Formulario di elettrostatica

Espressioni generali

Forza elettrica:

$$\mathbf {F} ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}$$

$$\mathbf {F} ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}$$

Campo elettrico di una distribuzione discreta:

$$\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\sum _{i}{\frac {q_{i}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')$$

$$\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\sum _{i}{\frac {q_{i}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')$$

Campo elettrico di distribuzione lineare, superficiale, volumica:

$${\begin{aligned}&\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\gamma }{\frac {\lambda (\mathbf {r} ')(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}dl'\\&\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{S}{\frac {\sigma (\mathbf {r} ')(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}dS'\\&\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\tau }{\frac {\rho (\mathbf {r} ')(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}d\tau '=\left({\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\tau }{\frac {\rho (x',y',z')(x-x')}{{\Big [}(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}{\Big ]}^{\frac {3}{2}}}}dx'dy'dz'\right){\hat {\mathbf {x} }}+\cdots \end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}&\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\gamma }{\frac {\lambda (\mathbf {r} ')(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}dl'\\&\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{S}{\frac {\sigma (\mathbf {r} ')(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}dS'\\&\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\tau }{\frac {\rho (\mathbf {r} ')(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}d\tau '=\left({\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\tau }{\frac {\rho (x',y',z')(x-x')}{{\Big [}(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}{\Big ]}^{\frac {3}{2}}}}dx'dy'dz'\right){\hat {\mathbf {x} }}+\cdots \end{aligned}}$$

Potenziale elettrico (distribuzione volumica):

$$V(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\tau }{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d\tau '$$

$$V(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\tau }{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d\tau '$$

Teorema di Gauss

Per il campo elettrico nel vuoto vale:

$$\Phi _{S}(\mathbf {E} )={\frac {Q_{\text{int}}}{\epsilon _{0}}}$$

$$\Phi _{S}(\mathbf {E} )={\frac {Q_{\text{int}}}{\epsilon _{0}}}$$

Per lo spostamento elettrico vale:

$$\Phi _{S}(\mathbf {D} )=Q_{\text{int}}^{\text{libera}}$$

$$\Phi _{S}(\mathbf {D} )=Q_{\text{int}}^{\text{libera}}$$

La superficie deve essere una qualsiasi superficie chiusa.

Campi elettrici di particolari distribuzioni

Campo elettrico generato da una sfera con carica uniforme $Q$$Q$:

$$\mathbf {E} (\mathbf {r} )=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {r}{R^{3}}}{\hat {\mathbf {r} }}\\&{\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}\end{aligned}}\right.$$

$$\mathbf {E} (\mathbf {r} )=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {r}{R^{3}}}{\hat {\mathbf {r} }}\\&{\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}\end{aligned}}\right.$$

Per un piano infinito di carica con densità di carica uniforme $\sigma$$\sigma$:

$$\mathbf {E} ={\frac {\sigma }{2\epsilon _{0}}}{\hat {\mathbf {n} }}$$

$$\mathbf {E} ={\frac {\sigma }{2\epsilon _{0}}}{\hat {\mathbf {n} }}$$

Per un filo infinito con densità di carica lineare uniforme $\lambda$$\lambda$:

$$\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\lambda }{2\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}\,{\hat {\mathbf {n} }}$$

$$\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\lambda }{2\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}\,{\hat {\mathbf {n} }}$$

Per un anello carico con densità uniforme (si considera lungo l'asse di simmetria, in questo caso ${\hat {\mathbf {x} }}$${\hat {\mathbf {x} }}$:

$$\mathbf {E} (\mathbf {x} )={\frac {\lambda R}{2\epsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {x} }{(R^{2}+x^{2})^{\frac {3}{2}}}}$$

$$\mathbf {E} (\mathbf {x} )={\frac {\lambda R}{2\epsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {x} }{(R^{2}+x^{2})^{\frac {3}{2}}}}$$

$$V(\mathbf {r} )={\frac {\lambda }{2\epsilon _{0}}}{\frac {R}{\sqrt {R^{2}+x^{2}}}}$$

$$V(\mathbf {r} )={\frac {\lambda }{2\epsilon _{0}}}{\frac {R}{\sqrt {R^{2}+x^{2}}}}$$

Per un cilindro infinito di carica con densità volumica uniforme:

$$\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho R^{2}}{\epsilon _{0}r}}\,{\hat {\mathbf {r} }}\quad r>R$$

$$\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho R^{2}}{\epsilon _{0}r}}\,{\hat {\mathbf {r} }}\quad r>R$$

Dipoli elettrici

Momento di dipolo (distribuzione discreta):

$$\mathbf {p} =\left\{{\begin{aligned}&p_{x}=\sum _{i}q_{i}x_{i}\\&p_{y}=\sum _{i}q_{i}y_{i}\\&p_{z}=\sum _{i}q_{i}z_{i}\end{aligned}}\right.$$

$$\mathbf {p} =\left\{{\begin{aligned}&p_{x}=\sum _{i}q_{i}x_{i}\\&p_{y}=\sum _{i}q_{i}y_{i}\\&p_{z}=\sum _{i}q_{i}z_{i}\end{aligned}}\right.$$

Momento di dipolo (distribuzione continua):

$$\mathbf {p} =\left\{{\begin{aligned}&\oint \lambda \,\mathbf {r} '\,dl\\&\int _{S}\sigma \,\mathbf {r} '\,dS\\&\int _{\tau }\rho \,\mathbf {r} '\,d\tau \end{aligned}}\right.$$

$$\mathbf {p} =\left\{{\begin{aligned}&\oint \lambda \,\mathbf {r} '\,dl\\&\int _{S}\sigma \,\mathbf {r} '\,dS\\&\int _{\tau }\rho \,\mathbf {r} '\,d\tau \end{aligned}}\right.$$

Potenziale di dipolo elettrico:

$$V(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }{r^{3}}}$$

$$V(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }{r^{3}}}$$

Campo elettrico generato da un dipolo:

$$\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left(3{\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }{r^{5}}}\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {p} }{r^{3}}}\right)$$

$$\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left(3{\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }{r^{5}}}\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {p} }{r^{3}}}\right)$$

Se il momento di dipolo è solo sull'asse $z$$z$ le componenti saranno:

$${\begin{aligned}&E_{x}={\frac {3pzx}{4\pi \epsilon _{0}r^{5}}}\\&E_{y}={\frac {3pzy}{4\pi \epsilon _{0}r^{5}}}\\&E_{z}={\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {3z^{2}-r^{2}}{r^{5}}}\right)\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}&E_{x}={\frac {3pzx}{4\pi \epsilon _{0}r^{5}}}\\&E_{y}={\frac {3pzy}{4\pi \epsilon _{0}r^{5}}}\\&E_{z}={\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {3z^{2}-r^{2}}{r^{5}}}\right)\end{aligned}}$$

In questo caso particolare, sullo stesso asse del momento di dipolo avremo:

$$E_{z}(0,0,z)={\frac {p}{2\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{z^{3}}}$$

$$E_{z}(0,0,z)={\frac {p}{2\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{z^{3}}}$$

Potenziale di multipolo (fino al termine di dipolo):

$$V(\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}+{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }{r^{3}}}$$

$$V(\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}+{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }{r^{3}}}$$

Energia elettrostatica di dipolo:

$$U_{E}=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {E}$$

$$U_{E}=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {E}$$

Forza agente su un dipolo immerso in un campo esterno non uniforme:

$$\mathbf {F} ={\Big (}\mathbf {p} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}E_{x};\;\mathbf {p} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}E_{y};\;\mathbf {p} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}E_{z}{\Big )}$$

$$\mathbf {F} ={\Big (}\mathbf {p} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}E_{x};\;\mathbf {p} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}E_{y};\;\mathbf {p} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}E_{z}{\Big )}$$

Momento della forza agente sul dipolo:

$$\mathbf {M} =\mathbf {p} \times \mathbf {E}$$

$$\mathbf {M} =\mathbf {p} \times \mathbf {E}$$

Conduttori

Teorema di Coulomb (valido in prossimità della superficie del conduttore):

$$\mathbf {E} ={\frac {\sigma }{\epsilon _{0}}}\,{\hat {\mathbf {n} }}\quad \mathbf {D} =\sigma \,{\hat {\mathbf {n} }}$$

$$\mathbf {E} ={\frac {\sigma }{\epsilon _{0}}}\,{\hat {\mathbf {n} }}\quad \mathbf {D} =\sigma \,{\hat {\mathbf {n} }}$$

Pressione elettrostatica:

$$P_{E}={\frac {\sigma ^{2}}{2\epsilon _{0}}}$$

$$P_{E}={\frac {\sigma ^{2}}{2\epsilon _{0}}}$$

Induzione tra conduttori (problema di Neumann):

$$V_{i}=\sum _{i}p_{ij}Q_{i}$$

$$V_{i}=\sum _{i}p_{ij}Q_{i}$$

Induzione tra conduttori (problema di Dirichlet):

$$Q_{i}=\sum _{i}c_{ij}V_{i}$$

$$Q_{i}=\sum _{i}c_{ij}V_{i}$$

Condensatori

Capacità di qualsiasi condensatore al limite della distanza tra le armature nulla:

$$C={\frac {S\epsilon _{0}}{d}}$$

$$C={\frac {S\epsilon _{0}}{d}}$$

Capacità del condensatore cilindrico:

$$C={\frac {2\pi \epsilon _{0}h}{\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right)}}$$

$$C={\frac {2\pi \epsilon _{0}h}{\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right)}}$$

Capacità del condensatore piano:

$$C={\frac {S\epsilon _{0}}{d}}$$

$$C={\frac {S\epsilon _{0}}{d}}$$

Capacità del condensatore cilindrico:

$$C=4\pi \epsilon _{0}{\frac {R_{1}R_{2}}{R_{2}-R_{1}}}$$

$$C=4\pi \epsilon _{0}{\frac {R_{1}R_{2}}{R_{2}-R_{1}}}$$

Condensatori in serie:

$${\frac {1}{C_{s}}}=\sum _{i}{\frac {1}{C_{i}}}$$

$${\frac {1}{C_{s}}}=\sum _{i}{\frac {1}{C_{i}}}$$

Condensatori in parallelo:

$$C_{p}=\sum _{i}C_{i}$$

$$C_{p}=\sum _{i}C_{i}$$

Energia elettrostatica del condensatore:

$$U_{E}={\frac {1}{2}}{\frac {Q^{2}}{C}}$$

$$U_{E}={\frac {1}{2}}{\frac {Q^{2}}{C}}$$

Energia di campo elettrico

Energia per costruire una distribuzione di cariche discreta (energia di interazione):

$$U={\frac {1}{2}}\sum _{i}q_{i}V_{i}$$

$$U={\frac {1}{2}}\sum _{i}q_{i}V_{i}$$

Energia di campo elettrico:

$$U_{E}={\frac {1}{2}}\int _{AS}{\mathcal {u}}_{E}d\tau =\int _{AS}{\frac {1}{2}}\epsilon _{0}E^{2}d\tau$$

$$U_{E}={\frac {1}{2}}\int _{AS}{\mathcal {u}}_{E}d\tau =\int _{AS}{\frac {1}{2}}\epsilon _{0}E^{2}d\tau$$

Energia di un generatore di tensione:

$$\Delta U_{G}=-2\Delta U_{E}$$

$$\Delta U_{G}=-2\Delta U_{E}$$

Elettrostatica nei dielettrici

Momento di polarizzazione:

$$\mathbf {P} =n\left\langle \mathbf {p} \right\rangle =\epsilon _{0}(\epsilon _{r}-1)\mathbf {E} ={\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}}}\mathbf {D}$$

$$\mathbf {P} =n\left\langle \mathbf {p} \right\rangle =\epsilon _{0}(\epsilon _{r}-1)\mathbf {E} ={\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}}}\mathbf {D}$$

Spostamento elettrico:

$$\mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} =\epsilon _{0}\epsilon _{r}\mathbf {E}$$

$$\mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} =\epsilon _{0}\epsilon _{r}\mathbf {E}$$

Densità di carica di polarizzazione:

$${\begin{aligned}&\rho _{p}=-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {P} \\&\sigma _{p}=\mathbf {P} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}&\rho _{p}=-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {P} \\&\sigma _{p}=\mathbf {P} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\end{aligned}}$$

Relazione tra cariche libere e cariche di polarizzazione:

$${\begin{aligned}&\rho _{p}=-{\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}}}\rho \\&\sigma _{p}=-{\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}}}\sigma \end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}&\rho _{p}=-{\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}}}\rho \\&\sigma _{p}=-{\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}}}\sigma \end{aligned}}$$

Condizioni di raccordo lungo le superfici di separazione

Le componenti tangenti alle superfici di separazione:

$${\begin{aligned}&{\frac {D_{1t}}{\epsilon _{r1}}}={\frac {D_{2t}}{\epsilon _{r2}}}\\&E_{1t}=E_{2t}\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}&{\frac {D_{1t}}{\epsilon _{r1}}}={\frac {D_{2t}}{\epsilon _{r2}}}\\&E_{1t}=E_{2t}\end{aligned}}$$

Le componenti normali alle superfici di separazione:

$${\begin{aligned}&D_{1n}=D_{2n}\\&{\frac {E_{1n}}{\epsilon _{r2}}}={\frac {E_{2n}}{\epsilon _{r1}}}\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}&D_{1n}=D_{2n}\\&{\frac {E_{1n}}{\epsilon _{r2}}}={\frac {E_{2n}}{\epsilon _{r1}}}\end{aligned}}$$

Energia elettrostatica nella materia

L'energia di campo elettrico nella materia:

$$U_{E}={\frac {1}{2}}\int _{AS}{\mathcal {u}}_{E}d\tau =\int _{AS}{\frac {1}{2}}\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} d\tau =\int _{AS}{\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\epsilon _{r}E^{2}d\tau$$

$$U_{E}={\frac {1}{2}}\int _{AS}{\mathcal {u}}_{E}d\tau =\int _{AS}{\frac {1}{2}}\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} d\tau =\int _{AS}{\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\epsilon _{r}E^{2}d\tau$$