Funzioni implicite

{{InizioEsercizio|title=|number=6.1|anchor=Esercizio6_1}}
Sia data<math display="block">F(x,y) = e^{x-y}+x^2-y^2-e(x+1)+1</math>si verifichi che l'equazione<math display="block">F(x,y) = 0</math>definisce implicitamente <math>y=f(x)</math> in un intorno del punto <math>x=0</math> con <math>f(0) = -1</math>. Si dimostri che <math>x=0</math> è un punto di minimo locale per <math>f</math>.
{{FineEsercizio}}

''Verifico che l'equazione <math>F(x,y)=0</math> definisce il grafico di una funzione nel punto <math>(0,-1)</math>'', e quindi verifico le tre condizioni enunciate sopra:

#<math>F</math> è di classe <math>C^{\infty}</math>, (allora anche la funzione implicita lo è).
#<math display="block">F(0,-1) =e-1-e+1 = 0</math>
#<math display="block">\frac{\partial F}{\partial y}(x,y) = -e^{x-y}-2y</math><math display="block">F_y(0,-1) = -e+2 \neq 0</math>

Allora sono soddisfatte le ipotesi del teorema della funzione implicita.

''Verifico che <math>x=0</math> è un punto di minimo''. In questo caso, l'equazione <math>\ast \ast</math> che definisce <math>J_f(X)</math> diventa:<math display="block">f'(x) = -\frac{F_x(x,f(x))}{F_y(x,f(x))}</math>quindi applico la formula in <math>x=0</math>.<math display="block">F_x = e^{x-y}+2x-e, \quad F_x(0,-1) = e-e=0</math><math display="block">F_y = -e^{x-y}-2y, \quad F_y(0,-1) = -e-2</math>Quindi:<math display="block">f'(0) = -\frac{1}{-2-e}*0 = 0</math>e questa è una condizione necessaria affinché <math>x=0</math> sia un punto di minimo per <math>f</math>. A questo punto, <math>x=0</math> è un punto di minimo se la derivata seconda è positiva, altrimenti è negativa.

{{InizioOsservazione|title=|number=6.1|anchor=Osservazione6_1}}
Tenendo conto che <math>F</math> è regolare,  ricaviamo la derivata seconda dalla condizione<math display="block">F(x,f(x)) = 0</math>Derivando la relazione si ottiene:<math display="block">F_x(x,f(x))+F_y(x,f(x))*f'(x) = 0</math>ed esplicitando <math>f'(x)</math>:<math display="block">f'(x) = -\frac{F_x(x,f(x))}{F_y(x,f(x))}</math>e si ricava l'equazione <math>\ast \ast</math>. Derivando ulteriormente si può ricavare l'espressione della derivata seconda.
{{FineOsservazione}}

Considerando l'esempio:<math display="block">F(x,f(x)) =0 \, \longrightarrow \, e^{x-f(x)}+x^2-f(x)^2-e(x-1)+1=0</math>e derivando rispetto a <math>x</math>:<math display="block">e^{x-f(x)}*(1-f'(x))+2x-2f(x) f'(x)-e=0</math><math display="block">e^{x-f(x)}*(1-f'(x))+2x-2f(x) f'(x)-e=0</math>Derivando ulteriormente:<math display="block">e^{x-f}*(1-f')^2-e^{x-f}*f''+2-2 (f')^2-2 f f''=0</math>e valutando in <math>x=0</math>, con <math>f(0)=-1</math>, e <math>f'(0)=0</math>, ottengo:<math display="block">e-e f''+2+2 f''=0</math><math display="block">\longrightarrow f''(0) = -\frac{e+2}{2-e} = \frac{e+2}{e-2} > 0</math>allora <math>x=0</math> è un minimo.

{{InizioEsercizio|title=|number=6.2|anchor=Esercizio6_2}}
Sia <math>G \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R</math> definita come:<math display="block">G(x,y) = -x e^y+2y-1</math>
#Sia <math>(x_0,y_0) \in \mathbb R^2</math> tale che <math>x_0 \le 0</math> e <math>G(x_0,y_0) =0</math>. E' vero che <math>G(x,y) =0</math> definisce implicitamente <math>y=f(x)</math> in un intorno del punto   <math>(x_0,y_0)</math>?
#Scrivere lo sviluppo di Taylor di ordine 2 della funzione <math>y = f(x)</math>-definita implicitamente da <math>G(x,y)=0</math> in un intorno del punto <math>(0,1/2)</math>.
#Trovare tutti i punti <math>(x,y)</math> tali che <math>G(x,y) =0</math> ma in cui il teorema del Dini non garantisce l'esistenza di <math>y=f(x)</math>.
{{FineEsercizio}}

#Verifico se <math>G</math> soddisfa le ipotesi del teorema del Dini: sappiamo già che <math>G</math> è di classe <math>C^{\infty}</math> e che <math>G(x_0,y_0) =0</math>. Allora il teorema del Dini è applicabile se <math>G_y(x_0,y_0) \neq 0</math>.<math display="block">\frac{\partial G}{\partial y}(x,y) = -xe^y+2</math><math display="block">\frac{\partial G}{\partial y}(x_0,y_0) = -x_0 e^{y_0}+2</math><math display="block">x_0 \neq 0 \, \longrightarrow \, -x_0 e^{y_0}+2 \ge 2 \neq 0</math>Allora per ogni punti <math>(x_0,y_0)</math> con <math>x_0 \le 0</math> e con <math>G(x_0,y_0)=0</math> è applicabile il teorema del Dini.
#<math>(0,1/2)</math> è soluzione di <math>G(x,y)=0</math> ed è della forma <math>(x_0,y_0)</math> con <math>x_0 \le 0</math>. Allora per il punto 1 in un intorno di <math>(0,1/2)</math> si ha<math display="block">G(x,f(x)) = 0</math>Scriviamo lo sviluppo di Taylor di f: dobbiamo quindi ricavare le espressioni di <math>f'(0)</math> e <math>f''(0)</math>.<math display="block">G(x,f(x)) =0 \, \longrightarrow \,  -x e^f+2f-1 =0</math>Derivando una volta rispetto a <math>x</math>:<math display="block">-x e^f f'-e^f+2f' =0</math>e tenendo conto che <math>f(0)=1/2</math> e <math>x=0</math>:<math display="block">-\sqrt{e}+2f' =0</math><math display="block">f' = \frac{\sqrt{e}}{2}</math>Derivo ancora per ricavare <math>f''</math>:<math display="block">-e^f f' -x e^f (f')^2-x e^f f''-e^f f'+ 2f'' =0</math><math display="block">f'(0) = \sqrt{e}/2, f(0)=1/2, x=0 \quad \longrightarrow \quad -\sqrt{e} \sqrt{e}/2 -\sqrt{e}/2 \sqrt{e}+ 2f'' =0</math><math display="block">-e+ 2f'' =0</math><math display="block">f''(0) = e/2</math>Si può quindi scrivere lo sviluppo di Taylor di ordine 2 associato a <math>f(x)</math>:<math display="block">f(x) = f(0)+f'(0) x+f''(0)/2 x^2</math>cioè<math display="block">f(x) = 1/2 +\sqrt{e}/2 x+e/4 x^2</math>
#Voglio determinare punti in cui <math>G(x,y)=0</math> e in cui non sia applicabile il teorema del Dini, cioè tali che <math>G_y = 0</math>.<math display="block">\frac{\partial G}{\partial y} = -x e^y+2=0 \, \longrightarrow \, x = 2*e^{-y}</math>Inoltre, siccome dev'essere <math>G(x,y)=0</math> si ha:<math display="block">G(2e^{-y},y)=0</math>cioè<math display="block">-2+2y-1 =0 \, \longrightarrow \, y = 3/2</math>e sostituendo nell'espressione che esprime <math>x</math> in funzione di <math>y</math>:<math display="block">x=2e^{-3/2}</math>quindi l'unico punto in cui il teorema di Dini non è applicabile e in cui <math>G(x,y)=0</math> è<math display="block">P =(2e^{-3/2}, 3/2)</math>

{{InizioEsercizio|title=|number=6.3|anchor=Esercizio6_3}}
Verificare che il sistema<math display="block">\begin{cases}e^z+3x-\cos y+y=0 \\ e^x-x-z+y-1=0\end{cases}</math>definisce implicitamente una curva di equazioni parametriche<math display="block">x=t, \, y=y(t), \, z=z(t)</math>in un intorno del punto <math>P=(0,0,0)</math> e scrivere l'equazione della retta tangente alla curva in <math>P</math>.
{{FineEsercizio}}

In questo caso si ha una funzione <math>G \colon \mathbb R^3 \to \mathbb R^2</math>. Si vogliono esplicitare <math>y</math> e <math>z</math> in funzione di <math>x</math>.

Verifico che il sistema<math display="block">\begin{cases}g_1(x,y,z) = e^z+3x-\cos y+y=0 \\g_2(x,y,z) = e^x-x-z+y-1=0\end{cases}</math>definisce una curva <math>(t,y(t),z(t))</math>.
Verifico le ipotesi del teorema del Dini:

#<math>G \colon \mathbb R^3 \to \mathbb R^2</math> è di classe <math>C^{\infty}</math> in <math>\mathbb R^3</math>;
#valutando <math>G</math> in <math>(0,0,0)</math> si ha:<math display="block">g_1(0,0,0)= 1-\cos 0 = 0, \quad \quad  g_2(0,0,0)= 1-0-0-1=0</math>quindi <math>G(0,0,0)=0</math>.
#Per verificare la terza condizione scrivo la matrice:<math display="block">G_{y,z}(x,y,z) = \left(\begin{array}{cc} \frac{\partial g_1}{\partial y} & \frac{\partial g_1}{\partial z} \\ \frac{\partial g_2}{\partial y} & \frac{\partial g_2}{\partial z} \end{array}\right)</math><math display="block">G_{y,z}(x,y,z)=\left(\begin{array}{cc} \sin y +1 & e^z \\ 1& -1 \end{array} \right)</math><math display="block">G_{y,z}(0,0,0) = \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right)</math><math display="block">\det (J_f)_{y,z} = -2 \neq 0</math>

Allora il teorema della funzione implicita è applicabile, ed è possibile definire la curva:<math display="block">\gamma(t) = (x=t, \, y=y(t), \, z=z(t))</math>
{{InizioOsservazione|title=|number=6.2|anchor=Osservazione6_2}}
La retta tangente alla curva passa per <math>(x_0,y_0,z_0)</math>, e ha coefficiente angolare <math>((\gamma_1)'(t), (\gamma_2)'(t), (\gamma_3)'(t))</math>, quindi ha equazione:<math display="block">\begin{cases}x = x_0+t \\y = y_0+y'(t)*t \\z= z_0+z'(t)*t \end{cases}</math>
{{FineOsservazione}}

Tenendo conto che <math>(x_0,y_0,z_0)=(0,0,0)</math> si ha:<math display="block">\begin{cases}x = t \\ y = y'(t)*t \\ z= z'(t)*t \end{cases}</math>Ponendo <math>h(x) = (f(x), g(x))</math> per la sua derivata si ha:<math display="block">h'(x) = ((J_g)_{y,z})^{-1} (x,y(x), z(x)) \circ (J_g)_x (x,y(x),z(x))</math><math display="block">\frac{\partial g_1}{\partial x}(0,0,0) =3</math><math display="block">\frac{\partial g_2}{\partial x}(0,0,0) = (e^x-1)(0,0,0) = 1-1 =0</math>Quindi<math display="block">[(J_G)_x= \left(\begin{array}{c}3 \\ 0 \end{array}\right)</math>Invece<math display="block">(J_G)_{y,z}(0,0,0) =\left(\begin{array}{cc}  1 & 1 \\  1 & -1\end{array}\right)</math><math display="block">\det (J_g)_{y,z}= -2</math><math display="block">((J_G)_{y,z})^{-1} =-1/2 \left(\begin{array}{cc}  -1 & -1 \\ -1 & 1\end{array}\right)</math><math display="block">((J_G)_{y,z})^{-1} =1/2 \left(\begin{array}{cc}  1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right)</math><math display="block">H'(0) = -1/2*\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\1 & -1\end{array} \right) \times\left( \begin{array}{c}  3 \\  0\end{array} \right)</math>ed è il vettore <math>(-3/2,-3/2)</math>.

Allora la retta tangente ha equazioni:<math display="block">\begin{cases}x=t \\ y=-3/2 t \\ z=-3/2 t \end{cases}</math>




{{InizioOsservazione|title=|number=6.3|anchor=Osservazione6_3}}
Alternativamente, senza procedere con le matrici, si considera il sistema:<math display="block">\begin{cases} g_1(x,y(x),z(x)) =0 \\g_2(x,y(x),z(x))=0\end{cases}</math>Derivando ottengo:<math display="block">\nabla g_1(x,y(x), z(x)) \cdot (1,y'(x), z'(x) =0</math><math display="block">\nabla g_2(x,y(x), z(x)) \cdot (1,y'(x), z'(x)) =0</math>e valutando l'espressione in <math>x=0</math> trovo un sistema lineare in <math>y'(0)</math> e <math>z'(0)</math>.
{{FineOsservazione}}



{{InizioEsercizio|title=|number=6.4|anchor=Esercizio6_4}}
E' data l'equazione:<math display="block">g(x,y,z) = x^2+2x+e^y+y-2z^3 =0</math>Si richiede di verificare che in un intorno del punto <math>(-1,0,0)</math> l'equazione<math display="block">g(x,y,z)=0</math>definisce implicitamente una superficie di equazione <math>y = g(x,z)</math>. Scrivere l'equazione del piano tangente alla superficie nel punto <math>(-1,0,0)</math>.
{{FineEsercizio}}

Vogliamo esplicitare <math>y</math> in funzione di <math>x</math> e <math>z</math>. Verifichiamo le ipotesi del teorema del Dini:

#<math>g</math> è di classe <math>C^{\infty}</math>
#<math>g(-1,0,0) = 1-2+1 =0</math>
#Si ha <math>G_y = e^y+1</math> quindi  <math>G_y(-1,0,0) = 2 \neq 0</math>.

Allora il teorema della funzione implicita è applicabile e <math>G(x,y,z)=0</math> definisce implicitamente la superficie cercata.

{{InizioOsservazione|title=|number=6.4|anchor=Osservazione6_4}}
Il piano tangente alla superficie nel punto <math>(-1,0,0)</math> si trova immediatamente con la formula:<math display="block">\nabla G(x,y,z) \cdot (x-x_0, y-y_0, z-z_0) =0</math>in quanto passa per <math>(x_0,y_0,z_0)</math> ed è perpendicolare a <math>\nabla G</math>, che è diretto come il versore normale al piano tangente.
{{FineOsservazione}}

In questo caso bisogna risolvere l'equazione:<math display="block">\nabla G(-1,0,0) \cdot (x+1, y, z) =0</math><math display="block">\begin{align}G_x(x,y,z) = 2x+2, & G_x(-1,0,0)=0 \\G_y(x,y,z)  = e^y+1, & G_y(-1,0,0)=2 \\G_z(x,y,z) = -6z^2, & G_z(-1,0,0) = 0\\\end{align}</math>Allora:<math display="block">(0,2,0) \cdot (x+1,y,z) =0</math><math display="block">\longrightarrow \, 2y =0</math>cioè <math>y=0</math> è l'equazione del piano tangente nel punto <math>(-1,0,0)</math>.

{{InizioEsercizio|title=|number=6.5|anchor=Esercizio6_5}}
Sia <math>f \colon \mathbb R \to \mathbb R</math> una funzione continua tale che <math>f(0) =0</math>. Verificare che il sistema:
<math display="block">\begin{cases}y^2-z^2+\int_0^x f(t) \, dt =0 \\\log y-2\log z +x=0\end{cases}</math>definisce implicitamente la curva:<math display="block">x=x, \, y=y(x), \, z=z(x)</math>in un intorno del punto <math>(0,1,1)</math>.

Scrivere l'equazione della retta tangente alla curva nel punto <math>(0,1,1)</math> e discutere la massima regolarità che si può garantire per la funzione implicita.
{{FineEsercizio}}

''Verifico le ipotesi del teorema del Dini'':

#Siccome <math>f</math> è continua la funzione integrale è di classe <math>C^1</math>, quindi <math>g</math> è di classe <math>C^1</math> in <math>\mathbb R \times \mathbb R^+ \times \mathbb R^+</math>.
#<math display="block">g_1(0,1,1) = 0+1-1 = 0</math><math display="block">g_2 = \log 1-2\log 1+0 = 0</math>
#Per la terza ipotesi, vogliamo verificare che la matrice jacobiana rispetto alle variabili <math>y,z</math> della funzione <math>G</math> sia invertibile.<math display="block">(J_g)_{y,z} (x,y,z) =\left(\begin{array}{cc} 2y & -2z \\ 1/y & -2/z \end{array}\right)</math><math display="block">(J_g)_{y,z} (0,1,1) = \left(\begin{array}{cc} 2 & -2  \\ 1 & -2 \end{array} \right)</math><math display="block">\det J_g= -4+2 = -2 \neq 0</math>quindi la matrice è invertibile e il teorema del Dini è applicabile.

''Massima regolarità garantita'': Se <math>G</math> è di classe <math>C^k</math>, la funzione implicita è di classe <math>C^k</math>. In questo caso, senza ulteriroi ipotesi <math>g</math> è al più di classe <math>C^1</math>, e lo stesso vale per la funzione implicita.
402

''Retta tangente'': Vogliamo trovare <math>y'(x), z'(x)</math>. Vale la relazione:<math display="block">\left(\begin{array}{c}  y'(x) \\  z'(x)\end{array}\right)= -((J_g)_{y,z})^{-1} (0,1,1) \times (J_g)_x (0,1,1)</math>Inverto la matrice trovata prima:<math display="block">((J_g)_{x,y})^{-1}(0,1,1)= -1/2*\left(\begin{array}{cc} -2 & 2  \\ -1 & 2 \end{array} \right)</math>Invece:<math display="block">(J_g)_x(x,y,z) = (f(x),1)</math>e valutando in <math>(0,1,1)</math>, siccome <math>f(0) =0</math> ho il vettore colonna<math display="block">\left( \begin{array}{c}0 \\ 1 \end{array} \right)</math>In conclusione, svolgendo il prodotto ottengo il vettore:<math display="block">1/2*(2,2) = (1,1)</math>allora l'equazione della retta tangente è:<math display="block">\begin{cases}x=t, \\ y=1+t, \\ z=1+t\end{cases}</math>






{{InizioEsercizio|title=|number=6.6|anchor=Esercizio6_6}}
Sia <math>\gamma(t)=(x(t),y(t))</math> la curva definita implicitamente dal sistema<math display="block">\begin{cases}e^t+\sin x+\log(1+y)-1=0\\\cos y-e^{tx}+2t+4x=0\end{cases}</math>in un intorno di <math>(0,0)</math>. Si determini il versore tangente a <math>\gamma</math>
in <math>(0,0,0)</math>.
{{FineEsercizio}}

Il versore tangente ha espressione:<math display="block">T_{\gamma}(0,0,0) = \frac{\nabla F_1 \times \nabla F_2}{ \vert \nabla F_1 \times \nabla F_2 \vert}</math>con<math display="block">F_1 = e^t+\sin x+\log(1+y)-1</math><math display="block">F_2 = \cos y-e^{tx}+2t+4x</math><math display="block">\begin{align}\nabla F_1 = (e^t, \cos x, \frac{1}{1+y}), & \nabla F_1(0,0,0) = (1, 1, 1) \\\nabla F_2 = (-e^{tx}*x+2, -e^{tx}*t+4, -\sin y), & \nabla F_2(0,0,0) = (2, 4, 0) \\\end{align}</math><math display="block">\nabla F_1 \times \nabla F_2 = (-4,2,2)</math><math display="block">\vert \nabla F_1 \times \nabla F_2 \vert = \sqrt{16+4+4} = 2\sqrt{6}</math>Quindi<math display="block">T_{\gamma}(0,0,0) = \frac{1}{2\sqrt{6}} (-4,2,2) = \frac{1}{\sqrt{6}} (-2,1,1)</math>
{{InizioEsercizio|title=|number=6.7|anchor=Esercizio6_7}}
Si studi la funzione <math>y=y(x)</math> definita implicitamente dalla relazione<math display="block">\log(x^3y)+e^{xy}=0.</math>
{{FineEsercizio}}

Questa relazione è ben definita se e solo se <math>x^3y >0</math> e quindi se e solo se <math>xy > 0</math>, cioè se <math>x<0</math> e <math>y<0</math> oppure per <math>x>0</math> e <math>y>0</math>.

Per il teorema del Dini segue che:<math display="block">y'(x) = \frac{-F_x}{F_y}</math>con<math display="block">F = \log(x^3y)+e^{xy}</math><math display="block">F_y = \frac{x^3}{x^3 y}+e^{xy}*x = 1/y+x*e^{xy}</math><math display="block">y'(x) = \frac{3/x+y*e^{xy}}{1/y+x*e^{xy}}</math>La funzione ottenuta è definita anch'essa per <math>xy>0</math>, <math>x \neq 0, y \neq 0</math> e<math display="block">1/y+x*e^{xy} \neq 0</math>cioè<math display="block">1+xy*e^{xy} \neq 0</math><math display="block">xy e^{xy} \neq -1</math>e questo è sempre vero per <math>xy > 0</math>.<math display="block">y'(x) = -\frac{y(3+xy*e^{xy})}{x(1+xy*e^{xy})}</math>La derivata della funzione si annulla se <math>y=0</math> (ma qui la funzione non è definita), oppure quando<math display="block">3+xy e^{xy} = 0</math><math display="block">xy e^{xy} = -3</math>e anche questo non è possibile se <math>xy>0</math>, quindi la derivata della funzione non ha punti stazionari.

Inoltre, la derivata nel complesso è negativa, quindi la funzione <math>y(x)</math> è decrescente negli intervalli <math>(-\infty,0)</math> e in <math>(0,+\infty)</math>.
Supponiamo che<math display="block">L^+ = \lim_{x \to +\infty} f(x,y)</math>sia finito, allora, in questo caso si ha necessariamente <math>x>0</math> e quindi segue che <math>xy > 0 \longrightarrow \, y > 0</math>. Allora, per <math>x>0, y>0</math> la relazione che definisce <math>y(x)</math> si può riscrivere come:<math display="block">3\log x+\log y+e^{xy}=0</math><math display="block">\longrightarrow \, 3\log x+\log l^+ +e^{x l^+ }=0</math><math display="block">\longrightarrow \, 3\log x +e^{x l^+ }=\log l^+</math>ma questo non è possibile perché mentre il primo membro tende a infinito, il secondo membro è una quantità finita, allora si ha necessariamente <math>l^+ = \infty</math> e in particolare per monotonia <math>l^+ = -\infty</math>. Analogamente, <math>l^- = +\infty</math>.

{{InizioEsercizio|title=|number=6.8|anchor=Esercizio6_8}}
Si studi la funzione <math>y=y(x)</math> definita implicitamente dalla relazione<math display="block">(1-x+y)e^x+e^y-1=0.</math>
{{FineEsercizio}}

#''Derivata prima'': Ponendo<math display="block">F = (1-x+y)e^x+e^y-1</math>si ha:<math display="block">F_x = e^x*(1-x+y)+e^x*(-1) = e^x*(y-x)</math><math display="block">F_y = e^x+e^y</math>quindi, per il teorema del Dini, la derivata della funzione definita implicitamente dalla relazione è:<math display="block">y' = -\frac{e^x*(y-x)}{e^x+e^y}</math>
#''Punti stazionari'':I punti stazionari della funzione sono quelli per cui:<math display="block">e^x*(y-x) = 0</math>e quindi i punti tali che <math>y=x</math>. Sfrutto la relazione deinitoria per trovare i punti della forma <math>(x,x)</math>. Deve valere:<math display="block">(1-x+x)e^x+e^x-1=0 \longrightarrow \, e^x+e^x-1=0</math><math display="block">\longrightarrow e^x = 1/2</math><math display="block">x = \log (1/2) = -\log 2</math>Allora l'unico punto <math>(x,x)</math> tale che <math>F(x,x) = 0</math> è <math>(-\log 2, -\log 2)</math>, ed è l'unico punto stazionario per la funzione.
#''Positività della derivata'':  La derivata è positiva per <math>y<x</math>, e negativa per <math>y>x</math>, cioè la funzione è decrescente quando sta sopra la retta <math>y=x</math> e crescene quando sta sotto questa retta.
#''Limiti della funzione'': Supponiamo che<math display="block">\ell^+ = \lim_{x \to +\infty} y(x)</math>sia finito, allora sostituendo nella relazione definitoria si avrebbe:<math display="block">(1-x+\ell^+ )e^x+e^{\ell^+}-1=0.</math><math display="block">(1-x+\ell^+ )e^x =1-e^{\ell^+}. \quad \hbox{relazione} \ast</math>e si ha una contraddizione perché il primo membro tende a <math>-\infty</math> mentre il secondo membro è finito, quindi <math>\ell^+ = +\infty</math>.Calcoliamo ora<math display="block">\ell^- = \lim_{x \to -\infty} y(x) =</math>Supponiamo che <math>\ell^-</math> sia finito, allora considerando la relazione <math>\ast</math> in questo caso non si ha nessuna contraddizione, perché <math>e^x \to 0</math>, e quindi sia il primo che il secondo membro sono finiti. Anche il secondo membro dev'essere uguale a 0, e quindi si avrebbe:<math display="block">e^{\ell^-} = 1</math>e quindi<math display="block">\ell^- = \log 1 = 0</math>La funzione ha un asintoto orizzontale per <math>y=0</math>.
#''Derivata seconda'': Derivo due volte la relazione definitoria per trovare la derivata seconda:<math display="block">R' = e^x*(1-x+y-1+y')+e^y*y'=0.</math><math display="block">R'' = e^x*( -x+y+y'-1+y'+y'')+e^y*(y')^2+e^y*y''=0.</math><math display="block">R'' = e^x*( -x+y+2y'-1)+e^y*(y')^2+e^x*y''+e^y*y''=0.</math>quindi<math display="block">y'' = -\frac{e^x*(-x+y+2y'-1)+e^y*(y')^2}{e^x+e^y}</math>Valutando la derivata seconda in <math>(-\log 2, -\log 2)</math> si ha:<math display="block">y''(-\log 2,-\log 2) = -\frac{1/2*(-1)+1/2*0}{1/2+1/2} = 1/2 > 0</math>quindi <math>(-\log 2,-\log 2)</math> è un punto di minimo per <math>F</math>.



{{InizioEsercizio|title=|number=6.9|anchor=Esercizio6_9}}
Sia <math>f(x,y)=e^{2x-y}+\sin(x+y)</math>.

#Si dimostri che <math>\{(x,y)\in\mathbb R^2:f(x,y)=1\}</math> in un intornodi <math>(0,0)</math> coincide con il grafico di una funzione <math>x=g(y)</math>.
#Si scriva lo sviluppo di Taylor del secondo ordine (con il restodi Peano) di <math>g</math>  centrato in <math>y=0</math>.
#Si verifichi che <math>y=0</math> è un punto di massimo locale per <math>g</math>.
{{FineEsercizio}}

Verifico le ipotesi del teorema del Dini. Pongo<math display="block">F(x,y) = e^{2x-y}+\sin(x+y)-1</math>
#<math>F</math> è di classe <math>C^1</math>.
#<math>(0,0) \in Z_F</math>, infatti:<math display="block">F(0,0) = e^{0}+\sin 0-1 = 1-1 =0</math>
#<math>F_x(0,0) \neq 0</math>, infatti:<math display="block">F_x = e^{2x-y}*2+\cos (x+y)</math><math display="block">F_x(0,0) = e^{0}*2+\cos (0) = 2+1 = 3 \neq 0</math>

allora esiste un intorno <math>U</math> di <math>(0,0)</math> tale che <math>Z_F \cap U</math> sia il grafico di una funzione <math>g(y)</math>.

Derivando una volta la relazione <math>e^{2x-y}+\sin(x+y)-1=0</math> rispetto a <math>x</math> ottengo<math display="block">e^{2x-y}*(2x'-1)+\cos(x+y)(x'+1)=0</math>da cui si ottiene:<math display="block">x'*(2e^{2x-y}+\cos(x+y))+\cos (x+y)-e^{2x-y}=0</math><math display="block">x'*(2e^{2x-y}+\cos(x+y)) = -\cos (x+y)+e^{2x-y}</math><math display="block">x'(y) = \frac{-\cos (x+y)+e^{2x-y}}{2e^{2x-y}+\cos (x+y)} \quad \hbox{derivata prima}</math>e valutando in <math>y=0</math> ottengo:<math display="block">x'(0) = \frac{-\cos (0)+e^{0}}{2e^{0}+\cos (0)} = 0</math>Derivando due volte la relazione definitoria ottengo:<math display="block">e^{2x-y}*[(2x'-1)^2+2x'']-\sin (x+y)*(x'+1)^2+ \cos(x+y) x''=0</math>e sostituendo le espressioni di <math>y=0, f(0)=x=0, f'(0)=0</math> ottengo:<math display="block">1*[1+2x'']+1 x''=0</math><math display="block">x'' +2x''+1 = 0</math><math display="block">x''(0,0) = 1/3</math>Allora lo sviluppo di Taylor centrato in <math>x=0</math> di <math>g</math> è<math display="block">g(y) = 0+0*x+1/3*x^2+o(x^2) = 1/3*x^2+o(x^2)</math>Osservo che <math>g'(0)=0</math>, cioè <math>y=0</math> è un punto stazionario per la funzione, inoltre <math>g''(0) = 0</math> e quindi <math>y=0</math> è un punto di minimo per <math>g</math>.