Corso:Meccanica Quantistica/Spinori, particelle identiche, simmetrie
interne/Spinori

Nota: c'è continuità implicita tra questo capitolo e il precedente; si è
scelto di dividerlo in due per evitare di avere une trattazione
eccessivamente lunga senza distinzioni, ma deve essere chiaro che il
discorso è unico.

Consideriamo solo stati a spin \frac{1}{2} ; come abbiamo visto, questi
stati sono particolari: su di loro agisce il gruppo SU(2) formato dalla
matrici di Pauli. Chiameremo spinore la funzione d'onda del solo spin:

(\boldsymbol{Ψ} _{\frac{1}{2} }^m, \boldsymbol{Ψ} ) = ψ^m

Sempre ricordando la possibilità di espandere su una base completa, in
questo caso quella degli stati a spin semi intero, qualsiasi stato.
Consideriamo una trasformazione dello stato:

\boldsymbol{Ψ} →\boldsymbol{Ψ} ' = \mathcal{U} \boldsymbol{Ψ} = Σ_m
\mathcal{U} \boldsymbol{Ψ} ^m ( \boldsymbol{Ψ} ^m, \boldsymbol{Ψ} )

Con \mathcal{U} operatore unitario nello spazio di Hilbert. Il rispettivo
spinore si trasforma come segue:

ψ^{'m} = (\boldsymbol{Ψ} ^{m'}, \boldsymbol{Ψ} ' ) = Σ_m (\boldsymbol{Ψ}
^{m'}, \mathcal{U} \boldsymbol{Ψ} ^m)(\boldsymbol{Ψ} ^m, \boldsymbol{Ψ} )

Possiamo scriverlo semplicemente come un prodotto riga per colonna
(ψ')^{m'} = Σ_m \mathcal{U} _{m'm} ψ^m. L'operatore unitario in questo caso
vogliamo che agisca come operatore di rotazione, quindi possiamo esprimerlo
in funzione delle matrici di Pauli:

\mathcal{U} = \mathbb{I} + \frac{i}{\hbar } \boldsymbol{ω} ·J &\left
(\boldsymbol{Ψ} ^{m'}, \left (\mathbb{I} + \frac{i}{\hbar } \boldsymbol{ω}
·J\right ) \boldsymbol{Ψ} ^m\right ) = δ_{mm'} + \frac{i}{\hbar }
\boldsymbol{ω} ·(\boldsymbol{Ψ} ^{m'}, J\boldsymbol{Ψ} ^m) = δ_{mm'} +
\frac{i}{2} \boldsymbol{ω} ·\boldsymbol{σ}

Che la realizzazione di una rotazione per uno spinore dipendesse dalle
matrici di Pauli, tuttavia, già lo sapevamo dallo scorso capitolo. Potremo
compiere una trasformazione finita semplicemente operando ψ' =
e^{\frac{i}{2} \boldsymbol{ω} ·\boldsymbol{σ} } ψ, in termini matriciali:

(ψ')^m = Σ_{m'} \mathcal{U} _{m'm} ψ^{m'}

L'esponenziale di matrici, tuttavia, può risultare abbastanza fastidioso,
per di più con operatori non lineari o che non commutano. Il caso delle
matrici di Pauli tuttavia è particolarmente comodo: conosciamo già il
commutatore [σ_i, σ_j] = 2i ϵ_{ijk} σₖ; a questo associamo
l'anticommutatore:

{σ_i,σ_j}= σ_i σ_j + σ_jσ_i = 2 δ_{ij}

Mettendoli in relazione:

2 σ_iσ_j = [σ_i,σ_j] + {σ_i,σ_j}= 2 δ_{ij} + 2 i ϵ_{ijk}σₖ

In breve σ_iσ_j = δ_{ij} + i ϵ_{ijk}σₖ. Espandendo in serie l'esponenziale
ci torna comodo:

e^{\frac{i}{2} \boldsymbol{ω} ·\boldsymbol{σ} } ≈\mathbb{I} + \frac{i}{2}
\boldsymbol{ω} ·\boldsymbol{σ} + \frac{i}{2} \frac{ (\boldsymbol{ω}
·\boldsymbol{σ} )²}{2!}

Posto \boldsymbol{ω} = θ\hat{n} , il termine quadratico possiamo esprimerlo
in funzione del versore angolare (\hat{n} ·\boldsymbol{σ} )^2 = n_in_j σ_i
σ_j; andando a sostituire la relazione ricavata da commutatore e
anticommutatore:

n_in_j(δ_{ij} +i ϵ_{ijk} σ_k ) = n_in_j δ_{ij} +i ϵ_{ijk} n_i n_j σ_k =
(\hat{n} ·\hat{n} ) + i(\hat{n} \times \hat{n} ) ·\boldsymbol{σ} = 1

Quindi estendendo l'esponenziale otteniamo la relazione:

e^{\frac{i}{2} θ(\hat{n} ·\boldsymbol{σ} )} = \mathbb{I} \cos \left (
\frac{θ}{2} \right ) + i (\hat{n} ·\boldsymbol{σ} ) \sin \left (\frac{θ}{2}
\right )

Questa trasformazione è molto particolare: se compiamo una rotazione di 2π
attorno l'asse \hat{z} non torniamo al punto di prima! Lo spinore cambia
segno. Magia.

Un'altra importante caratteristica delle matrici di Pauli è la relazione
che le vede legate al tensore di Levi-Civita di rango 2:

i σ_2=i \left ( \begin{matrix} 0 & -i i & 0 \end{matrix} \right ) = \left (
\begin{matrix} 0 & 1 -1 & 0 \end{matrix} \right ) = ϵ_{ij}

Applicando questo a uno spinore qualsiasi:

\left | \begin{matrix} 0 & 1 -1 & 0 \end{matrix} \right | \left |
\begin{matrix} ψ^1 ψ^2 \end{matrix} \right |= \left | \begin{matrix} ψ^2
-ψ^1 \end{matrix} \right |

Si definisce allora spinore covariante, e ha gli indici bassi rispetto alla
sua versione controvariante (che ha gli indici alti):

\left | \begin{matrix} ψ_1 ψ_2 \end{matrix} \right |= \left |
\begin{matrix} ψ^2 -ψ^1 \end{matrix} \right |

Questa non è una differenza sottile o di poco conto: considerati due
spinori, uno controvariante ψ e uno covariante ϕ, il loro prodotto scalare
è nullo:

ψ^{λ} ϕ_{λ} = ψ^1 ϕ_1 + ψ^2 ϕ_2 = (-ψ_2)(ϕ^2) + (ψ_1)(-ϕ^1) = - ψ_{λ} ϕ^{λ}

A questo punto vediamo come si trasformano gli spinori covarianti. Avremo
ovviamente ψ→\mathcal{U} ψ, ma se moltiplichiamo entrambi i membri per il
tensore di Levi-Civita (osserviamo al secondo passaggio che σ_2 σ_2 =
\mathbb{I} ):

(i σ_2) ψ→i σ_2 e^{\frac{i}{2} \boldsymbol{ω} ·\boldsymbol{σ} } ψ→&i σ_2
e^{\frac{i}{2} \boldsymbol{ω} ·\boldsymbol{σ} } σ_2 σ_2 ψ →& σ_2
e^{\frac{i}{2} \boldsymbol{ω} ·\boldsymbol{σ} }σ_2 (i σ_2) ψ

Per le matrici di Pauli vale un'importante proprietà: σ_2 \boldsymbol{σ}
σ_2 = - \boldsymbol{σ} ^T, da cui σ_2 \mathcal{U} σ_2 = \mathcal{U} ^{*},
quindi i covarianti si trasformano con l'operatore \mathcal{U} ^{*}, mentre
i controvarianti con l'operatore \mathcal{U} :

ψ^i →\mathcal{U} ψ^i &ψ_i →\mathcal{U} ^{*} ψ_i

Concludiamo con la parte più importante del discorso. Abbiamo visto che
moltiplicare uno spinore per il tensore di Levi-Civita ci fa abbassare
l'indice; se lo utilizziamo allora in maniera furba possiamo ottenere cose
interessanti:

ϵ_{m'' m'} ψ^{m' m''} = ψ_{m''}^{ m''}

Il risultato finale ha gli indici muti (indici ripetuti si sommano):
abbiamo ottenuto uno spinore scalare. Se consideriamo uno spinore con 2j
indici simmetrici, se lo moltiplichiamo per il tensore di Levi-Civita
otterremo ovviamente zero (ϵ_{ij} è un tensore antisimmetrico). D'altro
canto, uno spinore antisimmetrico può essere invece degradato sfruttando
l'epsilon.

Sfruttando tutte queste nozioni, possiamo riscrivere in maniera più
semplice e compatta la somma di momenti angolari utilizzando solo gli
spinori:

\boldsymbol{Ψ} _{j',j''}^{m',m''} →ψ^{m_1, ⋯, m_{2j'}; n_1, ·, n_{2j''}}

Lo spinore a destra è di rango 2j'+2j''; moltiplicandolo per ϵ_{ij} il suo
rango scenderà di 2:

ϵ_{\bar{m} ,\bar{n} } ψ^{m_1, ⋯, m_{2j'}; n_1, ·, n_{2j''}} = ψ_{\bar{m}
}^{m_1, ⋯, \bar{m} , ⋯, m_{2j'}; n_1, ⋯, \bar{n} -1, \bar{n} +1, ⋯,
n_{2j''}}