Teorema di Cantor

Teorema 3.7 (di Cantor)

I punti dell'intervallo aperto $(0,1)\in \mathbb {R}$$(0,1)\in \mathbb {R}$ sono un insieme non numerabile.

 

Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che l'intervallo $(0,1)$$(0,1)$ sia numerabile. Supponiamo cioè che i numeri dell'intervallo $(0,1)$$(0,1)$ possano essere messi in corrispondenza con gli interi.

Considero l'insieme $X=\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{k},\dots ,\}$$X=\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{k},\dots ,\}$ con:

$$x_{1}=0,c_{11},c_{12},c_{13},\dots ,c_{1n},\dots$$

$$x_{1}=0,c_{11},c_{12},c_{13},\dots ,c_{1n},\dots$$

$$x_{2}=0,c_{21},c_{22},c_{23},\dots ,c_{2n},\dots$$

$$x_{2}=0,c_{21},c_{22},c_{23},\dots ,c_{2n},\dots$$

$$\ldots \ldots \ldots$$

$$\ldots \ldots \ldots$$

$$x_{k}=0,c_{k1},c_{k2},c_{k3},\dots ,c_{kn},\dots$$

$$x_{k}=0,c_{k1},c_{k2},c_{k3},\dots ,c_{kn},\dots$$

Se trovo un punto di $(0,1)$$(0,1)$ che non appartiene a $X$$X$ significa che la corrispondenza non è biunivoca perchè non è suriettiva. Costruisco un numero tale che la prima cifra sia diversa dalla prima cifra di $x_{1}$$x_{1}$, la seconda cifra è diversa dalla seconda cifra di $x_{2}$$x_{2}$, la $k$$k$-esima cifra sia diversa dalla $k$$k$-esima cifra di $x_{k}$$x_k$, e così via. Il numero sarà della forma $x=\gamma _{1},\gamma _{2},\dots ,\gamma _{n},\dots$$x=\gamma _{1},\gamma _{2},\dots ,\gamma _{n},\dots$, con

$$\gamma _{1}\neq c_{11},\,\gamma _{1}\neq 0,\,\gamma _{1}\neq 9$$

$$\gamma _{1}\neq c_{11},\,\gamma _{1}\neq 0,\,\gamma _{1}\neq 9$$

$$\gamma _{2}\neq c_{22},\,\gamma _{2}\neq 9$$

$$\gamma _{2}\neq c_{22},\,\gamma _{2}\neq 9$$

$$\dots \,\gamma _{n}\neq c_{nn},\gamma _{n}\neq 9,\,\gamma _{n}\neq 0$$

$$\dots \,\gamma _{n}\neq c_{nn},\gamma _{n}\neq 9,\,\gamma _{n}\neq 0$$

Questo numero $x$$x$ è compreso tra 0 e 1. E' diverso da $x_{1}$$x_{1}$ per la prima cifra, differisce da $x_{2}$$x_{2}$ per la seconda cifra, differisce da $x_{n}$$x_n$ per l'$n$$n$-esima cifra. Allora non sta nell'allineamento. Questo è assurdo.

 

Altre considerazioni:

L'intervallo $(0,1)$$(0,1)$ ha una potenza superiore a $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$ e ha la stessa potenza di $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$. Gli irrazionali (insieme $\mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Q}$$\mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Q}$) non sono numerabili, perchè se fossero numerabili, anche $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$ sarebbe numerabile, essendo l'unione di due insiemi numerabili.

Gli irrazionali hanno la stessa potenza di $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$.

Prendo un insieme qualsiasi $X$$X$ non vuoto. Prendo l'insieme delle parti di $X$$X$${\textit {P}}(X)$${\textit {P}}(X)$. La cardinalità di ${\textit {P}}(X)$${\textit {P}}(X)$ è maggiore della cardinalità di $X$$X$.

Con il modello logico non è possibile dimostrare se esiste un insieme con cardinalità intermedia tra il numerabile e il continuo.

L'insieme dei complessi ha la stessa cardinalità di $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$.