf{r} )= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{ 3 (\mathbf{p} \cdot \mathbf{r} ) }{r^5} \mathbf{r} - \frac{\mathbf{p}}{r^3} \right)
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\end{align}
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</math>
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{{FineEsempio}}
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{{InizioEsempio|title=3.2}}
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[[File:Dipoloesercizio.svg|sinistra|miniatura|Fig. 3.6: Le due configurazioni del dipolo nell'esempio 3.2]]
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Abbiamo un dipolo posizionato sull'asse <math>\hat{\mathbf{x}}</math> in due configurazioni: configurazione A, il dipolo ha momento parallelo all'asse <math>\hat{\mathbf{y}}</math>, ovvero <math>\mathbf{p} = p \hat{\mathbf{y}}</math>; configurazione B, il momento di dipolo è parallelo all'asse <math>\hat{\mathbf{x}}</math>, ovvero <math> \mathbf{p} =p \hat{\mathbf{x}}</math>. Nell'origine è posizionata una carica positiva che genera un campo elettrico; tutto il sistema è posto a quota <math>z=0</math>. Calcoliamo la forza e il momento che subisce il dipolo in entrambe le configurazioni. Fare riferimento alla figura 3.6.
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Dalla sezione 3.1 sappiamo che <math>\mathbf{F} = \boldsymbol{\nabla} (\mathbf{p} \cdot \mathbf{E} )</math> e <math>\mathbf{M} = \mathbf{p} \times \mathbf{E}</math>. Da una prima occhiata, poiché nella configurazione A la carica negativa è più vicina all'origine, possiamo dire che la forza attrarrà il dipolo verso la carica generatrice del campo. Viceversa, nella configurazione B le cariche si trovano alla stessa distanza dall'origine, quindi la forza sarà parallela al momento di dipolo, ovvero diretta lungo <math>\hat{\mathbf{y}}</math>. Calcoliamo la forza nella configurazione A:
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<math display="block"> \mathbf{F} = \boldsymbol{\nabla} (\mathbf{p} \cdot \mathbf{E} ) = \boldsymbol{\nabla} \left( p \hat{\mathbf{y}}  \cdot \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\mathbf{r}}{r^3} \right) = \frac{pq}{4 \pi \epsilon_0} \boldsymbol{\nabla} \left( \frac{y}{r^3} \right)</math>
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(questo ricordando che <math>\hat{\mathbf{y}} \cdot \mathbf{r} = y</math>). Calcoliamo le componenti:
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<math display="block">
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\begin{align}
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&\frac{\partial}{\partial x} \frac{y}{(x^2 + y^2+ z^2 )^{\frac{3}{2}}} = \frac{ y \left(-\frac{3}{2}\right) \cdot 2x }{r^5} = - \frac{xy}{r^5} \\
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&\frac{\partial}{\partial z} \frac{y}{r^3} = -3 \frac{zy}{r^5} \\
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&\frac{\partial}{\partial y} \frac{y}{(x^2 + y^2+ z^2 )^{\frac{3}{2}}}= \frac{ r^3 - y \frac{3}{2} \, 2 \, 2y}{r^6} = \frac{r^2 - 3y^2}{r^5}
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\end{align}
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</math>
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Per la configurazione B, i calcoli sono identici, solo variano le componenti <math>x</math> e <math>y</math>; possiamo quindi scrivere le forze nelle due configurazioni in forma vettoriale:
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<math display="block">
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\begin{align}
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&\text{A) } \mathbf{F} = \boldsymbol{\nabla} (\mathbf{p} \cdot\mathbf{E} )= \frac{pq}{4 \pi \epsilon_0} \left( -\frac{3xy}{r^5} ; \, \frac{r^2 - 3y}{r^5} ; \, -\frac{3 zy}{r^5} \right)  \rightarrow \mathbf{F} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{d^3} \hat{\mathbf{x}}\\
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&\text{B) } \mathbf{F} = \boldsymbol{\nabla} (\mathbf{p} \cdot\mathbf{E} )= \frac{pq}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{r^2 - 3x}{r^5} ; \, -\frac{3xy}{r^5} ; \, -\frac{3 zx}{r^5} \right)  \rightarrow \mathbf{F} = \frac{pq}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{d^3} \hat{\mathbf{y}}
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\end{align}
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</math>
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Dove abbiamo indicato con <math>d</math> la distanza dall'origine del punto medio di <math>\delta</math>.
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Per il calcolo dei momenti, potremmo procedere passo passo calcolando il prodotto vettoriale tra i due, ma basta osservare che nella configurazione B il dipolo è già parallelo all'asse, quindi <math>\mathbf{p} // \mathbf{E}</math> e il loro prodotto vettoriale è nullo, mentre nella configurazione A, mentre la forza spinge il dipolo all'infinito lungo <math>\hat{\mathbf{y}}</math>, il momento tenderà a metterlo parallelo al campo, quindi la rotazione avverrà lungo l'asse <math>\hat{\mathbf{z}}</math>. I due momenti sono allora:
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<math display="block">
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\begin{align}
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&\text{A})\quad \mathbf{M} = - p E_x \hat{\mathbf{z}} \\
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&\text{B})\quad \mathbf{M} = 0
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\end{align}
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</math>
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Versione attuale delle 10:58, 26 dic 2017

Unitile dire che con i dipoli ci si possono fare tanti esercizi belli e carini. Vediamone alcuni

Esempio (3.1)
Fig. 3.5: Il modello dell'esempio 3.1

In questo esempio prendiamo come distribuzione di carica un anello carico, con densità di carica lineare variabile pari a , dove è l'angolo formato dal raggio dell'anello e l'asse . In figura 3.5 è presentato il modello e una rappresentazione schematica di come si dispongono le cariche sull'anello. L'obiettivo dell'esercizio è calcolare campo elettrico e potenziale generati dall'anello a grande distanza, dove potremo utilizzare l'approssimazione di dipolo.

A tutti gli effetti, questo modello è un dipolo; da una parte ci sono le cariche positive, dall'altra quelle negative. Ci aspettiamo quindi che il suo momento di dipolo sia orientato parallelo all'asse , e inoltre, per come è definita la densità , ci aspettiamo anche che la carica totale sia neutra. Partiamo da questa.

Poiché , il calcolo dell'integrale è elementare. Andiamo allora a calcolare il suo momento di dipolo. Osservando la figura, notiamo come , da cui otteniamo il momento di dipolo:

Integrando su tutto l'anello (attenzione: l'integrale va da a , perché il sistema è simmetrico) otteniamo . Per calcolarne le componenti procediamo ognuna per ognuna:

Come ci aspettavamo, abbiamo ottenuto che il momento di dipolo è diretto parallelamente all'asse ed è pari a . Per calcolare potenziale e campo elettrico di dipolo non resta che applicare le formule viste nella sezione 3.1:

 
Esempio (3.2)
Fig. 3.6: Le due configurazioni del dipolo nell'esempio 3.2

Abbiamo un dipolo posizionato sull'asse in due configurazioni: configurazione A, il dipolo ha momento parallelo all'asse , ovvero ; configurazione B, il momento di dipolo è parallelo all'asse , ovvero . Nell'origine è posizionata una carica positiva che genera un campo elettrico; tutto il sistema è posto a quota . Calcoliamo la forza e il momento che subisce il dipolo in entrambe le configurazioni. Fare riferimento alla figura 3.6.

Dalla sezione 3.1 sappiamo che e . Da una prima occhiata, poiché nella configurazione A la carica negativa è più vicina all'origine, possiamo dire che la forza attrarrà il dipolo verso la carica generatrice del campo. Viceversa, nella configurazione B le cariche si trovano alla stessa distanza dall'origine, quindi la forza sarà parallela al momento di dipolo, ovvero diretta lungo . Calcoliamo la forza nella configurazione A:

(questo ricordando che ). Calcoliamo le componenti:

Per la configurazione B, i calcoli sono identici, solo variano le componenti e ; possiamo quindi scrivere le forze nelle due configurazioni in forma vettoriale:

Dove abbiamo indicato con la distanza dall'origine del punto medio di .

Per il calcolo dei momenti, potremmo procedere passo passo calcolando il prodotto vettoriale tra i due, ma basta osservare che nella configurazione B il dipolo è già parallelo all'asse, quindi e il loro prodotto vettoriale è nullo, mentre nella configurazione A, mentre la forza spinge il dipolo all'infinito lungo , il momento tenderà a metterlo parallelo al campo, quindi la rotazione avverrà lungo l'asse . I due momenti sono allora:

 
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