Teoria di Galois

Definizione del gruppo di Galois

Definizione 2.1

Sia $M\supseteq K$$M\supseteq K$ un'estensione di campi, il gruppo di Galois di $M$$M$ su $K$$K$ è definito come

$$G={\mathcal {G}}(M/K):=\{g:M\to M\,\,t.c.\,g\,automorfismo,\,g_{|_{K}}=1_{K}\}$$

$$G={\mathcal {G}}(M/K):=\{g:M\to M\,\,t.c.\,g\,automorfismo,\,g_{|_{K}}=1_{K}\}$$

 

Esempio 2.1

Sia $K=\mathbb {Q}$$K=\mathbb {Q}$, e $M=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$$M=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$, allora $M\supseteq K$$M\supseteq K$ è un'estensione algebrica semplice, perché se pongo $\alpha ={\sqrt[{3}]{2}}$$\alpha ={\sqrt[{3}]{2}}$, $\alpha$$\alpha$ è radice del polinomio $f(x)=x^{3}-2\in \mathbb {Q} [x]$$f(x)=x^{3}-2\in \mathbb {Q} [x]$. $f$$f$ è monico e irriducibile in $\mathbb {Q} [x]$$\mathbb {Q} [x]$, e in particolare è polinomio minimo di $\alpha$$\alpha$. Allora gli elementi di $M$$M$ si scrivono come

$$\{a_{0}+a_{1}\alpha +a_{2}\alpha ^{2},\,a_{i}\in \mathbb {Q} \}.$$

$$\{a_{0}+a_{1}\alpha +a_{2}\alpha ^{2},\,a_{i}\in \mathbb {Q} \}.$$

Sia $g\in G={\mathcal {G}}(M/K)$$g\in G={\mathcal {G}}(M/K)$, allora dato un generico elemento $p=a_{0}+a_{1}\alpha +a_{2}\alpha ^{2}$$p=a_{0}+a_{1}\alpha +a_{2}\alpha ^{2}$ in $M$$M$ si ha:

$$(a_{0}+a_{1}\alpha +a_{2}\alpha ^{2})^{g}=a_{0}^{g}+a_{1}^{g}\alpha ^{g}+a_{2}^{g}(\alpha ^{g})^{2}$$

$$(a_{0}+a_{1}\alpha +a_{2}\alpha ^{2})^{g}=a_{0}^{g}+a_{1}^{g}\alpha ^{g}+a_{2}^{g}(\alpha ^{g})^{2}$$

e siccome sugli elementi di $K$$K$$g$$g$ coincide con l'identità:

$$=a_{0}+a_{1}\alpha ^{g}+a_{2}(\alpha ^{g})^{2}$$

$$=a_{0}+a_{1}\alpha ^{g}+a_{2}(\alpha ^{g})^{2}$$

e quindi l'immagine $p^{g}$$p^{g}$ è determinata una volta stabilita l'immagine di $\alpha$$\alpha$ mediante $g$$g$. Inoltre $f(\alpha )=0$$f(\alpha )=0$, e applicando $g$$g$ a quest'uguaglianza si ha

$$0=0^{g}=(f(\alpha ))^{g}=f(\alpha ^{g})$$

$$0=0^{g}=(f(\alpha ))^{g}=f(\alpha ^{g})$$

e quindi $\alpha ^{g}$$\alpha ^{g}$ è ancora una radice di $f^{g}$$f^{g}$.
Le radici di $f(x)$$f(x)$ sono $\alpha ,\alpha \omega ,\alpha \omega ^{2}$$\alpha ,\alpha \omega ,\alpha \omega ^{2}$ con $\omega$$\omega$ radice terza dell'unità diversa da $1$$1$, per esempio

$$\omega =\cos(2\pi /3)+i\sin(2\pi /3)$$

$$\omega =\cos(2\pi /3)+i\sin(2\pi /3)$$

$$\omega ^{2}=\cos(4\pi /3)+i\sin(4\pi /3)$$

$$\omega ^{2}=\cos(4\pi /3)+i\sin(4\pi /3)$$

e $\omega ,\omega ^{2}$$\omega ,\omega ^{2}$ stanno in $\mathbb {C}$$\mathbb {C}$ ma non in $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$.
Ora $M\subset \mathbb {R}$$M\subset \mathbb {R}$, quindi $\alpha ^{g}\neq \alpha \omega ,\alpha ^{g}\neq \alpha \omega ^{2}$$\alpha ^{g}\neq \alpha \omega ,\alpha ^{g}\neq \alpha \omega ^{2}$. L'unica possibilita'e'$\alpha ^{g}=\alpha$$\alpha ^{g}=\alpha$, pertanto $g$$g$ fissa ogni elemento di $M$$M$, e $G=\{1\}$$G=\{1\}$.

 

Fatto: sia $M\supseteq K$$M\supseteq K$ un'estensione di campi, $f(x)\in K[x]$$f(x)\in K[x]$ un polinomio monico e irriducibile, e supponiamo che $\alpha \in M$$\alpha \in M$ sia una radice di $f(x)$$f(x)$ (dunque $f(x)$$f(x)$ è polinomio minimo di $\alpha$$\alpha$ su $K$$K$).

Sia $g:M\to M$$g:M\to M$ un automorfismo di campi con $g_{|_{K}}=1_{K}$$g_{|_{K}}=1_{K}$, allora $\alpha ^{g}$$\alpha ^{g}$ è radice di $f(x)$$f(x)$ (dall'uguaglianza $f(\alpha )=0$$f(\alpha )=0$ ottengo $0=(f(\alpha ))^{g}=f(\alpha ^{g})$$0=(f(\alpha ))^{g}=f(\alpha ^{g})$).

Insiemi L e H

Sia $M\supseteq K$$M\supseteq K$ un'estensione di campi, e sia $G={\mathcal {G}}(M/K)$$G={\mathcal {G}}(M/K)$, definiamo i due insiemi seguenti:

• ${\mathcal {L}}$${\mathcal {L}}$ insieme dei campi intermedi tra $K$$K$ e $M$$M$, cioè
  $${\mathcal {L}}=\{L\;{\textrm {campo}}\,t.c.\;K\subseteq L\subseteq M\}$$

  $${\mathcal {L}}=\{L\;{\textrm {campo}}\,t.c.\;K\subseteq L\subseteq M\}$$

• ${\mathcal {H}}$${\mathcal {H}}$ insieme dei sottogruppi di $G$$G$:
  $${\mathcal {H}}=\{H:H\leq G\}$$

  $${\mathcal {H}}=\{H:H\leq G\}$$

Definizioni delle applicazioni 'primo'

Definisco due applicazioni, una da ${\mathcal {L}}$${\mathcal {L}}$ in ${\mathcal {H}}$${\mathcal {H}}$ e l'altra da ${\mathcal {H}}$${\mathcal {H}}$ a ${\mathcal {L}}$${\mathcal {L}}$, che indichiamo entrambe con 'primo' (apice $\prime$$\prime$).

• L'applicazione $':{\mathcal {L}}\to {\mathcal {H}}$$':{\mathcal {L}}\to {\mathcal {H}}$, è tale che
  $$L\mapsto L':=\{g\in G\,t.c.\,\alpha ^{g}=\alpha ,\;\forall \alpha \in L\}$$

  $$L\mapsto L':=\{g\in G\,t.c.\,\alpha ^{g}=\alpha ,\;\forall \alpha \in L\}$$

In altre parole, l'immagine di $L$$L$ è ${\mathcal {G}}(M/L)$${\mathcal {G}}(M/L)$.

• La mappa $':{\mathcal {H}}\to {\mathcal {L}}$$':{\mathcal {H}}\to {\mathcal {L}}$, è tale che
  $$H\mapsto H'=\{\alpha \in M\,t.c.\,\alpha ^{h}=\alpha ,\;\forall h\in H\}={\rm {{Fix}(H)}}$$

  $$H\mapsto H'=\{\alpha \in M\,t.c.\,\alpha ^{h}=\alpha ,\;\forall h\in H\}={\rm {{Fix}(H)}}$$

Esercizio 2.1

Verificare che le due mappe sono ben definite, cioè che $H'\in {\mathcal {L}}$$H'\in {\mathcal {L}}$ e $L'\in {\mathcal {H}}$$L'\in {\mathcal {H}}$ per $H\in {\mathcal {H}},L\in {\mathcal {L}}$$H\in {\mathcal {H}},L\in {\mathcal {L}}$.

 

Casi particolari: Vediamo come agiscono le mappe 'primo' su $M$$M$, $K$$K$, $1$$1$ e $G$$G$ (qui $1$$1$e' il sottogruppo banale di $G$$G$).

• $M'$$M'$ è il gruppo di Galois ${\mathcal {G}}(M/M)$${\mathcal {G}}(M/M)$ che contiene solo l'identità.
• $K'$$K'$ è tutto $G={\mathcal {G}}(M/K)$$G={\mathcal {G}}(M/K)$.
• $1'=M$$1'=M$ (insieme degli elementi fissati da 1).
• Infine
  $$G'={\rm {{Fix}(G)=\{\alpha \in M\,t.c.\,\alpha ^{g}=\alpha \forall g\in G\}}}$$

  $$G'={\rm {{Fix}(G)=\{\alpha \in M\,t.c.\,\alpha ^{g}=\alpha \forall g\in G\}}}$$
  è un campo $K_{0}$$K_{0}$ che contiene $K$$K$, ma in generale è diverso da $K$$K$.

Definizione 2.2

Diciamo che l'estensione $M\supseteq K$$M\supseteq K$ è normale se $G'=K$$G'=K$ (ovvero, per ogni $\alpha \in M\smallsetminus K$$\alpha \in M\smallsetminus K$, esiste $g\in G$$g\in G$ tale che $\alpha ^{g}\neq \alpha$$\alpha ^{g}\neq \alpha$).

 

Proprietà delle applicazioni 'primo'

Siano $X,Y$$X,Y$ oggetti entrambi in ${\mathcal {L}}$${\mathcal {L}}$ o entrambi in ${\mathcal {H}}$${\mathcal {H}}$. Allora valgono queste due proprietà:

1. Se $X\subseteq Y$$X\subseteq Y$, allora $X'\supseteq Y'$$X'\supseteq Y'$.
2. $X''\supseteq X$$X''\supseteq X$.

Verifico la prima proprietà: siano $X,Y\in {\mathcal {L}}$$X,Y\in {\mathcal {L}}$, siano $K\subseteq L\subseteq T\subseteq M$$K\subseteq L\subseteq T\subseteq M$ estensioni di campo. $L\subseteq T$$L\subseteq T$, e mostro che $L'\supseteq T'$$L'\supseteq T'$ dove $L'={\mathcal {G}}(M/L)$$L'={\mathcal {G}}(M/L)$, $T'={\mathcal {G}}(L/T)$$T'={\mathcal {G}}(L/T)$.

Prendo un elemento $t\in T'$$t\in T'$, mostro che $t'_{|_{L}}=1_{M}$$t'_{|_{L}}=1_{M}$. Se $\alpha \in L$$\alpha \in L$, siccome $L\subseteq T$$L\subseteq T$, $\alpha \in T$$\alpha \in T$, quindi $\alpha ^{t}=\alpha$$\alpha ^{t}=\alpha$, cioè vale la proprietà da dimostrare.

Dalle proprietà 1 e 2 deduco in maniera del tutto formale che per ogni oggetto $X\in {\mathcal {L}}\cup {\mathcal {H}}$$X\in {\mathcal {L}}\cup {\mathcal {H}}$, $X'''=X'$$X'''=X'$.

Dimostrazione

INCLUSIONE 1: Dalla proprietà 2 segue che $X''\supset X$$X''\supset X$, e quindi applicando la proprietà 1, $X'''\subset X'$$X'''\subset X'$.

INCLUSIONE 2: Posso scrivere $X'''=(X')''$$X'''=(X')''$, e per la proprietà 2 $(X')''\supset X'$$(X')''\supset X'$, quindi $X'''\supset X'$$X'''\supset X'$.

 

Osservazione 2.1

Equivalentemente, posso dire che l'estensione $M\supseteq K$$M\supseteq K$ è normale se $K''=K$$K''=K$ infatti, per quanto visto prima, l'estensione e' normale se $G'=K$$G'=K$. Ma $G=K'$$G=K'$ quindi ottengo che l'estensione e' normale se $K=K''$$K=K''$.

 

Proposizione 2.1

Sia $M\supseteq K$$M\supseteq K$ un'estensione di campi. Allora $M\supseteq K''$$M\supseteq K''$ è un'estensione normale, e tra i gruppi di Galois vale la relazione ${\mathcal {G}}(M/K)={\mathcal {G}}(M/K'')$${\mathcal {G}}(M/K)={\mathcal {G}}(M/K'')$.

 

(Nell'esempio iniziale, in cui $K=\mathbb {Q}$$K=\mathbb {Q}$ e $M=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$$M=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$, $G={\mathcal {G}}(M/K)=1$$G={\mathcal {G}}(M/K)=1$, allora $G'=K''={\rm {{Fix}(1)=M}}$$G'=K''={\rm {{Fix}(1)=M}}$. Quindi possiamo 'rimediare' alla non normalita' di una estensione rimpiazzando $K$$K$ con $K''$$K''$. Sebbene questo puo' portarci a una banalita', come in questo esempio).

Dimostrazione

Sappiamo che $K'''=K'$$K'''=K'$, allora $(K''')'=(K')'$$(K''')'=(K')'$, cioè $(K'')''=K''$$(K'')''=K''$, e quindi $M\supseteq K''$$M\supseteq K''$ è normale.

Mostriamo che ${\mathcal {G}}(M/K)={\mathcal {G}}(M/K'')$${\mathcal {G}}(M/K)={\mathcal {G}}(M/K'')$.

Siano $G={\mathcal {G}}(M/K)$$G={\mathcal {G}}(M/K)$ e ${\bar {G}}={\mathcal {G}}(M/K'')$${\bar {G}}={\mathcal {G}}(M/K'')$.

INCLUSIONE 1: $G\subset {\bar {G}}$$G\subset {\bar {G}}$. Sia ${\tilde {g}}\in G$${\tilde {g}}\in G$, mostro che ${\tilde {g}}$${\tilde {g}}$ fissa $K''$$K''$ elemento per elemento.

$$K''=G'=\{\alpha \in M\,t.c.\,\alpha ^{g}=\alpha \forall g\in G\}$$

$$K''=G'=\{\alpha \in M\,t.c.\,\alpha ^{g}=\alpha \forall g\in G\}$$

Preso $\alpha \in K''$$\alpha \in K''$, siccome $K''\subset M$$K''\subset M$, allora $\alpha ^{\tilde {g}}=\alpha$$\alpha ^{\tilde {g}}=\alpha$, da cui ${\tilde {g}}\in {\bar {G}}$${\tilde {g}}\in {\bar {G}}$.

INCLUSIONE 2: $G\supset {\bar {G}}$$G\supset {\bar {G}}$. Sia ${\hat {g}}\in {\bar {G}}$${\hat {g}}\in {\bar {G}}$; siccome per la proprietà 2 $K''\supset K$$K''\supset K$, preso $\beta \in K$$\beta \in K$ si ha $\beta \in K''$$\beta \in K''$, e quindi $\beta ^{\hat {g}}=\beta$$\beta ^{\hat {g}}=\beta$, cioè ${\hat {g}}\in G$${\hat {g}}\in G$.

 

Riepilogo

Sia $L\supseteq K$$L\supseteq K$ un'estensione di campi, allora possiamo definire due applicazioni:

$$':{\mathcal {L}}\to {\mathcal {H}}\,t.c.\,L\in {\mathcal {L}}\mapsto L'={\mathcal {G}}(M/L)$$

$$':{\mathcal {L}}\to {\mathcal {H}}\,t.c.\,L\in {\mathcal {L}}\mapsto L'={\mathcal {G}}(M/L)$$

$$'\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {L}}\,t.c.\,H\in {\mathcal {H}}\mapsto H'={\rm {{Fix}(H)}}$$

$$'\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {L}}\,t.c.\,H\in {\mathcal {H}}\mapsto H'={\rm {{Fix}(H)}}$$

Se $X,Y\in {\mathcal {L}}$$X,Y\in {\mathcal {L}}$ o $X,Y\in {\mathcal {L}}'$$X,Y\in {\mathcal {L}}'$, allora

• $X\subseteq Y$$X\subseteq Y$ implica $Y'\subseteq X'$$Y'\subseteq X'$
• $X''\supseteq X$$X''\supseteq X$

da cui discende la proprietà $X'''=X'$$X'''=X'$.

Un'estensione è normale se $G'=K$$G'=K$, o equivalentemente se $K''=K$$K''=K$.

Oggetti chiusi

Definizione 2.3

Un oggetto $X\in {\mathcal {L}}\cup {\mathcal {H}}$$X\in {\mathcal {L}}\cup {\mathcal {H}}$ è chiuso se $X''=X$$X''=X$.

 

Osservazione 2.2

Essere chiuso significa "essere il primo" di qualcosa, infatti se $X$$X$ è chiuso, $X=X''=(X')'$$X=X''=(X')'$, viceversa, se $X=Y'$$X=Y'$, allora $X'=(Y')'=Y''$$X'=(Y')'=Y''$ quindi $X''=Y'''=Y'=X$$X''=Y'''=Y'=X$, da cui $X''=X$$X''=X$.

 

Dato $X\in {\mathcal {L}}\cup {\mathcal {H}}$$X\in {\mathcal {L}}\cup {\mathcal {H}}$, chiamo $X''$$X''$ la chiusura di $X$$X$: essa è il più piccolo oggetto chiuso che contiene $X$$X$. Infatti se $X\subseteq Y$$X\subseteq Y$, con $Y$$Y$ chiuso, allora $Y'\subseteq X'$$Y'\subseteq X'$ quindi $X''\subseteq Y''=Y$$X''\subseteq Y''=Y$, cioè $X''$$X''$ è contenuto in ogni chiuso $Y$$Y$ che contiene $X$$X$.

Teorema 2.1 (Corrispondenza di Galois)

Sia $M\supseteq K$$M\supseteq K$ un'estensione di campi, e $G={\mathcal {G}}(M/K)$$G={\mathcal {G}}(M/K)$. Le applicazioni 'primo' stabiliscono una corrispondenza biunivoca tra oggetti chiusi di ${\mathcal {L}}$${\mathcal {L}}$ e di ${\mathcal {H}}$${\mathcal {H}}$.

 

Dimostrazione

Se $X\in {\mathcal {H}}\cup {\mathcal {L}}$$X\in {\mathcal {H}}\cup {\mathcal {L}}$ è un oggetto chiuso, allora $X\mapsto X'\mapsto X''=X$$X\mapsto X'\mapsto X''=X$.

 

Osservazione 2.3

Queste osservazioni valgono anche più in generale, siano ${\mathcal {A}}$$\mathcal A$ e ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$ due insiemi parzialmente ordinati e supponiamo che si possano definire due mappe 'primo', una $:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$$:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ e l'altra $:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {A}}$$:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {A}}$, che soddisfano le due proprietà: dati due oggetti $X,Y\in {\mathcal {A}}\cup {\mathcal {B}}$$X,Y\in {\mathcal {A}}\cup {\mathcal {B}}$, $X\supseteq Y$$X\supseteq Y$ implica $X'\subseteq Y'$$X'\subseteq Y'$ e $X''\supseteq X$$X''\supseteq X$.

Ad esempio, Sia ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}$${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}$ insieme dei sottogruppi di un gruppo $G$$G$, e $':{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}$$':{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}$ l'applicazione che manda $H$$H$ nel suo centralizzante in $G$$G$, $C_{G}(H)$$C_{G}(H)$.