Radici di sistmi non lineari

==Adattamento del metodo di Newton==
''Probema'': Data la funzione <math>f \colon \mathbb R^n \to \mathbb R^n</math>, trovare <math>x_\ast</math> tale che <math>f(x_\ast)=0</math>.


Considero un sottoinsieme <math>D \subset \mathbb R^n</math> in cui <math>f</math> sia di classe <math>C^1</math>, considero la matrice jacobiana, allora trovare gli zeri della funzione applicando il metodo di Newton equivale a risolvere l'equazione:
<math display="block">\begin{cases} f(x) = f(x_k)+J_f(x_k)*(x-x_k) \\ f(x)=0 \end{cases}</math>
Quindi
<math display="block">0=f(x_k)+ J_f(x_k)*(x_{k+1}-x_k)</math><math display="block">(x_{k+1}-x_k) = -J_f^{-1}(x_k)*f(x_k) \quad \hbox{metodo di Newton}</math>
Per evitare di invertire la matrice sul calcolatore, risolvo il sistema lineare
<math display="block">J_f(x_k)(x_{k+1}-x_k) = -f(x_k)</math>
Supponiamo di essere al k-esimo passo di Newton, allora pongo
<math display="block">K = x_{k+1}-x_k</math>
Risolvo
<math display="block">J_f(x_k)*K = -f(x_k)</math>
Pongo
<math display="block">x_{k+1} = x_k+K</math>

Come nel caso scalare, la convergenza del metodo di Newton è quadratica, se sono sufficientemente vicino alla radice.
Lo jacobiano è non singolare se la radice è semplice.

==Costo computazionale nella risoluzione del sistema==
Pensiamo di risolvere il sistema lineare usando una fattorizzazione. Questo comporta un grande aumento del costo computazionale. Allora per risparmiare operazioni, si aggiorna lo jacobiano di <math>f</math> solo periodicamente, per sfruttare la fattorizzazione di <math>J_f(x_k)</math> più volte. Questo rallenta la convergenza.



Pensando invece di usare metodi iterativi, consideriamo un ciclo di Newton con le iterazioni (outer iteration), e all'interno, nel passo in cui bisogna risolvere il sistema con la jacobiana, si inserisce un altro metodo iterativo (inner iteration).


Siccome l'obbiettivo è quello di convergere alla radice, nelle prime iterazioni del metodo di Newton la soluzione non viene calcolata esattamente (si fissa un numero di iterazioni <math>n_{max}</math> basso per il metodo iterativo). Si è interessati a risolvere il sistema in modo più preciso tanto più si pensa di essere vicino alla radice.