Formalismo di Seconda Quantizzazione per Fermioni

Il formalismo appena visto per i bosoni si puo' estendere ai fermioni a patto di tenere presente che la funzione d'onda totale deve essere antisimmetrica. In termini di autofunzioni di singola particella si puo' quindi scrivere come un determinante di Slater:

$$\Phi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},\ldots ,{\vec {r}}_{N})\equiv |\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{N}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N}}}{\begin{vmatrix}\varphi _{\alpha _{1}}({\vec {r}}_{1})&\cdots &\varphi _{\alpha _{1}}({\vec {r}}_{N})\\\vdots &\vdots &\vdots \\\varphi _{\alpha _{N}}({\vec {r}}_{1})&\cdots &\varphi _{\alpha _{N}}({\vec {r}}_{N})\end{vmatrix}}$$

$$\Phi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},\ldots ,{\vec {r}}_{N})\equiv |\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{N}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N}}}{\begin{vmatrix}\varphi _{\alpha _{1}}({\vec {r}}_{1})&\cdots &\varphi _{\alpha _{1}}({\vec {r}}_{N})\\\vdots &\vdots &\vdots \\\varphi _{\alpha _{N}}({\vec {r}}_{1})&\cdots &\varphi _{\alpha _{N}}({\vec {r}}_{N})\end{vmatrix}}$$

si noti che questa scrittura permette automaticamente di soddisfare il principio di Pauli, in quanto l'antisimmetria è automaticamente soddisfatta.

Si cerchino ora degli operatori ${\hat {O}}_{i}$${\hat {O}}_{i}$ analoghi agli operatori bosonici:

$${\hat {O}}\Phi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},\ldots ,{\vec {r}}_{N})=\sum _{l=1}^{N}{\hat {O}}_{i}\varphi _{\alpha _{l}}({\vec {r}}_{l})\qquad {\textrm {con}}\qquad {\hat {O}}_{i}\varphi _{\alpha _{l}}({\vec {r}}_{j})=\delta _{ij}{\hat {O}}_{l}\varphi _{\alpha _{l}}({\vec {r}}_{i})$$

$${\hat {O}}\Phi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},\ldots ,{\vec {r}}_{N})=\sum _{l=1}^{N}{\hat {O}}_{i}\varphi _{\alpha _{l}}({\vec {r}}_{l})\qquad {\textrm {con}}\qquad {\hat {O}}_{i}\varphi _{\alpha _{l}}({\vec {r}}_{j})=\delta _{ij}{\hat {O}}_{l}\varphi _{\alpha _{l}}({\vec {r}}_{i})$$

Si possono ora presentare solo due casi: $p,l\in {\mathopen {\{}}1,\ldots ,N{\mathclose {\}}}$$p,l\in {\mathopen {\{}}1,\ldots ,N{\mathclose {\}}}$ oppure $p,l\notin {\mathopen {\{}}1,\ldots ,N{\mathclose {\}}}$$p,l\notin {\mathopen {\{}}1,\ldots ,N{\mathclose {\}}}$. Se $l\notin {\mathopen {\{}}1,\ldots ,N{\mathclose {\}}}$$l\notin {\mathopen {\{}}1,\ldots ,N{\mathclose {\}}}$, l'operatore non agisce e restituisce 0. Se $p\in {\mathopen {\{}}1,\ldots ,N{\mathclose {\}}}$$p\in {\mathopen {\{}}1,\ldots ,N{\mathclose {\}}}$ allora nel determinante compare una seconda riga $\alpha _{p}$$\alpha _{p}$ e di conseguenza si annulla.

Consideriamo il caso $l\in {\mathopen {\{}}1,\ldots ,N{\mathclose {\}}}$$l\in {\mathopen {\{}}1,\ldots ,N{\mathclose {\}}}$ e $p\notin {\mathopen {\{}}1,\ldots ,N{\mathclose {\}}}$$p\notin {\mathopen {\{}}1,\ldots ,N{\mathclose {\}}}$. In questo caso l'operatore allora cambia la riga ma non preserva la normalizzazione. E' importante specificare l'ordine degli stati e quindi sistemarli nell'ordine giusto, si devono quindi effettuare delle permutazioni di righe che cambiano segno al determinante. Cerchiamo quindi un operatore del tipo:

$${\hat {O}}=\sum _{p=0}^{N}O_{lp}{\hat {b}}_{p}^{\dagger }{\hat {b}}_{p}$$

$${\hat {O}}=\sum _{p=0}^{N}O_{lp}{\hat {b}}_{p}^{\dagger }{\hat {b}}_{p}$$

dove il segno corretto e' nell'operatore ${\hat {b}}$${\hat {b}}$. Indichiamo gli stati occupati con la notazione:

$$|\underbrace {0,\ldots ,0} _{\textrm {nonoccupati}},\underbrace {{\underset {\alpha _{1}}{\underset {\uparrow }{1}}},{\underset {\alpha _{2}}{\underset {\uparrow }{1}}},\ldots ,{\underset {\alpha _{N}}{\underset {\uparrow }{1}}}} _{\textrm {occupati}}\rangle$$

$$|\underbrace {0,\ldots ,0} _{\textrm {nonoccupati}},\underbrace {{\underset {\alpha _{1}}{\underset {\uparrow }{1}}},{\underset {\alpha _{2}}{\underset {\uparrow }{1}}},\ldots ,{\underset {\alpha _{N}}{\underset {\uparrow }{1}}}} _{\textrm {occupati}}\rangle$$

allora risulta:

$$b_{p}|0,\ldots ,0,1,\ldots ,{\underset {\textrm {p-simo}}{\underset {\uparrow }{1}}},\ldots ,1\rangle =(-1)^{\sum _{\alpha _{i}<p}\alpha _{i}}|0,\ldots ,0,1,\ldots ,{\underset {\textrm {p-simo}}{\underset {\uparrow }{0}}},\ldots ,1\rangle$$

$$b_{p}|0,\ldots ,0,1,\ldots ,{\underset {\textrm {p-simo}}{\underset {\uparrow }{1}}},\ldots ,1\rangle =(-1)^{\sum _{\alpha _{i}<p}\alpha _{i}}|0,\ldots ,0,1,\ldots ,{\underset {\textrm {p-simo}}{\underset {\uparrow }{0}}},\ldots ,1\rangle$$

dove con $\sum _{\alpha _{i}<p}\alpha _{i}$$\sum _{\alpha _{i}<p}\alpha _{i}$ si intende il numero di stati che precedono il p-simo. Piu' in generale se:

$${\begin{aligned}{\hat {b}}_{p}&=(-1)^{\sum _{\alpha _{i}<p}\alpha _{i}}n_{p}\\{\hat {b}}_{p}^{\dagger }&=(-1)^{\sum _{\alpha _{i}<p}\alpha _{i}}(1-n_{p})\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}{\hat {b}}_{p}&=(-1)^{\sum _{\alpha _{i}<p}\alpha _{i}}n_{p}\\{\hat {b}}_{p}^{\dagger }&=(-1)^{\sum _{\alpha _{i}<p}\alpha _{i}}(1-n_{p})\end{aligned}}$$

allora ${\hat {b}}_{p}$${\hat {b}}_{p}$ e ${\hat {b}}_{p}^{\dagger }$${\hat {b}}_{p}^{\dagger }$ apportano il segno giusto. Consideriamo infatti per semplicita' il caso $l>p$$l>p$.

$${\begin{aligned}&{\hat {b}}_{l}^{\dagger }{\hat {b}}_{p}|0,\ldots ,0,1,\ldots ,{\underset {p}{\underset {\uparrow }{1}}},\ldots ,{\underset {l}{\underset {\uparrow }{0}}},\ldots ,1\rangle ={\hat {b}}_{l}^{\dagger }(-1)^{\sum _{i=0}^{p-1}\alpha _{i}}|0,\ldots ,0,1,\ldots ,{\underset {p}{\underset {\uparrow }{0}}},\ldots ,{\underset {l}{\underset {\uparrow }{0}}},\ldots ,1\rangle =\\&=(-1)^{\sum _{i}^{p-1}\alpha _{i}}(-1)^{\left[\sum _{i=0}^{p-1}\alpha _{i}+\sum _{i=p+1}^{N}\alpha _{i}\right]}|0,\ldots ,0,1,\ldots ,{\underset {p}{\underset {\uparrow }{0}}},\ldots ,{\underset {l}{\underset {\uparrow }{1}}},\ldots ,1\rangle =\\&=(-1)^{\sum _{i=p+1}^{N}\alpha _{i}}=|0,\ldots ,0,1,\ldots ,{\underset {p}{\underset {\uparrow }{0}}},\ldots ,{\underset {l}{\underset {\uparrow }{1}}},\ldots ,1\rangle \end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}&{\hat {b}}_{l}^{\dagger }{\hat {b}}_{p}|0,\ldots ,0,1,\ldots ,{\underset {p}{\underset {\uparrow }{1}}},\ldots ,{\underset {l}{\underset {\uparrow }{0}}},\ldots ,1\rangle ={\hat {b}}_{l}^{\dagger }(-1)^{\sum _{i=0}^{p-1}\alpha _{i}}|0,\ldots ,0,1,\ldots ,{\underset {p}{\underset {\uparrow }{0}}},\ldots ,{\underset {l}{\underset {\uparrow }{0}}},\ldots ,1\rangle =\\&=(-1)^{\sum _{i}^{p-1}\alpha _{i}}(-1)^{\left[\sum _{i=0}^{p-1}\alpha _{i}+\sum _{i=p+1}^{N}\alpha _{i}\right]}|0,\ldots ,0,1,\ldots ,{\underset {p}{\underset {\uparrow }{0}}},\ldots ,{\underset {l}{\underset {\uparrow }{1}}},\ldots ,1\rangle =\\&=(-1)^{\sum _{i=p+1}^{N}\alpha _{i}}=|0,\ldots ,0,1,\ldots ,{\underset {p}{\underset {\uparrow }{0}}},\ldots ,{\underset {l}{\underset {\uparrow }{1}}},\ldots ,1\rangle \end{aligned}}$$

e $\sum _{i=p+1}^{N}\alpha _{i}$$\sum _{i=p+1}^{N}\alpha _{i}$e' proprio il numero di posti di cui si e' scambiato lo stato. Come si vede, l'operatore ${\hat {b}}_{l}^{\dagger }$${\hat {b}}_{l}^{\dagger }$ crea un fermione nello stato $l$$l$ e l'operatore ${\hat {b}}_{p}$${\hat {b}}_{p}$ distrugge un fermione nello stato $p$$p$ e sono chiamati pertanto rispettivamente opearatore fermionico di creazione e operatore fermionico di distruzione.

Segue dalla definizione degli operatori ${\hat {b}}_{p}$${\hat {b}}_{p}$:

$${\begin{aligned}{\hat {b}}_{l}{\hat {b}}_{p}+{\hat {b}}_{l}{\hat {b}}_{p}=0\qquad \forall l,p\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}{\hat {b}}_{l}{\hat {b}}_{p}+{\hat {b}}_{l}{\hat {b}}_{p}=0\qquad \forall l,p\end{aligned}}$$

infatti se $l>p$$l>p$:

$${\hat {b}}_{l}{\hat {b}}_{p}|\ldots ,{\underset {p}{\underset {\uparrow }{1}}},\ldots ,{\underset {l}{\underset {\uparrow }{1}}},\ldots \rangle ={\hat {b}}_{l}(-1)^{\sum _{i=1}^{p-1}\alpha _{i}}|\ldots ,{\underset {p}{\underset {\uparrow }{0}}},\ldots ,{\underset {l}{\underset {\uparrow }{1}}},\ldots \rangle =(-1)^{\sum _{i=p+1}^{l-1}\alpha _{i}}|\ldots ,{\underset {p}{\underset {\uparrow }{0}}},\ldots ,{\underset {l}{\underset {\uparrow }{0}}},\ldots \rangle$$

$${\hat {b}}_{l}{\hat {b}}_{p}|\ldots ,{\underset {p}{\underset {\uparrow }{1}}},\ldots ,{\underset {l}{\underset {\uparrow }{1}}},\ldots \rangle ={\hat {b}}_{l}(-1)^{\sum _{i=1}^{p-1}\alpha _{i}}|\ldots ,{\underset {p}{\underset {\uparrow }{0}}},\ldots ,{\underset {l}{\underset {\uparrow }{1}}},\ldots \rangle =(-1)^{\sum _{i=p+1}^{l-1}\alpha _{i}}|\ldots ,{\underset {p}{\underset {\uparrow }{0}}},\ldots ,{\underset {l}{\underset {\uparrow }{0}}},\ldots \rangle$$

quando si calcola ${\hat {b}}_{p}{\hat {b}}_{l}$${\hat {b}}_{p}{\hat {b}}_{l}$, ${\hat {b}}_{l}$${\hat {b}}_{l}$ agisce su uno stato occupato in piu' ed ha quindi un segno meno in piu' che annulla la somma. In modo analogo si ricavano le regole:

$${\begin{aligned}{\hat {b}}_{l}^{\dagger }{\hat {b}}_{p}+{\hat {b}}_{p}{\hat {b}}_{l}^{\dagger }&=\delta _{lp}\\{\hat {b}}_{l}^{\dagger }{\hat {b}}_{p}^{\dagger }+{\hat {b}}_{p}^{\dagger }{\hat {b}}_{l}^{\dagger }&=0\qquad \forall l,p\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}{\hat {b}}_{l}^{\dagger }{\hat {b}}_{p}+{\hat {b}}_{p}{\hat {b}}_{l}^{\dagger }&=\delta _{lp}\\{\hat {b}}_{l}^{\dagger }{\hat {b}}_{p}^{\dagger }+{\hat {b}}_{p}^{\dagger }{\hat {b}}_{l}^{\dagger }&=0\qquad \forall l,p\end{aligned}}$$

In maniera analoga a quanto fatto per i bosoni, e' possibile introdurre degli operatori definiti come:

$${\begin{aligned}{\hat {\Psi }}({\vec {r}})&=\sum _{h=1}^{n}\varphi _{h}({\vec {r}}){\hat {b}}_{h}\\{\hat {\Psi }}^{\dagger }({\vec {r}}')&=\sum _{k=1}^{n}\varphi _{k}^{\ast }({\vec {r}}'){\hat {b}}_{k}^{\dagger }\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}{\hat {\Psi }}({\vec {r}})&=\sum _{h=1}^{n}\varphi _{h}({\vec {r}}){\hat {b}}_{h}\\{\hat {\Psi }}^{\dagger }({\vec {r}}')&=\sum _{k=1}^{n}\varphi _{k}^{\ast }({\vec {r}}'){\hat {b}}_{k}^{\dagger }\end{aligned}}$$

Siccome ${\hat {b}}$${\hat {b}}$ e ${\hat {b}}^{\dagger }$${\hat {b}}^{\dagger }$ anticommutano risulta, ancora in analogia al formalismo bosonico:

$$\left[\Psi ({\vec {r}}),\Psi ({\vec {r}})\right]=\left[\Psi ^{\dagger }({\vec {r}}'),\Psi ^{\dagger }({\vec {r}}')\right]=0$$

$$\left[\Psi ({\vec {r}}),\Psi ({\vec {r}})\right]=\left[\Psi ^{\dagger }({\vec {r}}'),\Psi ^{\dagger }({\vec {r}}')\right]=0$$

e:

$$\left[{\hat {\Psi }}({\vec {r}}),{\hat {\Psi }}^{\dagger }({\vec {r}}')\right]=\sum _{h,k=1}^{l}\varphi _{h}({\vec {r}})\varphi _{k}^{\ast }({\vec {r}}')\left[{\hat {b}}_{h},\right]{{\hat {b}}_{k}^{\dagger }}=\sum _{h=1}^{l}\varphi _{h}({\vec {r}})\varphi _{h}^{\ast }({\vec {r}}')=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}')$$

$$\left[{\hat {\Psi }}({\vec {r}}),{\hat {\Psi }}^{\dagger }({\vec {r}}')\right]=\sum _{h,k=1}^{l}\varphi _{h}({\vec {r}})\varphi _{k}^{\ast }({\vec {r}}')\left[{\hat {b}}_{h},\right]{{\hat {b}}_{k}^{\dagger }}=\sum _{h=1}^{l}\varphi _{h}({\vec {r}})\varphi _{h}^{\ast }({\vec {r}}')=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}')$$

Si vede che l'opearatore ${\hat {\Psi }}^{\dagger }({\vec {r}}')$${\hat {\Psi }}^{\dagger }({\vec {r}}')$ crea un fermione nella posizione ${\vec {r}}'$$\vec{r}'$ e l'operatore ${\hat {\Psi }}({\vec {r}})$${\hat {\Psi }}({\vec {r}})$ distrugge un fermione nella posizione ${\vec {r}}$$\vec{r}$ e sono dunque chiamati operatori di campo fermionico.

Da notare che i campi associati non sono osservabili, in quanto se si introduce in questa trattazione anche il tempo risulta che questi operatori non commutano su distanze time-like.