L'equazione del calore con condizioni al bordo di Neumann

Si vuole ora studiare l'equazione del calore, con condizioni al bordo di Neumann:

$${\begin{cases}u_{t}-Du_{xx}=0\\u(x;0)=u_{0}(x)\\u_{x}(0;t)=u_{x}(L;t)=0\end{cases}},\;x\in (0;L),\,t>0$$

$$\begin{cases} u_t-Du_{xx}=0\\ u(x;0)=u_0(x)\\ u_x(0;t)=u_x(L;t)=0 \end{cases},\;x\in (0;L),\,t>0$$

Usando lo stesso metodo risolutivo adottato per risolvere l'equazione della corda vibrante con estremi fissi, ovvero il metodo di separazione delle variabili, si ha:

$${\frac {1}{D}}{\frac {{\dot {T}}(t)}{T(t)}}={\frac {S^{\prime \prime }(x)}{S(x)}}=\alpha$$

$$\frac{1}{D}\frac{\dot{T}(t)}{T(t)}=\frac{S^{\prime\prime}(x)}{S(x)}=\alpha$$

Per la parte spaziale si ottiene:

$${\begin{cases}S^{\prime \prime }(x)-\alpha S(x)=0\\S^{\prime }(0)=S^{\prime }(L)=0\end{cases}}$$

$$\begin{cases} S^{\prime\prime}(x)-\alpha S(x)=0\\ S^{\prime}(0)=S^{\prime}(L)=0 \end{cases}$$

Anche in questo caso, così come per la corda vibrante, è possibile osservare che i casi $\alpha >0$$\alpha>0$ e $\alpha =0$$\alpha=0$ non sono accettabili perchè si otterrebbe un'espressione per $S(x)$$S(x)$ che non soddisferebbe le condizioni iniziali. Pertanto sia $\alpha <0$$\alpha<0$. Detto $\alpha =-k^{2}$$\alpha=-k^2$ si ottiene:

$$S^{\prime \prime }(x)+k^{2}S(x)=0$$

$$S^{\prime \prime }(x)+k^{2}S(x)=0$$

$$S(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx)$$

$$S(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx)$$

$$S^{\prime }(L)=0=-A\sin(kL)\,\Rightarrow \,k_{n}={\frac {n\pi }{L}}$$

$$S^{\prime}(L)=0=-A\sin(kL)\,\Rightarrow\, k_n=\frac{n\pi}{L}$$

Dunque le soluzioni per la parte spaziale sono date da:

$$S_{n}(x)=B\cos(k_{n}x),\;n\geq 0$$

$$S_n(x)=B\cos(k_nx),\;n\geq 0$$

Si osservi che il caso $n=0$$n=0$ da $S_{0}(x)=B=cost$$S_0(x)=B=cost$: in questo caso non è un problema, a differenza del caso della corda vibrante con estremi fissi, dato che le condizioni al bordo di Neumann rimangono soddisfatte. In maniera analoga si risolve l'equazione differenziale per la parte temporale e si ottiene:

$$T(t)=A_{n}e^{-D\left({\frac {n\pi }{L}}\right)^{2}t}$$

$$T(t)=A_ne^{-D\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2t}$$

In definitiva, la soluzione globale del problema di Cauchy studiato sarà data dalla combinazione lineare delle $S_{n}(x)T_{n}(t)$$S_n(x)T_n(t)$:

$$u(x;t)=\sum _{n=0}^{+\infty }A_{n}e^{-D\left({\frac {n\pi }{L}}\right)^{2}t}\cos(k_{n}x)$$

$$u(x;t)=\sum_{n=0}^{+\infty}A_ne^{-D\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2t}\cos(k_nx)$$

La soluzione appena trovata deve soddisfare anche le condizioni iniziali, pertanto è necessario che:

$$u(x;0)=A_{0}+\sum _{n=1}^{+\infty }A_{n}\cos \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)=u_{0}(x)$$

$$u(x;0)=A_0+\sum_{n=1}^{+\infty}A_n\cos\left(\frac{n\pi}{L}x\right)=u_0(x)$$

I coefficienti $A_{0}$$A_0$ e $A_{n}$$A_n$, come nel caso della corda vibrante, non sono altro che i coefficienti di Fourier di $u_{0}(x)$$u_0(x)$. Anche in questo caso è possibile concludere che le soluzioni spaziali costituiscono un sistema ortogonale in $L^{2}(\left[0;L\right])$$L^2(\left[0;L\right])$ che può essere normalizzato in maniera tale da far si che esso costituisca un sistema ortonormale completo.