Corso:Algebra Gruppi (Unimib)/Gruppi/Teoremi di Sylow Proposizione introduttiva Proposizione (230) Sia G un gruppo finito di ordine m e sia p un primo tale che m = p^{a}*n, per qualche a>0 (sia p un divisore primo dell'ordine del gruppo). Denotiamo con N(p^a) il numero dei sottogruppi di G di ordine p^a. Allora N(p^a) è congruo a 1 modulo p ed è maggiore di 0. Dimostrazione Cardinalità di X: Sia X l'insieme di tutti i sottoinsiemi S \in G tali che O(S) = p^a. La cardinalità di X è data da \binom{m}{p^a} = \binom{p^a*n}{p^a} = \binom{o(G)}{o(S)} . Consideriamo l'azione di G su X definita da (g,S) ↦g.S = gS = {gs, s \in S }. Si può verificare che valgono le proprietà di azione. Quest'azione dà luogo a una partizione in G-orbite dei sottoinsiemi. In ciascuna orbita si può scegliere un rappresentante. Sia {S_i} un insieme completo di rappresentanti per le G-orbite sull'insieme X. Allora per l'equazione delle orbite |X| = Σ_i |G.S_i|. Stabilizzatore: Poniamo G_i = G_{S_i} (lo stabilizzatore di S_i in G). Allora poiché G_i = {g \in G t.c. g.S_i = S_i }, sicuramente S_i è unione insiemistica di laterali destri del sottogruppoG_i \in G, infatti: S_i = {s_{i1}, s_{ir_i} }= G_i*S_i = ∪_{j=1}^{r_i} G_i*s_{ij} Sia S_i = ∪_{j=1}^{r_i} G_i*s_{ij}, s_{ij} \in S_i. Ne segue che l'ordine di S_i che è p^a è uguale ap^a=|S_i| = Σ_{j=1}^{r_i} |G_i*s_{ij}| = o(G_i)*r_i, da cui o(G_i) è un divisore di p^a ed è p^{b_i} \le p^a. Se b_i < a, allora la cardinalità dell'orbita è uguale al rapporto tra l'ordine di G e l'ordine dello stabilizzatore G_i. Quindi si ha: |G.S_i| = \frac{|G|}{|G_i|} ==(m)/(p^{b_i}) = \frac{n*p^{a}}{p^{b_i}} = p^{a-b_i}*n ≡0 \mod pn . (è divisibile per pn). Invece se b_i = a si ha \frac{p^a*n}{p^a} = n \not ≡0 \mod pn Possiamo eliminare dalla 1 i termini congrui a 0 modulo pn ottenendo: |X| ≡\binom{p^a*n}{p^a} ≡Σ_{|G.S_i|=n} |G.S_i| \mod pn|X| ≡|G.S_i| \mod pn dove i sono le orbite di lunghezza n. Osservazione (231) Se prendo un'orbita di lunghezza |G.S_i|=n, allora b_i = a e quindi l'ordine dello stabilizzatore G_i è p^a (lo stabilizzatore ha ordine uguale al numero delle orbite). Il sottogruppo G_i e il sottoinsieme S_i hanno lo stesso ordine. Sottogruppo coniugato: O(S_i)=O(G_i) e quindi r_i=1 (deriva dalla relazione |G.S_i|=|G_i|*r_i). Quindi c'è un solo laterale e S_i = G_i*s_i. Segue che (s_i)^{-1} S_i = (s_i)^{-1} G_i s_i. Siccome G_i è un sottogruppo, questo è il coniugato di G_i mediante s_i. Ho un sottogruppo di G di ordine p^a contenuto nell'orbita g.S_i, che chiamo b_i. Biezione tra orbite e laterali: Quindi g.S_i = ∪{g*b_i } cioè l'orbita g.S_i è unione dei laterali sinistri gb_i al variare di g in G. Quindi l'orbita può essere scritta come il sottoinsieme dei laterali del sottogruppo b_i \in G. Inversamente, se suppongo che ci sia un sottogruppo U di ordine p^a e considero i suoi laterali sinistri che sono un'orbita per l'azione, ad esso corrisponde una G-orbita O data da {gU , g \in G } di lunghezza n. In conclusione: se ho un'orbita di lunghezza n, essa è costituita dai laterali sinistri del sottogruppo di ordine p^a di G. Se esiste un sottogruppo di ordine p^a, l'orbita ha lunghezza n. Si può costruire una biezione tra i sottogruppi di G di ordine p^a e le orbite di lunghezza n. Se immagino di avere un sottogruppo U di G di ordine p^a, posso associargli l'orbita di tutti i laterali sinistri. Lemma (232) Supponiamo che esistano due sottogruppi distinti U₁ e U₂ di ordine P^a, allora le orbite O_1={gU_1, g \in G} e O_2={gU_2, g \in G } associate sono distinte. Dimostrazione Supponiamo per assurdo che l'orbita sia la stessa. Allora U₁ sta in O₁ e deve essere uguale a un elemento di O₂, quindi dev'essere U₁₌gU₂. Ma preso un laterale gH di un sottogruppo H, questo è un sottogruppo solo se coincide con H stesso. Allora l'unico elemento di O₂ che può essere uguale a U₁ è U₂, e questa è una contraddizione perché per ipotesi U_1 \neq U₂. Conseguenze: in forza di queste osservazioni, deduciamo che il numero delle G-orbite su X aventi lunghezza n è uguale al numero dei sottogruppi di G di ordine p^a. (le orbite distinte di lunghezza n corrispondono ai sottogruppi di ordine p^a e sono tutte disgiunte). La cardinalità di X è congrua modulo pn alla somma delle cardinalità orbite di lunghezza n. allora |X| = \binom{p^a*n}{p^a} ≡n*N(p^a) \mod pn Gruppi ciclici: Questa formula dev'essere vera per ogni gruppo G, e quindi anche nel caso in cui G è un gruppo ciclico finito. Per questi gruppi il teorema di lagrange si inverte: se G è ciclico, N(p^a) = 1, perché per ogni divisore del gruppo esiste un unico sottogruppo che ha come ordine quel divisore, e dunque si ottiene |X| = \binom{p^a*n}{p^a} ≡n \mod pn Conclusione: Considero quindi le due disuguaglianze: - |X| = \binom{p^a*n}{p^a} ≡n*N(p^a) \mod pn - |X| = \binom{p^a*n}{p^a} ≡n \mod pn quindi unendo le due congruenze per la proprietà transitiva: n*N(p^a) ≡n \mod pn semplificando per n: N(p^a) ≡1 \mod p Primo teorema di Silow Definizione (233 $p$-sottogruppo di Sylow) Sia G un gruppo finito di ordine p^a*n ove p è un primo e p \nmid n (p^a è la massima potenza di p che divide l'ordine del gruppo). Un sottogruppo P di G di ordine p^a si dice p-sottogruppo di Sylow di G. Dalla proposizione precedente segue come corollario il primo teorema di Sylow: Corollario (234 Primo teorema di Sylow) Per ogni primo p ogni gruppo finito contiene i sottogruppi di Sylow e il numero nₚ dei p-sottogruppi di Sylow è congruo a 1 modulo p. Corollario di Cauchy Un'altra conseguenza della proposizione è il corollario di Cauchy. Corollario (235 Corollario di Cauchy) Se p è un primo che divide l'ordine del gruppo G, il gruppo G contiene elementi di periodo p (è il caso particolare in cui la potenza di p che divide G è a=1). Definizione (236 $p$-gruppo) Sia p un primo. Un gruppo G non necessariamente finito si dice p-gruppo se ogni suo elemento ha come periodo una potenza di p. Esercizio (237) Nel caso finito, un gruppo G è un p-gruppo se e solo se ha come ordine una potenza di p. Supponiamo che G abbia come ordine una potenza di p: allora G è un p-gruppo, perché ogni suo elemento ha come periodo un divisore dell'ordine di G, cioè una potenza di p. Viceversa, se G è un p-gruppo, supponiamo che per assurdo non abbia come ordine una potenza di p. Allora il suo ordine deve essere divisibile per un altro primo q \neq p, ma per il corollario di Cauchy questo significca che G contiene elementi di periodo q diverso da una potenza di p e quindi non sarebbe un p-gruppo. Secondo teorema di Sylow Teorema (238 Secondo teorema di Sylow) Sia G un gruppo finito e p un primo. Allora: - Se P è un p-gruppo di Sylow, e U è un qualsiasi p-sottogruppo di G con ordine una potenza di p, allora esiste un elemento g \in G tale che U sia contenuto nel coniugato gPg^{-1}. (ogni P-sottogruppo di G è contenuto in un P-sylow, inoltre si può considerare U come un sottogruppo del coniugato di P) - I p-sottogruppi di Sylow di G formano una classe di coniugio di sottogruppi di G (un'orbita), in particolare n_p \mid \frac{o(G)}{o(P)} , dove nₚ è il numero dei p-sottogruppi di Sylow. Dimostrazione - Consideriamo l'azione di U per moltiplicazione a sinistra sui laterali sinistri di P, cioè l'azione di U sull'insieme G | P. σ\colon U \times G | p →G | p definita ponendo per ogni u \in U, u.gP = ugP. In altre parole σ_u(gP) = ugP. Si può verificare che è un'azione del p-sottogruppo U sui laterali sinistri di U in G. Poiché U è un P-gruppo, la lunghezza di ogni u-orbita dev'essere un divisore dell'ordine di U e quindi una potenza di p. (perché ogni u ha periodo una potenza di p). D'altronde, poiché p è un P-Sylow di G, il numero dei laterali sinistri di P in G è coprimo con p (l'indice di un Sylow è uguale a O(G)/o(p) = n t.c. p \nmid n). Ne segue che esiste almeno una u-orbita su G | P di lunghezza 1, ovvero esiste almeno un laterale sinistro gP di P in G tale che costituisca da solo un'orbita di lunghezza 1. Quindi per ogni u \in U, gp = ugp per ogni u \in U. Segue che uP = ugP per ogni u \in U. e quindi ug appartiene a gP. Moltiplicando a destra per l'inverso di g, u appartiene a gPg^{-1}, cioè Sta nel coniugati di P per ogni u \in U, quindi U è contenuto in gPg^{-1}. - Il punto 2 segue subito dall'1. Se prendo un sottogruppo dello stesso ordine di P, allora U è contenuto in qualche coniugato di P e quindi U è uguale a gPg^{-1}. I P-Sylow costituiscono un'intera G-orbita. Un p-sottogruppo di Sylow è unico del suo ordine se e solo se è normale in G. Riepilogo Se G è un gruppo finito il cui ordine è o(G) = p^a*n dove p è un divisore primo di o(G) e p è primo con n, allora esistono dei sottogruppi P \in G di ordine p^a. Essi si chiamano P-sottogruppi di Sylow. Il numero nₚ di questi sottogruppi è congruo a 1 modulo p e divide l'indice di un P-Sylow, cioè divide \frac{O(G)}{O(P)} . Per il secondo teorema di Sylow, se U è un sottogruppo di G dove O(U) è una potenza di P (U è un p-sottogruppo) allora esiste g \in G tale che U \in gPg^{-1} dove P è un P-Sylow di G. In particolare, i P-sottogruppi di Sylow di G sono tutti tra loro coniugati e formano una classe completa di coniugio di G. Se U è un P-Sylow, allora U=gPg^{-1} perché ha ordine uguale a gPg^{-1}. Il numero esatto di sottogruppi di G è uguale all'indice del normalizzante di P in G. Consideriamo il gruppo Gl(n,F). Supponiamo che f sia finito. Si può provare che un campo finito ha necessariamente come ordine la potenza di un primo. Supponiamo che F abbia ordine p^a. Prendendo le matrici unitriangolari alte, esse formano un P-sottogruppo di Sylow. Per determinare l'ordine di Gl(n,F) basta prendere tutte le matrici lineari: esse sono determinate univocamente dal fatto che presa una base, si decide quali immagini hanno i vettori della base. Se o(f) = p^q, l'immagine del primo vettore di una base fissata può essere scelta tra q^{n-1} vettori (non il vettore nullo). Per il secondo si può scegliere tra q^{n-q} vettori (vanno scartati i vettori linearmente dipendenti agli altri). q^{n*q^{n-1}} si raccoglie la massima potenza di p che divide il prodotto e quello che si ottiene è uguale all'ordine del sottogruppo delle matrici triangolari.