Insieme di Cantor, insiemi illimitati

==Misura di insiemi prodotto, insiemi illimitati==
Misurare insiemi illimitati può risultare difficile, o, almeno, non intuitivamente semplice, date le definizioni utilizzate finora. Tuttavia, Lebesgue aggira il problema in maniera molto tranquilla.

{{InizioDefinizione}}
Sia <math>E \subseteq \mathbb{R}^n</math> un insieme ''illimitato''. Diremo che <math>E</math> è '''misurabile''' se, per ogni <math>r>0</math>, l'insieme <math>E \cap B(0,r)</math> è misurabile, ovvero:

<math display="block">
\underline{m} \big( E \cap B(0,r) \big) = \overline{m} \big( E \cap B(0,r) \big) \quad \forall r>0</math>
{{FineDefinizione}}

La misura di Lebesgue di insiemi illimitati si riconduce quindi alla misura della palla centrata nell'origine con raggio qualsiasi, positivo.

{{InizioDefinizione|title=Misura prodotto}}
Siano <math> E \subseteq \mathbb{R}^n</math> e <math> F \subseteq \mathbb{R}^k</math> due insiemi misurabili. Allora l'insieme <math> E \times F \subseteq \mathbb{R}^{n+k}</math> è '''misurabile''' e vale:

<math display="block"> m_{n+k} ( E \times F) = M_n (E) \cdot m_k (F)</math>
{{FineDefinizione}}