Spinori

Nota: c'è continuità implicita tra questo capitolo e il precedente; si è scelto di dividerlo in due per evitare di avere une trattazione eccessivamente lunga senza distinzioni, ma deve essere chiaro che il discorso è unico.

Consideriamo solo stati a spin <math>\frac{1}{2}</math>; come abbiamo visto, questi stati sono particolari: su di loro agisce il gruppo <math>SU(2)</math> formato dalla matrici di Pauli. Chiameremo '''spinore''' la funzione d'onda del solo spin:

<math display="block"> (\boldsymbol{\Psi}_{\frac{1}{2}}^m, \boldsymbol{\Psi}) = \psi^m</math>

Sempre ricordando la possibilità di espandere su una base completa, in questo caso quella degli stati a spin semi intero, qualsiasi stato. Consideriamo una trasformazione dello stato:

<math display="block"> \boldsymbol{\Psi} \to \boldsymbol{\Psi}' = \mathcal{U}\boldsymbol{\Psi} = \sum_m \mathcal{U} \boldsymbol{\Psi}^m ( \boldsymbol{\Psi}^m, \boldsymbol{\Psi})</math>

Con <math>\mathcal{U}</math> operatore unitario nello spazio di Hilbert. Il rispettivo spinore si trasforma come segue:

<math display="block"> \psi^{'m} = (\boldsymbol{\Psi}^{m'}, \boldsymbol{\Psi}' ) = \sum_m (\boldsymbol{\Psi}^{m'}, \mathcal{U}\boldsymbol{\Psi}^m)(\boldsymbol{\Psi}^m, \boldsymbol{\Psi})</math>

Possiamo scriverlo semplicemente come un '''prodotto riga per colonna''' <math>(\psi')^{m'} = \sum_m \mathcal{U}_{m'm} \psi^m</math>. L'operatore unitario in questo caso vogliamo che agisca come operatore di rotazione, quindi possiamo esprimerlo in funzione delle matrici di Pauli:

<math display="block"> 
\begin{align}
&\mathcal{U} = \mathbb{I} + \frac{i}{\hbar} \boldsymbol{\omega}\cdot \mathbf{J} \\
&\left(\boldsymbol{\Psi}^{m'}, \left(\mathbb{I} + \frac{i}{\hbar} \boldsymbol{\omega}\cdot \mathbf{J}\right) \boldsymbol{\Psi}^m\right) = \delta_{mm'} + \frac{i}{\hbar} \boldsymbol{\omega} \cdot (\boldsymbol{\Psi}^{m'}, \mathbf{J}\boldsymbol{\Psi}^m) = \delta_{mm'} + \frac{i}{2} \boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{\sigma}
\end{align}
</math>

Che la realizzazione di una rotazione per uno spinore dipendesse dalle matrici di Pauli, tuttavia, già lo sapevamo dallo scorso capitolo. Potremo compiere una trasformazione finita semplicemente operando <math>\psi' = e^{\frac{i}{2} \boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{\sigma}} \psi</math>, in termini matriciali:

<math display="block">(\psi')^m = \sum_{m'} \mathcal{U}_{m'm} \psi^{m'}</math>

L'esponenziale di matrici, tuttavia, può risultare abbastanza fastidioso, per di più con operatori non lineari o che non commutano. Il caso delle matrici di Pauli tuttavia è particolarmente comodo: conosciamo già il commutatore <math>[\sigma_i, \sigma_j] = 2i \, \epsilon_{ijk} \sigma_k</math>; a questo associamo '''l'anticommutatore''':

<math display="block"> \{\sigma_i,\sigma_j\} = \sigma_i \sigma_j + \sigma_j\sigma_i = 2 \delta_{ij}</math>

Mettendoli in relazione:

<math display="block"> 2 \sigma_i\sigma_j = [\sigma_i,\sigma_j] + \{\sigma_i,\sigma_j\} = 2 \delta_{ij} + 2 i \epsilon_{ijk}\sigma_k</math>

In breve <math>\sigma_i\sigma_j = \delta_{ij} + i \epsilon_{ijk}\sigma_k</math>. Espandendo in serie l'esponenziale ci torna comodo:

<math display="block"> e^{\frac{i}{2} \boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{\sigma}} \approx \mathbb{I} + \frac{i}{2} \boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{\sigma} + \frac{i}{2} \frac{ (\boldsymbol{\omega}\cdot \boldsymbol{\sigma})^2}{2!}</math>

Posto <math>\boldsymbol{\omega} = \theta \hat{\mathbf{n}}</math>, il termine quadratico possiamo esprimerlo in funzione del versore angolare <math>(\hat{\mathbf{n}}\cdot \boldsymbol{\sigma})^2 = n_in_j \sigma_i \sigma_j</math>; andando a sostituire la relazione ricavata da commutatore e anticommutatore:

<math display="block"> n_in_j(\delta_{ij} +i \epsilon_{ijk} \sigma_k ) = n_in_j \delta_{ij} +i \epsilon_{ijk} n_i n_j \sigma_k = (\hat{\mathbf{n}} \cdot \hat{\mathbf{n}}) + i(\hat{\mathbf{n}}\times \hat{\mathbf{n}}) \cdot \boldsymbol{\sigma} = 1</math>

Quindi estendendo l'esponenziale otteniamo la relazione:

<math display="block"> e^{\frac{i}{2} \theta (\hat{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\sigma})} = \mathbb{I}\cos \left( \frac{\theta}{2} \right) + i (\hat{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\sigma}) \sin \left(\frac{\theta}{2} \right)</math>

Questa trasformazione è molto particolare: '''se compiamo una rotazione di <math>2\pi</math> attorno l'asse <math>\hat{\mathbf{z}}</math> non torniamo al punto di prima'''! Lo spinore cambia segno. Magia.

Un'altra importante caratteristica delle matrici di Pauli è la relazione che le vede legate al tensore di Levi-Civita di rango 2:

<math display="block"> i \sigma_2=i \left( \begin{matrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) = \epsilon_{ij}</math>

Applicando questo a uno spinore qualsiasi:

<math display="block"> \left| \begin{matrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{matrix} \right| \left| \begin{matrix} \psi^1 \\\psi^2 \end{matrix} \right|= \left| \begin{matrix} \psi^2 \\-\psi^1 \end{matrix} \right|</math>

Si definisce allora '''spinore covariante''', e ha gli indici bassi rispetto alla sua versione ''controvariante'' (che ha gli indici alti):

<math display="block"> \left| \begin{matrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{matrix} \right|= \left| \begin{matrix} \psi^2 \\ -\psi^1 \end{matrix} \right|</math>

Questa non è una differenza sottile o di poco conto: considerati due spinori, uno controvariante <math>\psi</math> e uno covariante <math>\phi</math>, il loro prodotto scalare è nullo:

<math display="block"> \psi^{\lambda} \phi_{\lambda} = \psi^1 \phi_1 + \psi^2 \phi_2 = (-\psi_2)(\phi^2) + (\psi_1)(-\phi^1) = - \psi_{\lambda} \phi^{\lambda}</math>

A questo punto vediamo come si trasformano gli spinori covarianti. Avremo ovviamente <math>\psi \to \mathcal{U} \psi</math>, ma se moltiplichiamo entrambi i membri per il tensore di Levi-Civita (osserviamo al secondo passaggio che <math>\sigma_2 \sigma_2 = \mathbb{I}</math>):

<math display="block"> 
\begin{align}
(i \sigma_2) \psi \to &i \sigma_2 e^{\frac{i}{2} \boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{\sigma}} \psi \\
\to &i \sigma_2 e^{\frac{i}{2} \boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{\sigma}} \sigma_2 \sigma_2 \psi \\
\to & \sigma_2 e^{\frac{i}{2} \boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{\sigma}}\sigma_2 (i \sigma_2) \psi
\end{align}
</math>

Per le matrici di Pauli vale un'importante proprietà: <math>\sigma_2 \boldsymbol{\sigma} \sigma_2 = - \boldsymbol{\sigma}^T</math>, da cui <math>\sigma_2 \mathcal{U} \sigma_2 = \mathcal{U}^{*}</math>, quindi '''i covarianti si trasformano con l'operatore <math>\mathcal{U}^{*}</math>''', mentre i controvarianti con l'operatore <math>\mathcal{U}</math>:

<math display="block"> \begin{align}
&\psi^i \to \mathcal{U} \psi^i \\
&\psi_i \to \mathcal{U}^{*} \psi_i
\end{align}
</math>

Concludiamo con la parte più importante del discorso. Abbiamo visto che moltiplicare uno spinore per il tensore di Levi-Civita ci fa abbassare l'indice; se lo utilizziamo allora in maniera furba possiamo ottenere cose interessanti:

<math display="block"> \epsilon_{m'' m'} \psi^{m' \, m''} = \psi_{m''}^{\text{  } m''}</math>

Il risultato finale ha gli indici ''muti'' (indici ripetuti si sommano): abbiamo ottenuto '''uno spinore scalare'''. Se consideriamo uno spinore con <math>2j</math> indici ''simmetrici'', se lo moltiplichiamo per il tensore di Levi-Civita otterremo ovviamente '''zero''' (<math>\epsilon_{ij}</math> è un tensore antisimmetrico). D'altro canto, uno spinore antisimmetrico può essere invece ''degradato'' sfruttando l'epsilon. 

Sfruttando tutte queste nozioni, possiamo riscrivere in maniera più semplice e compatta la somma di momenti angolari utilizzando solo gli spinori:

<math display="block"> \boldsymbol{\Psi}_{j',j''}^{m',m''} \to \psi^{m_1, \cdots, m_{2j'}; \, n_1, \cdot , n_{2j''}}</math>

Lo spinore a destra è di rango <math>2j'+2j''</math>; moltiplicandolo per <math>\epsilon_{ij}</math> il suo rango scenderà di 2:

<math display="block"> \epsilon_{\bar{m},\bar{n}} \psi^{m_1, \cdots, m_{2j'}; \, n_1, \cdot , n_{2j''}} = \psi_{\bar{m}}^{m_1, \cdots, \bar{m}, \cdots, m_{2j'}; \, n_1, \cdots, \bar{n}-1, \bar{n}+1, \cdots , n_{2j''}}</math>