Trasformazione adiabatica

Una trasformazione adiabatica è caratterizzata dal fatto che non sono presenti scambi di calore durante tutta la trasformazione, ovvero per tutta la trasformazione; dal primo principio ne consegue anche che : questo è un modo sempre valido per calcolare il lavoro di un'adiabatica, che, a volte, può risultare difficile a seconda dei casi (soprattutto quando la trasformazione è irreversibile). Consideriamo una compressione adiabatica, dove si passa da a . Valuteremo distintamente il caso reversibile e il caso irreversibile.

Adiabatica reversibile

Partiamo, come già detto, dal primo principio. Abbiamo che , poiché il calore scambiato è nullo. Poiché la trasformazione è reversibile, possiamo anche scrivere e, sfruttando la definizione di lavoro termodinamico, vale anche .

Consideriamo che adesso il nostro sistema sia un gas perfetto: possiamo allora scrivere:

Ricordando le espressioni tra e , possiamo scrivere , da cui otteniamo che:

Dove è una costante termodinamica che varia per diversi tipi di gas. Fatte queste considerazioni, possiamo tornare alla nostra equazione differenziale e integrarla:

Abbiamo ottenuto l'espressione della trasformazione adiabatica reversibile dei gas perfetti. Possiamo sfruttare la legge dei gas per ottenere le altre due relazioni equivalenti; scrivendo , otteniamo che:

Che è l'espressione più nota per l'adiabatica; esprimendo anche il volume come , otteniamo l'ultima espressione:

In un grafico la trasformazione adiabatica è rappresentata da una curva più ripida dell'isoterma (la cui relazione era, lo ricordiamo, ).

Possiamo calcolare la temperatura di arrivo sfruttando la legge dell'adiabatica:

Adiabatica irreversibile

Consideriamo anche stavolta una compressione, in cui si passa dallo stato allo stato . In questo caso, poiché la trasformazione è irreversibile, non possiamo sfruttare la condizione di quasi staticità per calcolare l'espressione del lavoro. Tuttavia, il primo principio è sempre valido, e vale . L'espressione generale del lavoro è ancora valida, per cui potremo scrivere:

Consideriamo ancora una volta il sistema come se fosse un gas perfetto; possiamo allora esprimere i volumi in funzioni di pressioni e temperature, così da calcolarci la temperatura di arrivo:

Confrontiamo adesso i due risultati, ovvero le due temperature di arrivo dopo le trasformazioni reversibili e irreversibili:

Sviluppiamo la temperatura di arrivo reversibile in Taylor, ricordando che diventa :

Esplicitando:

Otteniamo proprio che:

Ovvero i casi reversibile e irreversibile arrivano alla stessa temperatura! Questo ovviamente ha senso: lo sviluppo di Tayler tratta casi in cui è infinitesimo, quindi le due trasformazioni si avvicinano molto tra loro.

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