Corso:Calcolo Numerico I1/Esempi di temi d'esame/Tema 11

Esercizio 9.42

Sia data la funzione g:\mathbb R →\mathbb R definita a tratti

g(x)=\begin{cases} x^{3/2}+x/2 &x\ge 0 1/9-(x+1/3)^2 &x<0\end{cases}

e il metodo di punto fisso

x_{k+1}=g(xₖ₎

con x₀ assegnato.

- Si studi graficamente la convergenza del metodo al variare del punto x_0
  \in \mathbb R indicando, eventualmente, anche l'ordine di convergenza.
- Si calcoli il condizionamento K(x) della funzione g per i valori positivi
  di x. Si mostri che tale numero di condizionamento è compreso in un
  intervallo [a,b] indicandone i valori.

Studio della funzione g:

- Limiti: per x →+\infty , g →+\infty , mentre per x →-\infty , g →-\infty
  .
- Intersezioni con gli assi: La funzione passa per il punto (0,0) e si
  raccorda con continuità nell'origine.Per x
  positivi:x^{3/2}+x/2=0x*(x^{1/2}+1/2)=0x^{1/2}=-1/2, \hbox{non ha
  soluzione} Per x negativi:1/9-(x+1/3)²⁼⁰1/9-x²-2/3 x-1/9=0x²⁺²/3 x=0x=0,
  x=-2/3quindi la funzione passa anche per il punto (-2/3,0).
- Intersezioni con la bisettrice: P₁₌₍₀,0) è un punto fisso.Per x
  positivex^{3/2}+x/2=xx^{3/2}-x/2=0x(x^{1/2}-1/2)=0x^{1/2}=1/2x =
  1/4P₂₌₍₁/4,1/4) è un altro punto fisso.Per x
  negative:-2/3x-x²⁼x2/3x+x²⁼-x5/3x+x²⁼⁰x=0, x=-5/3Ottengo anche il punto
  fisso P₃₌₍-5/3,-5/3).
- Monotonia e concavità:Per x positive:f'(x) =
  3/2*x^{1/2}+1/2>03x^{1/2}>-1, ∀x \in \mathbb Rquindi la funzione è sempre
  crescente.f''(x) = 3/4*x^{-1/2} >0 \iff x>0quindi la funzione è convessa
  per x positive.Per x negative:g = -x²-2/3 xf'(x) = -2*(x+1/3)>0x+1/3
  <0x<-1/3Quindi la funzione è crescente per x<-1/3.g''= -2 <0allora la
  funzione è sempre concava.

Convergenza del metodo di punto fisso:

- per x₀<-5/3, ho una successione di iterate decrescente e illimitata.
- per -5/3<x₀<0, la funzione converge a x=0.f'(x)=-2*(x+1/3),
  \longrightarrow f'(0)=-2/3<1e il metodo ha ordine di convergenza 1, dopo
  un numero finito di passi si ha 0<xₖ<1/4, perché l'ordinata del vertice
  della parabola è minore dell'ordinata del punto fisso xₖ₌₁/3.
- per 0<x₀<1/4 ho una successione decrescente di iterate che converge a
  P₁₌₍₀,0).g'(x) = 3/2*x^{1/2}+1/2, \longrightarrow g'(0)=1/2 \neq 0quindi
  l'ordine di convergenza è 1.
- Per x₀>1/4, la successione di iterate diverge.

Condizionamento di g per x positive:

K(g) = \frac{x}{|f(x)|} *f'(x)K(g)= \frac{x}{x^{3/2}+x/2}
*(3/2*x^{1/2}+1/2)K(g)= \frac{x(3/2*x^{1/2}+1/2)}{x^{3/2}+x/2}

Semplificando per x:

K(g)= \frac{3/2*x^{1/2}+1/2}{x^{1/2}+1/2} K(g)=
1+\frac{1/2*x^{1/2}}{x^{1/2}+1/2} K'(g)(x) =
\frac{(x^{1/2}+1/2)*1/4*x^{-1/2}-1/2*x^{1/2}*(1/2*x^{-1/2})}{(x^{1/2}+1/2)²}
K'(g)(x) \ge 0(x^{1/2}+1/2)*1/4*x^{-1/2}-1/2*x^{1/2}*(1/2*x^{-1/2}) \ge
01/4 x+1/8*x^{-1/2}-1/4*x \ge 0x^{-1/2} \ge 0 ∀x >0

quindi K(g) è sempre crescente.

\lim _{x →0} K(g) = \lim _{x →0} 1+\frac{1/2*x^{1/2}}{x^{1/2}+1/2} =1\lim
_{x →+\infty } 1+\frac{1/2*x^{1/2}}{x^{1/2}+1/2} = 3/2

quindi K(g) \in (1,3/2).

Esercizio 9.43

Dato il sistema A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} , \boldsymbol{b} \in
\mathbb R³ e

A= \begin{array}{ccc} 1 & 0 & a 0 & a & 0 a & 0 & 1 \end{array}

α\neq 0,

- calcolare |A|₂ e traciarne il grafico al variare di a.
- indicare per quali valori di a il metodo di Jacobi è convergente.
- Indicare per quali valori di a il metodo di Gauss-Seidel è convergente.
- Calcolare la fattorizzazione LU della matrice A e le quantità |L|_\infty
  e |U|_\infty al variare di a.

Calcolo della norma di A:

\vert A \vert _2 = ρ(A^t A)^{1/2} = √(\max |λ(A^t A)|)

In questo caso A è simmetrica, quindi A^t A = A², λ(A^2)=(λ(A))², quindi

\vert A \vert _2 = \max |λ(A)|A-λI= \begin{array}{ccc} 1-λ& 0 & a 0 & a-λ&
0 a & 0 & 1-λ\end{array} p_λ= (1-λ)(1-λ)(a-λ)+a^2(λ-a)=0p_λ=
(λ-a)*[-(1-λ)²⁺a²]=0p_λ= (λ-a)*[-1-λ^2+2λ+a²]=0λ₁ ₌
ₐ-1-λ^2+2λ+a²⁼⁰λ^2-2λ-a²⁺¹⁼⁰λ_{1,2} = \frac{-2\pm √(4-4(1-a²⁾)}{2} λ_{1,2}
= \frac{-2\pm √(4-4+4a²)}{2} λ_{1,2} = \frac{-2\pm 2a}{2} = -1\pm a|A|_2 =
\max |λ(A)||-1-a|>|a| \iff |-1-a|<-a ∨|-1-a|>a|-1-a|<-a \longrightarrow
a<-1-a<-a-1-a<-a \iff -1<0 ∀xa<-1-a \longrightarrow a<-1/2|-1-a|>a
\longrightarrow -1-a<-a ∨-1-a>a-1-a>a \longrightarrow a<-1/2

Quindi |-1-a|>|a| se a<-1/2.

|a-1|>|a| \iff |a-1|<-a ∨|a-1|>a|a-1|<-a \longrightarrow a<a-1<-aa<a-1
\longrightarrow 0<-1 \hbox{non ha soluzioni} |a-1|>a \iff a-1<-a
∨a-1>aa-1>a \hbox{ non ha soluzioni} a-1<-a \longrightarrow a<1/2

quindi |a|>|a-1| per a<1/2. In conclusione:

|A|_2 = \begin{cases} |a-1| &\iff a<-1/2 |a| &\iff -1/2<a<1/2 |-a-1|&\iff
a>1/2 \end{cases}

Convergenza del metodo di Jacobi:

A+D λ= \begin{array}{ccc} λ& 0 & a 0 & λa & 0 a & 0 & λ\end{array} p_λ=
λ*λ^2*a-a(λa²⁾p_λ= a λ^3-a^2 λ=0λ_1=0, λ_2 = \pm √(a)

quindi il metodo di Jacobi converge se |a|<1.

Convergenza del metodo di Gauss-Seidel:

A+λ(D+L)= \begin{array}{ccc} λ& 0 & a 0 & a λ& 0 a λ& 0 & λ\end{array} p_λ=
λ*a λ^2-a^3 λ²⁼⁰λ_{1,2} =0λ₃ ₌ ₐ²

quindi la condizione per la convergenza di Gauss-Seidel è ancora |a|<1.

Eliminazione gaussiana:

Passo 1:

M_1 = \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -a & 0 & 1\end{array} A_1=
\begin{array}{ccc} 1 & 0 & a 0 & a & 0 0 & 0 & 1-a^2 \end{array}

Quindi A₁₌U, mentre

L = \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 a & 0 & 1\end{array}

Quindi

|L|^{\infty } = \max {1, 1+|a| }= 1+|a||U|^{\infty } =\max
{1+|a|,|a|,1+|a^2|}|U|^{\infty } = \begin{cases} |a|+1&\iff a<-1 ∨a>1
1+|a^2| &\iff -1<a<1 \end{cases}