Onde sinusoidali

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<math display="block">\alpha(x, \, t)= A \, \sin \left[ \frac{2 \pi}{\lambda} \left(x \mp vt \right) \right]</math>
 
<math display="block">\alpha(x, \, t)= A \, \sin \left[ \frac{2 \pi}{\lambda} \left(x \mp vt \right) \right]</math>
  
In questa funzione <math>A</math> indica l'ampiezza d'onda, ovvero i valori massimi assunti dalla funzione; possiamo notare come questo parametro sia indipendente sia da <math>x</math> che da <math>t</math>, e quindi parliamo di una onda non smorzata. Il parametro <math>\lambda</math> si chiama '''lunghezza d'onda''' e determina il periodo ''spaziale'' dell'onda, ovvero la distanza tra due massimi consecutivi. Oltre al periodo spaziale, le onde posseggono anche un periodo temporale dato da <math>t= \frac{\lambda}{v}</math>; possiamo dimostrare come, dopo ogni periodo, l'onda si ripeta:
+
In questa funzione <math>A</math> indica l'ampiezza d'onda, ovvero i valori massimi assunti dalla funzione; possiamo notare come questo parametro sia indipendente sia da <math>x</math> che da <math>t</math>, e quindi parliamo di una onda non smorzata. Il parametro <math>\lambda</math> si chiama '''lunghezza d'onda''' e determina il periodo ''spaziale'' dell'onda, ovvero la distanza tra due massimi consecutivi. Oltre al periodo spaziale, le onde posseggono anche un periodo temporale dato da <math>T = \frac{\lambda}{v}</math>; possiamo dimostrare come, dopo ogni periodo, l'onda si ripeta:
  
 
<math display="block"> \frac{2 \pi}{\lambda} \left[ x \mp v(t +nT) \right] = \frac{2 \pi}{\lambda} \left[x \mp v(t +n \frac{\lambda}{v}) \right] = \frac{2 \pi}{\lambda} \left[x \mp vt +n \lambda \right] = \frac{2 \pi}{\lambda} (x \mp vt) + 2 \pi n</math>
 
<math display="block"> \frac{2 \pi}{\lambda} \left[ x \mp v(t +nT) \right] = \frac{2 \pi}{\lambda} \left[x \mp v(t +n \frac{\lambda}{v}) \right] = \frac{2 \pi}{\lambda} \left[x \mp vt +n \lambda \right] = \frac{2 \pi}{\lambda} (x \mp vt) + 2 \pi n</math>

Versione delle 12:34, 7 ago 2019

Un caso interessante da studiare sono quei tipi di onde descritte da una funzione sinusoidale:

In questa funzione indica l'ampiezza d'onda, ovvero i valori massimi assunti dalla funzione; possiamo notare come questo parametro sia indipendente sia da che da , e quindi parliamo di una onda non smorzata. Il parametro si chiama lunghezza d'onda e determina il periodo spaziale dell'onda, ovvero la distanza tra due massimi consecutivi. Oltre al periodo spaziale, le onde posseggono anche un periodo temporale dato da ; possiamo dimostrare come, dopo ogni periodo, l'onda si ripeta:

Vale quindi la relazione . Un altro modo di scrivere la funzione di un'onda sinusoidale è:

In cui è detta pulsazione e vale:

Mentre vale , nei casi:

A volte, però, risulta più comodo scrivere la funzione nel seguente modo:

In questa espresso, viene chiamato numero d'onda, mentre la pulsazione . Il fattore viene chiamato fase e dipende esclusivamente dalle condizioni iniziali del problema.

Un'onda del tipo è detta armonica. Questa, in teoria, dovrebbe continuare in un grafico all'infinito sia per il tempo che per lo spazio, ovvero e ; questo caso è quanto mai improbabile, e quindi si studia una porzione d'onda limitata, che viene chiamata treno d'onda sinusoidale. Una caratteristica delle onde armoniche è che questa seguono il principio di sovrapposizione e il teorema di Fourier.

Principio di sovrapposizione

Il principio di sovrapposizione afferma che se, in un mezzo elastico, si propagano più onde di funzione l'onda risultante è descritta da:

Ovvero le singole componenti si sommane solo se la perturbazione risultante non porta il mezzo a lavorare oltre il limite di elasticità. Possiamo dimostrare come la risultante soddisfi l'equazione differenziale delle onde; facciamo il caso di due contributi, valido come esempio generale:

Nel secondo passaggio abbiamo sommato membro a membro. Così come la somma di due contributi è una funzione d'onda, lo stesso vale quando i contributi sono in numero maggiore, sempre rispettando il limite di elasticità del mezzo.

Teorema (di Fourier)

Un'onda periodica di periodo e lunghezza d'onda , quindi avente e , che sia di forma qualunque, e sia la sua funzione, sotto opportune ipotesi può essere scritta come:

 

I coefficiente decrescono col crescere del numero d'onda . La scrittura fornita dal teorema è anche chiamata serie di Fourier e lo studio di un'onda attraverso lo sviluppo di Fourier è detto analisi armonica. Non forniremo qui la dimostrazione del teorema.

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