Formule di quadratura approssimate

Descrizione del problema

Data una funzione $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$$f \colon [a,b] \to \mathbb R$, si vuole calcolare

$$I_{f}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$$

$$I_f = \int_a^b f(x) \, dx$$

Siccome per ipotesi $f$$f$ è continua, per il teorema fondamentale del calcolo esiste una primitiva $F$$F$ tale che

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$$

$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b)-F(a)$$

Approssimo $I_{f}$$I_f$ con

$$I_{n}(f)=\sum _{i=0}^{n}w_{i}*f(x_{i})\quad {\hbox{formula }}\ast$$

$$I_n(f) = \sum_{i=0}^n w_i*f(x_i) \quad \hbox{formula } \ast$$

dove gli $x_{i}$$x_i$ vengono chiamati nodi e i $w_{i}$$w_i$ vengono chiamati pesi. E' quindi possibile calcolare gli integrali anche nel caso in cui si conoscono solo alcuni dati e non l'espressione della funzione.

Definizione 6.1

Si definisce errore analitico o resto la quantità $E_{n}(f)=I(f)-I_{n}(f)$$E_n(f) = I(f)-I_n(f)$.

 

Definizione 6.2

Si definisce grado di precisione di una formula di quadratura

$$\max\{k\in \mathbb {Z} \,t.c.\,I_{n}(f)=I(f),\,\forall f\in P_{k}\}$$

$$\max \{k \in \mathbb Z \, t.c. \, I_n(f)=I(f), \, \forall f \in P_k \}$$

con $P_{k}$$P_k$ insieme dei polinomi di grado $k$$k$.

 

Si richiede che le costanti vengano sempre integrate esattamente, cioè $I_{n}(1)=I(1)$$I_n(1) = I(1)$, quindi impongo la proprietà di consistenza:

$$\sum _{i=0}^{n}w_{i}=\int _{a}^{b}1=b-a$$

$$\sum_{i=0}^n w_i = \int_a^b 1 = b-a$$

Se questa proprietà non è soddisfatta la formula non è un buon algoritmo per il calcolo degli integrali.

Formule di quadratura con interpolazione

Si pensa di approssimare $f$$f$ con un polinomio di grado $n$$n$, usando le tecniche di interpolazione. Nella pratica si applicano le formule di quadratura in forma composta (integrazione in sottointervalli).

Si pone

$$I_{n}(f)=\int _{a}^{b}\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})*l_{i}(x)$$

$$I_{n}(f)=\int _{a}^{b}\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})*l_{i}(x)$$

$$=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\int _{a}^{b}L_{i}(x)\,dx$$

$$=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\int _{a}^{b}L_{i}(x)\,dx$$

dove l'integrale è il peso $w_{i}$$w_i$ definito nella formula di quadratura $\ast$$\ast$.

Esistono due possibilità:

1. $x_{i}$$x_i$ sono nodi equispaziati (formule di Newton-Cove)
2. $x_{i}$$x_i$ sono nodi corrispondenti agli zeri di polinomi ortogonali (formule gaussiane)