Teorema di Cantor

{{InizioTeorema|titolo= di Cantor|number=3.7|anchor=Teorema3_7}}
I punti dell'intervallo aperto <math>(0,1) \in \mathbb R</math> sono un insieme non numerabile.
{{FineTeorema}}

{{InizioDimostrazione}}
Supponiamo per assurdo che l'intervallo <math>(0,1)</math> sia numerabile.
Supponiamo cioè che i numeri dell'intervallo <math>(0,1)</math> possano essere messi in corrispondenza con gli interi.
Considero l'insieme <math>X=\{x_1,x_2,\dots,x_k,\dots,\}</math> con:
<math display="block">x_1=0,c_{11},c_{12},c_{13},\dots,c{1n},\dots</math><math display="block">x_2=0,c_{21},c_{22},c_{23},\dots,c{2n}\dots</math><math display="block">\ldots \ldots \ldots</math><math display="block">x_k=0,c_{k1},c_{k2},c_{k3},\dots,c_{kn},\dots</math>
Se trovo un punto di <math>(0,1)</math> che non appartiene a <math>X</math> significa che la corrispondenza non è biunivoca perchè non è suriettiva.
Costruisco un numero tale che la prima cifra sia diversa dalla prima cifra di <math>x_1</math>, la seconda cifra è diversa dalla seconda cifra di <math>x_2</math>, la <math>k</math>-esima cifra sia diversa dalla <math>k</math>-esima cifra di <math>x_k</math>, e così via. Il numero sarà della forma
<math>x=\gamma_{1},\gamma_{2},\dots,\gamma_{n},\dots</math>, con
<math display="block">\gamma_1 \neq c_{11}, \, \gamma_1 \neq 0, \, \gamma_1 \neq 9</math><math display="block">\gamma_2 \neq c_{22}, \, \gamma_2 \neq 9</math><math display="block">\dots \, \gamma_n \neq c_{nn}, \gamma_n \neq 9, \, \gamma_n \neq 0</math>
Questo numero <math>x</math> è compreso tra 0 e 1. E' diverso da <math>x_1</math> per la prima cifra, differisce da <math>x_2</math> per la seconda cifra, differisce da <math>x_n</math> per l'<math>n</math>-esima cifra. Allora non sta nell'allineamento. Questo è assurdo.
{{FineDimostrazione}}


L'intervallo <math>(0,1)</math> ha una potenza superiore a <math>\mathbb Q</math> e ha la stessa potenza di <math>\mathbb R</math>.
Gli irrazionali (insieme <math>\mathbb R \smallsetminus \mathbb Q</math>) non sono numerabili, perchè se fossero numerabili, anche <math>\mathbb R</math> sarebbe numerabile, essendo l'unione di due insiemi numerabili.

Gli irrazionali hanno la stessa potenza di <math>\mathbb R</math>.

Prendo un insieme qualsiasi <math>X</math> non vuoto. Prendo l'insieme delle parti di <math>X</math><math>\textit{P}(X)</math>. La cardinalità di <math>\textit{P}(X)</math> è maggiore della cardinalità di <math>X</math> (dimostrazione sul testo).

Con il modello logico non è possibile dimostrare se esiste un insieme con cardinalità intermedia tra <math>N</math> intermedio tra il numerabile e il continuo.

L'insieme dei complessi ha la stessa cardinalità di <math>\mathbb R</math>.