Onde piane

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==Soluzione all'equazione di d'Alambert==
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==Soluzione all'equazione di d'Alambert: onde piane==
 
Come abbiamo visto, nel vuoto le equazioni di Maxwell possono essere riscritte in modo che i campi <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math> rispettino l'equazione delle onde di d'Alambert:
 
Come abbiamo visto, nel vuoto le equazioni di Maxwell possono essere riscritte in modo che i campi <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{B}</math> rispettino l'equazione delle onde di d'Alambert:
  
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<math display="block"> v = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}} = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} \frac{1}{\sqrt{\mu_r \epsilon_r}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \epsilon_r}} \approx \frac{c}{\sqrt{\epsilon_r}} = \frac{c}{n}</math>
 
<math display="block"> v = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}} = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} \frac{1}{\sqrt{\mu_r \epsilon_r}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \epsilon_r}} \approx \frac{c}{\sqrt{\epsilon_r}} = \frac{c}{n}</math>
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Abbiamo approssimato <math>\sqrt{\mu_r \epsilon_r}\approx \sqrt{\epsilon_r}</math> in quanto nei mezzi omogenei e lineari <math>\mu_r \sim 1</math> e, come vedremo, non influisce sulla rifrazione dell'onda; <math>n</math> si chiama proprio '''indice di rifrazione del mezzo''' e ci fornisce la velocità dell'onda. La soluzione generale all'equazione di d'Alambert dovrebbe essere nota al lettore: può essere scritta come somma di due funzioni, un'onda progressiva e un'onda regressiva, con <math>f(x,t) = f(x \mp vt)</math> le variabili spaziali e temporali non indipendenti tra loro.
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La forma generale della funzione che si propaga nello spazio dipende dall'impulso con cui abbia costruito l'onda, ovvero da come abbiamo preso nello spazio le sorgenti con cui abbiamo generato la perturbazione. Una soluzione più comoda delle onde progressive e regressive è data dalla soluzione sinusoidale:
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<math display="block"> f( x \mp vt) = A \sin (x \mp vt + \phi)</math>
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Dove <math>\phi</math> indica la fase dell'onda rispetto al nostro sistema di riferimento. Questo tipo di onde presenta una sola frequenza e per questo viene chiamata '''monocromatica'''. Questa formulazione generale può essere scritta in forma adimensionale, ricordando le caratteristiche fondamentali delle onde:
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<math display="block">
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\begin{align}
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&\text{pulsazione} \; \omega = 2 \pi \nu = \frac{2 \pi}{T} \\
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&\text{frequenza} \; \nu = \frac{1}{T} \\
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&\text{velocita} \; v = \frac{\lambda}{T} = \lambda \nu \\
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&\text{numero d'onda} \; k = \frac{2 \pi}{\lambda}
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\end{align}
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</math>
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Ricordiamo che <math>T</math> è il periodo dell'onda e <math>\lambda</math> è la lunghezza d'onda. Usando queste relazioni, la funzione può essere scritta come:
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<math display="block"> f  = A \sin \left( 2 \pi \left( \frac{x }{\lambda} - \frac{vt}{\lambda} \right) + \phi \right)</math>
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Considerando <math>\phi = \frac{\pi}{2}</math>, otteniamo la nostra forma generale che useremo d'ora in avanti:
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<math display="block"> f = A \cos( kx - \omega t)</math>
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Questa è un'onda che si propaga nella direzione <math>\hat{x}</math>. Nel caso generale, si propagherà in una direzione generica <math>\hat{n}</math>; possiamo esprimere il numero d'onda come un vettore, <math>\mathbf{k} = k  \hat{n}</math> con il modulo pari al numero d'onda e la direzione di propagazione dell'onda. Così facendo, otterremo:
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<math display="block"> f = A \cos (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)</math>
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Questa è la forma più generale delle onde sinusoidali. Per il nostro studio, conviene riscriverla ancora in un altro modo, ovvero in forma esponenziale:
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<math display="block">f = \mathbf{A} e^{j (\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}  - \omega t)}</math>
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Per avere la nostra soluzione prenderemo ovviamente la parte reale di questa espressione; <math>j</math> indica l'unità immaginaria <math>j=(0,1)</math> e <math>\mathbf{A} = (A_x,A_y,A_z)</math> è un vettore le cui componenti dipendono dalle componenti del campo elettrico (o magnetico) <math>E_x,E_y,E_z</math>, le quali a loro volta dipendono dalla posizione <math>\mathbf{r} =(x,y,z)</math>.
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Tratteremo solo onde monocromatiche, sinusoidali e '''piane''', ovvero funzioni d'onda il cui valore è uniforme su piani ortogonali alla direzione di propagazione dell'onda. Questa è un'approssimazione che funziona solo molto lontano dalle sorgenti generatrici dell'onda e in piccole zone di spazio. Per semplificare ancora di più le cose, considereremo le onde dipendenti solo dalla variabile <math>x</math>, per cui l'equazione di d'Alambert diventa:
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<math display="block"> \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{E} = 0</math>
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Questa schematizzazione ha un problema principale e angusto: '''non conserva l'energia'''. Un esempio di onde in cui vale la conservazione dell'energia sono le onde sferiche, la cui ampiezza decresce con la distanza. In ogni caso, onde piane e onde sferiche sono solo modelli teorici, in quanto irrealizzabili nella realtà.
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==Onde polarizzate==
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Visto che ci siamo, possiamo semplificarci ancora di più la vita considerando onde '''polarizzate'''. I campi <math>\mathbf{E},\mathbf{B}</math> hanno entrambi tre componenti spaziali: nelle onde polarizzate questi due campi oscillano solo una direzione specifica (che può essere uno dei tre assi o anche una direzione scelta da ubriachi a caso). Sebbene questa sia una semplificazione, la trattazione non perde di generalità: anche per le onde vale il principio di sovrapposizione, e un'onda polarizzata può sempre essere vista come somma di altre onde non polarizzate.
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Consideriamo allora che <math>\mathbf{E}</math> oscilli in una sola direzione; i due campi possono essere scritti come:
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<math display="block">
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\begin{align}
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&\mathbf{E} = \mathbf{E}_0 e^{j( \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)} \\
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& \mathbf{B} = \mathbf{B}_0 e^{j( \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)}
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\end{align}</math>
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Per le onde polarizzate, possiamo dimostrare sfruttando le equazioni di Maxwell due proprietà:
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<math display="block"> \begin{align}
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&1. \; \hat{E} \bot \hat{B} \bot \hat{k} \\
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&2. \; \frac{E_0}{B_0} = v
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\end{align}</math>
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Queste due proprietà valgono ''per tutti i tipi di onde sinusoidali e monocromatiche'', non solo quelle piane e polarizzate. Dalla proprietà 1 otteniamo un'informazione interessante: le onde elettromagnetiche sono onde trasversali. In figura 9.9 vediamo come si propagano rispetto alle oscillazioni dei campi.

Versione delle 18:32, 25 giu 2017

Soluzione all'equazione di d'Alambert: onde piane

Come abbiamo visto, nel vuoto le equazioni di Maxwell possono essere riscritte in modo che i campi e rispettino l'equazione delle onde di d'Alambert:

Con la velocità di propagazione . Nei mezzi omogenei, isotropi e lineari la velocità diminuisce, vale infatti:

Abbiamo approssimato in quanto nei mezzi omogenei e lineari e, come vedremo, non influisce sulla rifrazione dell'onda; si chiama proprio indice di rifrazione del mezzo e ci fornisce la velocità dell'onda. La soluzione generale all'equazione di d'Alambert dovrebbe essere nota al lettore: può essere scritta come somma di due funzioni, un'onda progressiva e un'onda regressiva, con le variabili spaziali e temporali non indipendenti tra loro.

La forma generale della funzione che si propaga nello spazio dipende dall'impulso con cui abbia costruito l'onda, ovvero da come abbiamo preso nello spazio le sorgenti con cui abbiamo generato la perturbazione. Una soluzione più comoda delle onde progressive e regressive è data dalla soluzione sinusoidale:

Dove indica la fase dell'onda rispetto al nostro sistema di riferimento. Questo tipo di onde presenta una sola frequenza e per questo viene chiamata monocromatica. Questa formulazione generale può essere scritta in forma adimensionale, ricordando le caratteristiche fondamentali delle onde:

Ricordiamo che è il periodo dell'onda e è la lunghezza d'onda. Usando queste relazioni, la funzione può essere scritta come:

Considerando , otteniamo la nostra forma generale che useremo d'ora in avanti:

Questa è un'onda che si propaga nella direzione . Nel caso generale, si propagherà in una direzione generica ; possiamo esprimere il numero d'onda come un vettore, con il modulo pari al numero d'onda e la direzione di propagazione dell'onda. Così facendo, otterremo:

Questa è la forma più generale delle onde sinusoidali. Per il nostro studio, conviene riscriverla ancora in un altro modo, ovvero in forma esponenziale:

Per avere la nostra soluzione prenderemo ovviamente la parte reale di questa espressione; indica l'unità immaginaria e è un vettore le cui componenti dipendono dalle componenti del campo elettrico (o magnetico) , le quali a loro volta dipendono dalla posizione .

Tratteremo solo onde monocromatiche, sinusoidali e piane, ovvero funzioni d'onda il cui valore è uniforme su piani ortogonali alla direzione di propagazione dell'onda. Questa è un'approssimazione che funziona solo molto lontano dalle sorgenti generatrici dell'onda e in piccole zone di spazio. Per semplificare ancora di più le cose, considereremo le onde dipendenti solo dalla variabile , per cui l'equazione di d'Alambert diventa:

Questa schematizzazione ha un problema principale e angusto: non conserva l'energia. Un esempio di onde in cui vale la conservazione dell'energia sono le onde sferiche, la cui ampiezza decresce con la distanza. In ogni caso, onde piane e onde sferiche sono solo modelli teorici, in quanto irrealizzabili nella realtà.

Onde polarizzate

Visto che ci siamo, possiamo semplificarci ancora di più la vita considerando onde polarizzate. I campi hanno entrambi tre componenti spaziali: nelle onde polarizzate questi due campi oscillano solo una direzione specifica (che può essere uno dei tre assi o anche una direzione scelta da ubriachi a caso). Sebbene questa sia una semplificazione, la trattazione non perde di generalità: anche per le onde vale il principio di sovrapposizione, e un'onda polarizzata può sempre essere vista come somma di altre onde non polarizzate.

Consideriamo allora che oscilli in una sola direzione; i due campi possono essere scritti come:

Per le onde polarizzate, possiamo dimostrare sfruttando le equazioni di Maxwell due proprietà:

Queste due proprietà valgono per tutti i tipi di onde sinusoidali e monocromatiche, non solo quelle piane e polarizzate. Dalla proprietà 1 otteniamo un'informazione interessante: le onde elettromagnetiche sono onde trasversali. In figura 9.9 vediamo come si propagano rispetto alle oscillazioni dei campi.

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