Sistemi lineari e errore inerente (condizionamento)

Perturbazioni del termine noto

Considero un sistema della forma

$$A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}},\quad A\in \mathrm {Mat} _{n,\mathbb {R} }$$

$$A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}},\quad A\in \mathrm {Mat} _{n,\mathbb {R} }$$

e suppongo che $A$$A$ sia non singolare.

Considero il caso in cui

$$A{\boldsymbol {x}}={\bar {\boldsymbol {b}}}$$

$$A{\boldsymbol {x}}={\bar {\boldsymbol {b}}}$$

$${\bar {\boldsymbol {b}}}={\boldsymbol {b}}+\delta _{b}$$

$${\bar {\boldsymbol {b}}}={\boldsymbol {b}}+\delta _{b}$$

che ha soluzione ${\bar {\boldsymbol {x}}}={\boldsymbol {x}}+\delta _{x}$${\bar {\boldsymbol {x}}}={\boldsymbol {x}}+\delta _{x}$. Mi chiedo quale sia la relazione tra $\delta _{x}$$\delta _{x}$ e $\delta _{b}$$\delta _{b}$.
Considerando le relazioni

$$A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}$$

$$A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}$$

$$A{\bar {\boldsymbol {x}}}={\bar {\boldsymbol {b}}}$$

$$A{\bar {\boldsymbol {x}}}={\bar {\boldsymbol {b}}}$$

Sottraggo membro a membro:

$$A{\bar {\boldsymbol {x}}}-A{\boldsymbol {x}}={\bar {\boldsymbol {b}}}-{\boldsymbol {b}}$$

$$A{\bar {\boldsymbol {x}}}-A{\boldsymbol {x}}={\bar {\boldsymbol {b}}}-{\boldsymbol {b}}$$

$${\bar {\boldsymbol {x}}}-{\boldsymbol {x}}=A^{-1}[{\bar {\boldsymbol {b}}}-{\boldsymbol {b}}]=A^{-1}\delta _{b}$$

$${\bar {\boldsymbol {x}}}-{\boldsymbol {x}}=A^{-1}[{\bar {\boldsymbol {b}}}-{\boldsymbol {b}}]=A^{-1}\delta _{b}$$

passando alle norme

$$\vert {\bar {\boldsymbol {x}}}-{\boldsymbol {x}}\vert =\vert A^{-1}\delta _{b}\vert \leq \vert A^{-1}\vert *\vert \delta _{b}\vert$$

$$\vert {\bar {\boldsymbol {x}}}-{\boldsymbol {x}}\vert =\vert A^{-1}\delta _{b}\vert \leq \vert A^{-1}\vert *\vert \delta _{b}\vert$$

$$\vert {\bar {\boldsymbol {x}}}-{\boldsymbol {x}}\vert \leq \vert A^{-1}\vert *\vert \delta _{b}\vert \quad {\hbox{relazione}}\circ$$

$$\vert {\bar {\boldsymbol {x}}}-{\boldsymbol {x}}\vert \leq \vert A^{-1}\vert *\vert \delta _{b}\vert \quad {\hbox{relazione}}\circ$$

ma

$$\vert {\boldsymbol {b}}\vert \leq \vert A\vert *\vert {\boldsymbol {x}}\vert$$

$$\vert {\boldsymbol {b}}\vert \leq \vert A\vert *\vert {\boldsymbol {x}}\vert$$

allora

$${\frac {1}{\vert {\boldsymbol {x}}\vert }}\leq {\frac {\vert A\vert }{\vert {\boldsymbol {b}}\vert }}\quad {\hbox{relazione}}\circ \circ$$

$${\frac {1}{\vert {\boldsymbol {x}}\vert }}\leq {\frac {\vert A\vert }{\vert {\boldsymbol {b}}\vert }}\quad {\hbox{relazione}}\circ \circ$$

e unendo le relazioni $\circ$$\circ$ e $\circ \circ$$\circ \circ$:

$${\frac {\vert {\bar {\boldsymbol {x}}}-{\boldsymbol {x}}\vert }{\vert {\boldsymbol {x}}\vert }}\leq {\frac {\vert A\vert *\vert A^{-1}\vert *\vert \delta _{b}\vert }{\vert {\boldsymbol {b}}\vert }}$$

$${\frac {\vert {\bar {\boldsymbol {x}}}-{\boldsymbol {x}}\vert }{\vert {\boldsymbol {x}}\vert }}\leq {\frac {\vert A\vert *\vert A^{-1}\vert *\vert \delta _{b}\vert }{\vert {\boldsymbol {b}}\vert }}$$

quindi

$${\frac {\vert {\bar {\boldsymbol {x}}}-{\boldsymbol {x}}\vert }{\vert {\boldsymbol {x}}\vert }}\leq K(A)*{\frac {\vert \delta _{b}\vert }{\vert {\boldsymbol {b}}\vert }}$$

$${\frac {\vert {\bar {\boldsymbol {x}}}-{\boldsymbol {x}}\vert }{\vert {\boldsymbol {x}}\vert }}\leq K(A)*{\frac {\vert \delta _{b}\vert }{\vert {\boldsymbol {b}}\vert }}$$

e in termini degli errori:

$$\varepsilon _{x}\leq K(A)\varepsilon _{b}$$

$$\varepsilon _{x}\leq K(A)\varepsilon _{b}$$

Caso generale

Considero un sistema in cui ci sia una perturbazione anche sui coefficienti della matrice. Risolvo quindi l'equazione

$${\bar {A}}{\bar {\boldsymbol {x}}}={\bar {\boldsymbol {b}}},\quad {\bar {A}}=A+\delta _{A},\quad {\bar {\boldsymbol {b}}}={\boldsymbol {b}}+\delta _{b}$$

$${\bar {A}}{\bar {\boldsymbol {x}}}={\bar {\boldsymbol {b}}},\quad {\bar {A}}=A+\delta _{A},\quad {\bar {\boldsymbol {b}}}={\boldsymbol {b}}+\delta _{b}$$

Sono necessari i due seguenti teoremi tecnici.

Teorema 2.1

Data una norma matriciale indotta, tale che $\vert A\vert <1$$\vert A\vert <1$ allora $I+A$$I+A$ è non singolare, e $\vert (I+A)^{-1}\vert \leq {\frac {1}{1-\vert A\vert }}$$\vert (I+A)^{-1}\vert \leq {\frac {1}{1-\vert A\vert }}$.

 

Dimostrazione

Dim. Dimostriamo che $I+A$$I+A$ è non singolare.

$$\vert A\vert <1\,\longrightarrow \,\rho (A)<1,$$

$$\vert A\vert <1\,\longrightarrow \,\rho (A)<1,$$

gli autovalori di $I+A$$I+A$ sono della forma $1+\lambda _{i}$$1+\lambda _{i}$ con $\lambda _{i}$$\lambda_i$ autovalori di $A$$A$.

Considero la relazione

$$(I+A)(I+A)^{-1}=I$$

$$(I+A)(I+A)^{-1}=I$$

ed espandendo il prodotto:

$$(I+A)^{-1}+A(I+A)^{-1}=I$$

$$(I+A)^{-1}+A(I+A)^{-1}=I$$

$$(I+A)^{-1}=I-A(I+A)^{-1}$$

$$(I+A)^{-1}=I-A(I+A)^{-1}$$

$$\vert (I+A)^{-1}\vert \leq \vert I-A(I+A)^{-1}\vert \leq \vert I\vert +\vert A\vert *\vert (I+A)^{-1}\vert$$

$$\vert (I+A)^{-1}\vert \leq \vert I-A(I+A)^{-1}\vert \leq \vert I\vert +\vert A\vert *\vert (I+A)^{-1}\vert$$

e $\vert I\vert =1$$\vert I\vert =1$ perché sto considerando una norma matriciale indotta.

$$(1-\vert A\vert )*\vert (I+A)^{-1}\vert \leq 1$$

$$(1-\vert A\vert )*\vert (I+A)^{-1}\vert \leq 1$$

$1-\vert A\vert >0$$1-\vert A\vert >0$, allora

$$\vert (I+A)^{-1}\vert \leq {\frac {1}{1-\vert A\vert }}$$

$$\vert (I+A)^{-1}\vert \leq {\frac {1}{1-\vert A\vert }}$$

cvd

 

Teorema 2.2

Se $\vert A^{-1}\vert *\vert \delta _{A}\vert <1$$\vert A^{-1}\vert *\vert \delta _{A}\vert <1$ allora ${\bar {A}}$${\bar {A}}$ è non singolare, e

$$\vert (I+A^{-1}\delta _{A})^{-1}\vert \leq {\frac {1}{1-\vert A^{-1}\vert *\vert \delta _{A}\vert }}$$

$$\vert (I+A^{-1}\delta _{A})^{-1}\vert \leq {\frac {1}{1-\vert A^{-1}\vert *\vert \delta _{A}\vert }}$$

 

Dimostrazione

${\bar {A}}=A+\delta _{A}$${\bar {A}}=A+\delta _{A}$, e siccome $A$$A$ è non singolare posso raccogliere $A$$A$ e scrivere:

$${\bar {A}}=A(I+A^{-1}\delta _{A})$$

$${\bar {A}}=A(I+A^{-1}\delta _{A})$$

ma $\vert A^{-1}\delta _{A}\vert \leq \vert A^{-1}\vert *\vert \delta _{A}\vert <1$$\vert A^{-1}\delta _{A}\vert \leq \vert A^{-1}\vert *\vert \delta _{A}\vert <1$ per ipotesi. Allora ${\bar {A}}$${\bar {A}}$ è non singolare, per il teorema precedente.

$$\vert (I+A^{-1}\delta _{A})^{-1}\vert \leq {\frac {1}{1-\vert A^{-1}\delta _{A}\vert }}\leq {\frac {1}{1-\vert A^{-1}\vert \vert \delta _{A}\vert }}$$

$$\vert (I+A^{-1}\delta _{A})^{-1}\vert \leq {\frac {1}{1-\vert A^{-1}\delta _{A}\vert }}\leq {\frac {1}{1-\vert A^{-1}\vert \vert \delta _{A}\vert }}$$

cvd

 

Risultato di analisi a priori

Teorema 2.3

(importante) Dato il sistema $A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}$$A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$, con $A$$A$ non singolare, ${\boldsymbol {b}}\neq 0$${\boldsymbol {b}}\neq 0$, con le perturbazioni sui dati $\delta _{A},\delta _{b}$$\delta _{A},\delta _{b}$, allora considero il sistema

$$(A+\delta _{A})({\boldsymbol {x}}+\delta _{x})={\boldsymbol {b}}+\delta _{b}$$

$$(A+\delta _{A})({\boldsymbol {x}}+\delta _{x})={\boldsymbol {b}}+\delta _{b}$$

nell'ipotesi che

$$\vert A^{-1}\vert *\vert \delta _{A}\vert <1$$

$$\vert A^{-1}\vert *\vert \delta _{A}\vert <1$$

allora

$${\bar {A}}=A+\delta _{A}$$

$${\bar {A}}=A+\delta _{A}$$

è non singolare e per l'errore relativo

$$\varepsilon _{x}={\frac {\vert \delta _{x}\vert }{\vert {\boldsymbol {x}}\vert }}={\frac {\vert {\bar {\boldsymbol {x}}}-{\boldsymbol {x}}\vert }{\vert {\boldsymbol {x}}\vert }}$$

$$\varepsilon _{x}={\frac {\vert \delta _{x}\vert }{\vert {\boldsymbol {x}}\vert }}={\frac {\vert {\bar {\boldsymbol {x}}}-{\boldsymbol {x}}\vert }{\vert {\boldsymbol {x}}\vert }}$$

vale la relazione

$$\varepsilon _{x}\leq {\frac {K(A)*(\varepsilon _{b}+\varepsilon _{A})}{1-K(A)*\varepsilon _{A}}}$$

$$\varepsilon _{x}\leq {\frac {K(A)*(\varepsilon _{b}+\varepsilon _{A})}{1-K(A)*\varepsilon _{A}}}$$

con

$$\varepsilon _{A}={\frac {\vert \delta _{A}\vert }{\vert A\vert }}$$

$$\varepsilon _{A}={\frac {\vert \delta _{A}\vert }{\vert A\vert }}$$

 

Il teorema afferma che se il numero di condizionamento di $A$$A$ è piccolo, a errori piccoli sui dati corrisponde un errore piccolo nella soluzione, e il problema è ben condizionato, se invece $K(A)$$K(A)$ è grande piccoli errori sui dati possono dare grandi errori sulla soluzione (in quest'ultimo caso, la quantità al secondo membro è molto grande e, su quella a primo membro, che deve essere minore, non si hanno molte informazioni).

Dimostrazione

$$(A+\delta _{A})({\boldsymbol {x}}+\delta _{x})={\boldsymbol {b}}+\delta _{b}$$

$$(A+\delta _{A})({\boldsymbol {x}}+\delta _{x})={\boldsymbol {b}}+\delta _{b}$$

$$A{\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {x}}\delta _{A}+A\delta _{x}+\delta _{A}\delta _{x}={\boldsymbol {b}}+\delta _{b}$$

$$A{\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {x}}\delta _{A}+A\delta _{x}+\delta _{A}\delta _{x}={\boldsymbol {b}}+\delta _{b}$$

e siccome $A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}$$A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$,

$${\boldsymbol {x}}\delta _{A}+A\delta _{x}+\delta _{A}\delta _{x}=\delta _{b}$$

$${\boldsymbol {x}}\delta _{A}+A\delta _{x}+\delta _{A}\delta _{x}=\delta _{b}$$

e isolando $A\delta _{x}$$A\delta _{x}$:

$$A\delta _{x}=\delta _{b}-{\boldsymbol {x}}\delta _{A}-\delta _{A}\delta _{x}$$

$$A\delta _{x}=\delta _{b}-{\boldsymbol {x}}\delta _{A}-\delta _{A}\delta _{x}$$

e siccome $A$$A$ è non singolare

$$\delta _{x}=A^{-1}[\delta _{b}-{\boldsymbol {x}}\delta _{A}-\delta _{A}\delta _{x}]$$

$$\delta _{x}=A^{-1}[\delta _{b}-{\boldsymbol {x}}\delta _{A}-\delta _{A}\delta _{x}]$$

e portando a primo membro i termini moltiplicati per $\delta _{x}$$\delta _{x}$:

$$(I+A^{-1}\delta _{A})\delta _{x}=A^{-1}[\delta _{b}-{\boldsymbol {x}}\delta _{A}]$$

$$(I+A^{-1}\delta _{A})\delta _{x}=A^{-1}[\delta _{b}-{\boldsymbol {x}}\delta _{A}]$$

e equivalentemente

$$\delta _{x}=(I+A^{-1}\delta _{A})^{-1}*A^{-1}[\delta _{b}-{\boldsymbol {x}}\delta _{A}]$$

$$\delta _{x}=(I+A^{-1}\delta _{A})^{-1}*A^{-1}[\delta _{b}-{\boldsymbol {x}}\delta _{A}]$$

Passando alla norma:

$$\vert \delta _{x}\vert \leq \vert (I+A^{-1}\delta _{A})^{-1}\vert *\vert A^{-1}[\delta _{b}-{\boldsymbol {x}}\delta _{A}]\vert$$

$$\vert \delta _{x}\vert \leq \vert (I+A^{-1}\delta _{A})^{-1}\vert *\vert A^{-1}[\delta _{b}-{\boldsymbol {x}}\delta _{A}]\vert$$

e per i due teoremi dimostrati prima possiamo maggiorare $\vert (I+A^{-1}\delta _{A})^{-1}\vert$$\vert (I+A^{-1}\delta _{A})^{-1}\vert$:

$$\vert \delta _{x}\vert \leq {\frac {1}{1-\vert A^{-1}\vert *\vert \delta _{A}\vert }}*\vert A^{-1}[\delta _{b}-{\boldsymbol {x}}\delta _{A}]\vert$$

$$\vert \delta _{x}\vert \leq {\frac {1}{1-\vert A^{-1}\vert *\vert \delta _{A}\vert }}*\vert A^{-1}[\delta _{b}-{\boldsymbol {x}}\delta _{A}]\vert$$

$$(1-\vert A^{-1}\vert *\vert \delta _{A}\vert )\vert \delta _{x}\vert \leq \vert A^{-1}\vert *[\vert \delta _{b}\vert +\vert {\boldsymbol {x}}\vert *\vert \delta _{A}\vert ]$$

$$(1-\vert A^{-1}\vert *\vert \delta _{A}\vert )\vert \delta _{x}\vert \leq \vert A^{-1}\vert *[\vert \delta _{b}\vert +\vert {\boldsymbol {x}}\vert *\vert \delta _{A}\vert ]$$

Divido entrambi i membri per $\vert {\boldsymbol {x}}\vert$$\vert {\boldsymbol {x}}\vert$:

$$(1-\vert A^{-1}\vert *\vert \delta _{A}\vert )*{\frac {\vert \delta _{x}\vert }{\vert {\boldsymbol {x}}\vert }}\leq {\frac {\vert A^{-1}\vert *[\vert \delta _{b}\vert +\vert {\boldsymbol {x}}\vert *\vert \delta _{A}\vert ]}{\vert {\boldsymbol {x}}\vert }}$$

$$(1-\vert A^{-1}\vert *\vert \delta _{A}\vert )*{\frac {\vert \delta _{x}\vert }{\vert {\boldsymbol {x}}\vert }}\leq {\frac {\vert A^{-1}\vert *[\vert \delta _{b}\vert +\vert {\boldsymbol {x}}\vert *\vert \delta _{A}\vert ]}{\vert {\boldsymbol {x}}\vert }}$$

$$(1-\vert A^{-1}\vert *\vert \delta _{A}\vert )*{\frac {\vert \delta _{x}\vert }{\vert {\boldsymbol {x}}\vert }}\leq \vert A^{-1}\vert *[{\frac {\vert \delta _{b}\vert }{\vert {\boldsymbol {x}}\vert }}+\vert \delta _{A}\vert ]$$

$$(1-\vert A^{-1}\vert *\vert \delta _{A}\vert )*{\frac {\vert \delta _{x}\vert }{\vert {\boldsymbol {x}}\vert }}\leq \vert A^{-1}\vert *[{\frac {\vert \delta _{b}\vert }{\vert {\boldsymbol {x}}\vert }}+\vert \delta _{A}\vert ]$$

ponendo $\varepsilon _{x}={\frac {\vert \delta _{x}\vert }{\vert {\boldsymbol {x}}\vert }}$$\varepsilon _{x}={\frac {\vert \delta _{x}\vert }{\vert {\boldsymbol {x}}\vert }}$ e sapendo che

$${\frac {1}{\vert {\boldsymbol {x}}\vert }}\leq {\frac {\vert A\vert }{\vert {\boldsymbol {b}}\vert }}$$

$${\frac {1}{\vert {\boldsymbol {x}}\vert }}\leq {\frac {\vert A\vert }{\vert {\boldsymbol {b}}\vert }}$$

allora

$$(1-\vert A^{-1}\vert *\vert \delta _{A}\vert )*\varepsilon _{x}\leq \vert A^{-1}\vert *[{\frac {\vert A\vert \vert \delta _{b}\vert }{\vert {\boldsymbol {b}}\vert }}+\vert \delta _{A}\vert ]$$

$$(1-\vert A^{-1}\vert *\vert \delta _{A}\vert )*\varepsilon _{x}\leq \vert A^{-1}\vert *[{\frac {\vert A\vert \vert \delta _{b}\vert }{\vert {\boldsymbol {b}}\vert }}+\vert \delta _{A}\vert ]$$

Moltiplicando e dividendo l'ultimo addendo per $\vert A\vert$$\vert A\vert$ ottengo:

$$(1-\vert A^{-1}\vert *\vert \delta _{A}\vert )*\varepsilon _{x}\leq \vert A^{-1}\vert *\vert A\vert [{\frac {\vert \delta _{b}\vert }{\vert {\boldsymbol {b}}\vert }}+{\frac {\vert \delta _{A}\vert }{\vert A\vert }}]$$

$$(1-\vert A^{-1}\vert *\vert \delta _{A}\vert )*\varepsilon _{x}\leq \vert A^{-1}\vert *\vert A\vert [{\frac {\vert \delta _{b}\vert }{\vert {\boldsymbol {b}}\vert }}+{\frac {\vert \delta _{A}\vert }{\vert A\vert }}]$$

$$(1-\vert A^{-1}\vert *\vert \delta _{A}\vert )*\varepsilon _{x}\leq K(A)*(\varepsilon _{A}+\varepsilon _{b})$$

$$(1-\vert A^{-1}\vert *\vert \delta _{A}\vert )*\varepsilon _{x}\leq K(A)*(\varepsilon _{A}+\varepsilon _{b})$$

infine, sapendo che

$$\vert A^{-1}\vert *\vert \delta _{A}\vert ={\frac {\vert \delta _{A}\vert }{\vert A\vert }}*K(A)=K(A)*\varepsilon _{A}$$

$$\vert A^{-1}\vert *\vert \delta _{A}\vert ={\frac {\vert \delta _{A}\vert }{\vert A\vert }}*K(A)=K(A)*\varepsilon _{A}$$

si ha

$$\varepsilon _{x}\leq {\frac {K(A)*(\varepsilon _{A}+\varepsilon _{b})}{1-K(A)\varepsilon _{A}}}$$

$$\varepsilon _{x}\leq {\frac {K(A)*(\varepsilon _{A}+\varepsilon _{b})}{1-K(A)\varepsilon _{A}}}$$

cvd

 

Risultato di analisi a posteriori

Teorema 2.4

Sia $A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}$$A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$, $A$$A$ non singolare, ${\boldsymbol {b}}\neq 0$${\boldsymbol {b}}\neq 0$, e ${\bar {\boldsymbol {x}}}$${\bar {\boldsymbol {x}}}$ soluzione calcolata in aritmetica floating-point. Allora l'errore relativo su ${\boldsymbol {x}}$${\boldsymbol {x}}$ è

$$\varepsilon _{x}\leq K(A){\frac {\vert r\vert }{\vert {\boldsymbol {b}}\vert }}$$

$$\varepsilon _{x}\leq K(A){\frac {\vert r\vert }{\vert {\boldsymbol {b}}\vert }}$$

dove $r=r({\bar {\boldsymbol {x}}})={\boldsymbol {b}}-A{\bar {\boldsymbol {x}}}$$r=r({\bar {\boldsymbol {x}}})={\boldsymbol {b}}-A{\bar {\boldsymbol {x}}}$ (residuo).

 

Si considera il sistema lineare come un'equazione vettoriale di cui cerco la radice. Se chiamo $x_{\ast }$$x_{\ast }$ la soluzione esatta, $r(x_{\ast })=0$$r(x_{\ast })=0$.

Se il residuo è piccolo ma il $K(A)$$K(A)$ è grande, allora la maggiorazione non dà informazioni importanti.

Dimostrazione

$$r={\boldsymbol {b}}-A{\bar {\boldsymbol {x}}}$$

$$r={\boldsymbol {b}}-A{\bar {\boldsymbol {x}}}$$

$${\boldsymbol {b}}=A{\boldsymbol {x}}\,\longrightarrow \,r=A{\boldsymbol {x}}-A{\bar {\boldsymbol {x}}}=A({\boldsymbol {x}}-{\bar {\boldsymbol {x}}})$$

$${\boldsymbol {b}}=A{\boldsymbol {x}}\,\longrightarrow \,r=A{\boldsymbol {x}}-A{\bar {\boldsymbol {x}}}=A({\boldsymbol {x}}-{\bar {\boldsymbol {x}}})$$

ovvero ${\boldsymbol {x}}-{\bar {\boldsymbol {x}}}=A^{-1}r$${\boldsymbol {x}}-{\bar {\boldsymbol {x}}}=A^{-1}r$.

Passando alla norma

$$\vert {\boldsymbol {x}}-{\bar {\boldsymbol {x}}}\vert \leq \vert A^{-1}\vert \vert r\vert$$

$$\vert {\boldsymbol {x}}-{\bar {\boldsymbol {x}}}\vert \leq \vert A^{-1}\vert \vert r\vert$$

$$\vert {\boldsymbol {x}}-{\bar {\boldsymbol {x}}}\vert \leq K(A)*{\frac {\vert r\vert }{\vert A\vert }}$$

$$\vert {\boldsymbol {x}}-{\bar {\boldsymbol {x}}}\vert \leq K(A)*{\frac {\vert r\vert }{\vert A\vert }}$$

e siccome ${\boldsymbol {b}}=A{\boldsymbol {x}}$${\boldsymbol {b}}=A{\boldsymbol {x}}$

$$\vert {\boldsymbol {b}}\vert \leq \vert A\vert \vert {\boldsymbol {x}}\vert$$

$$\vert {\boldsymbol {b}}\vert \leq \vert A\vert \vert {\boldsymbol {x}}\vert$$

$${\frac {1}{\vert A\vert }}\leq {\frac {\vert {\boldsymbol {x}}\vert }{\vert {\boldsymbol {b}}\vert }}$$

$${\frac {1}{\vert A\vert }}\leq {\frac {\vert {\boldsymbol {x}}\vert }{\vert {\boldsymbol {b}}\vert }}$$

sostituendo

$$\vert {\boldsymbol {x}}-{\bar {\boldsymbol {x}}}\vert \leq K(A){\frac {\vert r\vert \vert {\boldsymbol {x}}\vert }{\vert {\boldsymbol {b}}\vert }}$$

$$\vert {\boldsymbol {x}}-{\bar {\boldsymbol {x}}}\vert \leq K(A){\frac {\vert r\vert \vert {\boldsymbol {x}}\vert }{\vert {\boldsymbol {b}}\vert }}$$

e dividendo ambo i membri della disuguaglianza per $\vert {\boldsymbol {x}}\vert$$\vert {\boldsymbol {x}}\vert$

$$E_{r}\leq K(A){\frac {\vert r\vert }{\vert {\boldsymbol {b}}\vert }}$$

$$E_{r}\leq K(A){\frac {\vert r\vert }{\vert {\boldsymbol {b}}\vert }}$$

cvd