Potenziali elettodinamici

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==Potenziali in caso dinamico==
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In elettrostatica avevamo il campo elettrico conservativo <math>\mathbf{\nabla} \times \mathbf{E} = 0</math>, che ci ha permesso di poter scrivere il campo elettrico come il gradiente di un campo scalare, che abbiamo chiamato ''potenziale elettrostatico'' <math>\mathbf{E} = - \mathbf{\nabla} V</math>. Da questa, poi, unendo la prima e la terza equazione di Maxwell siamo giunti all'equazione di Poisson
  
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<math display="block"> \nabla^2 V = - \frac{\rho}{\epsilon_0}</math>
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La cui soluzione risolve tutti i problemi dell'elettrostatica. La stessa cosa abbiamo fatto in magnetostatica: avendo il campo magnetico solenoidale <math>\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B} = 0</math>, abbiamo potuto esprimerlo come il rotore di un campo vettoriale <math>\mathbf{B} = \mathbf{\nabla}\times \mathbf{A}</math> che abbiamo chiamato ''potenziale vettore''. Unendo questa e la quarta equazione di Maxwell siamo giunti a scrivere
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<math display="block"> \nabla^2 \mathbf{A} = -\mu_0 \mathbf{J}</math>
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Che equivale formalmente a tre equazioni di Poisson lungo i tre assi cartesiani. Anche questa, se risolta, ci permette di risolvere qualsiasi problema di magnetostatica.
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Siamo poi passati nel regime dipendente dal tempo, e le cose sono un po' cambiate. Il campo elettrico non è più conservativo, quindi non potremo più esprimerlo in funzione del potenziale elettrico. Tuttavia, possiamo ancora fare qualcosa. Infatti, il campo magnetico resta sempre solenoidale, quindi possiamo sostituirlo con il rotore del potenziale vettore nella terza equazione di Maxwell:
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<math display="block"> \mathbf{\nabla} \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = - \frac{\partial}{\partial t} ( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A} ) = - \mathbf{\nabla} \times \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}</math>
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Portando tutto a sinistra e applicando la linearità dell'operatore rotore otteniamo:
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<math display="block"> \mathbf{\nabla} \times \left[ \mathbf{E} -+\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \right] = 0</math>
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Adesso il campo tra parentesi è sì conservativo: nel caso statico si torna al solo campo elettrico, ma se c'è dipendenza dal tempo va aggiunto un altro termine. In ogni caso, possiamo esprimere questo campo come il gradiente di un potenziale scalare:
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<math display="block"> \mathbf{E} + \frac{\partial \mathbf{A}}{ \partial t} = - \mathbf{\nabla}V</math>
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<math>V</math> è chiamato '''potenziale scalare''' e, attenzione, '''non è uguale al potenziale elettrico''', è un'altra cosa. Con questo ragionamento possiamo allora esprimere ''sempre'' i campi elettrico e magnetico come funzioni di potenziali:
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<math display="block"> \left\{
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\begin{align}
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&\mathbf{E} = - \mathbf{\nabla}V - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \\
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&\mathbf{B} = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A}
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\end{align} \right.</math>
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Adesso il campo elettrico <math>\mathbf{E}</math> dipende dal potenziale vettore <math>\mathbf{A}</math>, quindi le due equazioni sono accoppiate. La dipendenza temporale comporta qualche complicazione, come notiamo.
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==Gauge di Lorentz==
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A questo punto, possiamo fare come nel caso statico e unire le relazioni trovate alle restanti leggi di Maxwell. In particolare, sostituendo nella prima <math>\mathbf{\nabla}\cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon}</math> l'espressione del campo elettrico in funzione dei potenziali otterremo:
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<math display="block">
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\begin{align}
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&\mathbf{\nabla} \cdot \left[ - \mathbf{\nabla} V - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \right] = \frac{\rho}{\epsilon} \\
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&\nabla^2 V + \frac{\partial}{\partial t} (\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A} ) = - \frac{\rho}{\epsilon}
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\end{align}
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</math>
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Allo stesso modo possiamo operare per la quarta equazione di Maxwell:
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<math display="block">
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\begin{align}
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\mathbf{\nabla}\times \mathbf{B} =& \mu \mathbf{J} + \mu \epsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \\
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\mathbf{\nabla} \times ( \mathbf{\nabla}\times \mathbf{A} ) = - \nabla^2 \mathbf{A} + \mathbf{\nabla} ( \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A} ) =& \mu \mathbf{J} + \mu \epsilon \frac{\partial}{\partial t} \left[ - \mathbf{\nabla} V - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \right] \\
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=& \mu \mathbf{J} - \mu \epsilon \mathbf{\nabla} \left( \frac{\partial V}{\partial t} \right) - \mu \epsilon \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2}
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\end{align}
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</math>
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Otteniamo allora due equazioni:
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<math display="block"> \left| \begin{align}
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&\nabla^2 \mathbf{A} - \mu \epsilon \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} - \mathbf{\nabla} \left(\mathbf{\nabla}\cdot \mathbf{A} + \frac{\partial V}{\partial t} \right) = \mu \mathbf{J} \\
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&\nabla^2 V + \frac{\partial }{\partial t} ( \mathbf{\nabla}\cdot \mathbf{A} ) = -\frac{\rho}{\epsilon}
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\end{align} \right.</math>

Versione delle 17:49, 26 giu 2017

Potenziali in caso dinamico

In elettrostatica avevamo il campo elettrico conservativo , che ci ha permesso di poter scrivere il campo elettrico come il gradiente di un campo scalare, che abbiamo chiamato potenziale elettrostatico . Da questa, poi, unendo la prima e la terza equazione di Maxwell siamo giunti all'equazione di Poisson

La cui soluzione risolve tutti i problemi dell'elettrostatica. La stessa cosa abbiamo fatto in magnetostatica: avendo il campo magnetico solenoidale , abbiamo potuto esprimerlo come il rotore di un campo vettoriale che abbiamo chiamato potenziale vettore. Unendo questa e la quarta equazione di Maxwell siamo giunti a scrivere

Che equivale formalmente a tre equazioni di Poisson lungo i tre assi cartesiani. Anche questa, se risolta, ci permette di risolvere qualsiasi problema di magnetostatica.

Siamo poi passati nel regime dipendente dal tempo, e le cose sono un po' cambiate. Il campo elettrico non è più conservativo, quindi non potremo più esprimerlo in funzione del potenziale elettrico. Tuttavia, possiamo ancora fare qualcosa. Infatti, il campo magnetico resta sempre solenoidale, quindi possiamo sostituirlo con il rotore del potenziale vettore nella terza equazione di Maxwell:

Portando tutto a sinistra e applicando la linearità dell'operatore rotore otteniamo:

Adesso il campo tra parentesi è sì conservativo: nel caso statico si torna al solo campo elettrico, ma se c'è dipendenza dal tempo va aggiunto un altro termine. In ogni caso, possiamo esprimere questo campo come il gradiente di un potenziale scalare:

è chiamato potenziale scalare e, attenzione, non è uguale al potenziale elettrico, è un'altra cosa. Con questo ragionamento possiamo allora esprimere sempre i campi elettrico e magnetico come funzioni di potenziali:

Adesso il campo elettrico dipende dal potenziale vettore , quindi le due equazioni sono accoppiate. La dipendenza temporale comporta qualche complicazione, come notiamo.

Gauge di Lorentz

A questo punto, possiamo fare come nel caso statico e unire le relazioni trovate alle restanti leggi di Maxwell. In particolare, sostituendo nella prima l'espressione del campo elettrico in funzione dei potenziali otterremo:

Allo stesso modo possiamo operare per la quarta equazione di Maxwell:


Otteniamo allora due equazioni:

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