Proprietà universale della proiezione canonica

Diremo morfismo un'applicazione che conserva le operazioni.

Teorema (30 Teorema di omomorfismo per gli insiemi)

Sia $F\colon X\to Y$$F\colon X\to Y$ un'applicazione e sia $R_{F}$$R_{F}$ la relazione di equivalenza prima definita, associata a $F$$F$. Sia ora $R$$R$ una qualsiasi relazione di equivalenza su $X$$X$, con questa proprietà: $R\subset R_{F}$$R\subset R_{F}$ (ovvero: quando due elementi sono associati in $R$$R$, lo sono anche in $R_{F}$$R_{F}$). Allora denotata con $\pi _{R}$$\pi _{R}$ la proiezione canonica associata alla relazione di equivalenza $R$$R$, cioè l'applicazione $F(X\to X/R)$$F(X\to X/R)$ che associa a ogni elemento di $X$$X$ la classe $[a]_{R}$$[a]_{R}$, esiste ed è unica l'applicazione ${\bar {F}}$${\bar {F}}$ dall'insieme quoziente $X/R$$X/R$ a $Y$$Y$ tale che sia $F={\bar {F}}\circ \pi _{R}$$F={\bar {F}}\circ \pi _{R}$ (proprietà di fattorizzazione). (passare da X a Y mediante $F$$F$ equivale a passare prima attraverso la relazione canonica e poi attraverso l'applicazione ${\bar {F}}$${\bar {F}}$).

${\bar {F}}$${\bar {F}}$ è tale da rendere commutativo il diagramma: $X\to ^{\pi _{R}}X/R\to ^{\bar {F}}Y=X\to ^{F}Y$$X\to ^{\pi _{R}}X/R\to ^{\bar {F}}Y=X\to ^{F}Y$.

 

Dimostrazione

Consideriamo la corrispondenza o relazione ${\bar {F}}\colon X/R\to Y$${\bar {F}}\colon X/R\to Y$ che associa ad $[a]_{R}$$[a]_{R}$ l'elemento $f(a)$$f(a)$. Bisogna garantire che $f(a)$$f(a)$ sia unico, e cioè che l'applicazione sia ben definita. A priori l'applicazione dipende dall'elemento $a$$a$ che ho scelto per rappresentare la classe. Devo garantire che se $[a]_{R}=[b]_{R}$$[a]_{R}=[b]_{R}$, allora $f(a)=f8b)$$f(a)=f8b)$. Questo deriva dal fatto che $R\subset R_{F}$$R\subset R_{F}$.

Se $R\subset R_{F}$$R\subset R_{F}$, allora $f(a)=f(b)$$f(a)=f(b)$ e dunque l'immagine di $[a]_{R}$$[a]_{R}$ mediante ${\bar {F}}$${\bar {F}}$ non dipende dalla particolare scelta di $a$$a$ come rappresentante.

Pertanto ${\bar {F}}$${\bar {F}}$ è un'applicazione ben definita da $X/R$$X/R$ a $Y$$Y$ e ovviamente per costruzione $F={\bar {F}}\circ \pi _{R}$$F={\bar {F}}\circ \pi _{R}$. $a\to ^{\pi _{x}}[a]_{R}\to ^{\bar {f}}f(a)=a\to ^{f}f(a)$$a\to ^{\pi _{x}}[a]_{R}\to ^{\bar {f}}f(a)=a\to ^{f}f(a)$

Per quanto riguarda l'unicità di ${\bar {F}}$${\bar {F}}$, supponiamo che esista $F'\colon X/R\to Y$$F'\colon X/R\to Y$ tale che $F=F'\circ \pi _{R}$$F=F'\circ \pi _{R}$. Allora $F'([a]_{R})=F(a)$$F'([a]_{R})=F(a)$. Allora $F'(x)={\bar {F}}$$F'(x)={\bar {F}}$ per come ${\bar {F}}$${\bar {F}}$ è definita.

La condizione $R\subset R_{F}$$R\subset R_{F}$ è condizione necessaria e sufficiente affinché il teorema valga.

 

Osservazioni sul teorema

Osservazione (31)

${\bar {F}}$${\bar {F}}$ è iniettiva se e solo se il fatto che due elementi hanno la stessa immagine implica che i due elementi siano uguali, cioè se ${\bar {F}}([a_{R}])={\bar {F}}([b]_{R})\longrightarrow [a]_{R}=[b]_{R}$${\bar {F}}([a_{R}])={\bar {F}}([b]_{R})\longrightarrow [a]_{R}=[b]_{R}$. Ma ${\bar {F}}([a]_{R})=f(a)={\bar {f}}([b]_{R})=f(b)$${\bar {F}}([a]_{R})=f(a)={\bar {f}}([b]_{R})=f(b)$, quindi $f(a)=f(b)\longrightarrow [a]_{R}=[b]_{R}$$f(a)=f(b)\longrightarrow [a]_{R}=[b]_{R}$. Quindi accade che $aR_{f}b\longrightarrow aRb$$aR_{f}b\longrightarrow aRb$, ovvero $R_{F}\subset R$$R_{F}\subset R$, ovvero $R=R_{F}$$R=R_{F}$ (siccome per ipotesi $R\subset R_{f}$$R\subset R_{f}$). L'applicazione risulta iniettiva se e solo se $R=R_{f}$$R=R_{f}$.

 

Osservazione (32)

${\bar {F}}$${\bar {F}}$ è suriettiva se e solo se lo è $F$$F$.

 

Osservazione (33)

${\bar {F}}$${\bar {F}}$ è biettiva se e solo se $R=R_{F}$$R=R_{F}$ e $F$$F$ è suriettiva.