Stabilità e normalità

Stabilità

Definizione 2.4

Siano $K\subseteq L\subseteq M$$K\subseteq L\subseteq M$ estensioni di campi, e sia $G={\mathcal {G}}(M/K)$$G={\mathcal {G}}(M/K)$, allora $L$$L$ è un campo intermedio stabile (relativamente a $M$$M$ e $K$$K$) se succede che $L^{g}\subseteq L,\;\forall g\in G$$L^{g}\subseteq L,\;\forall g\in G$.

 

Osservazione 2.9

Un campo intermedio $L$$L$ è stabile se e solo se $L^{g}=L,\;\forall g\in G$$L^{g}=L,\;\forall g\in G$.

Infatti, se $L^{g}=L,\;\forall g\in G$$L^{g}=L,\;\forall g\in G$, è chiaro che $L$$L$ è stabile.

Viceversa, mostro che se $L$$L$ è stabile, si ha $L\subseteq L^{g}$$L\subseteq L^{g}$. Prendo $g\in G,l\in L$$g\in G,l\in L$, allora siccome $L$$L$ è stabile e la relazione vale per ogni $g$$g$, deve valere anche per $g^{-1}$$g^{-1}$ e quindi $l^{g^{-1}}\in L$$l^{g^{-1}}\in L$, e dunque, applicando $g$$g$, $(l^{g^{-1}})^{g}=l\in L^{g}$$(l^{g^{-1}})^{g}=l\in L^{g}$, cioè $L\subseteq L^{g}$$L\subseteq L^{g}$.

 

Corrispondenza tra campi stabili e sottogruppi normali

Proposizione 2.2

Sia $M\supseteq K$$M\supseteq K$ un'estensione di campi, e $G={\mathcal {G}}(M/K)$$G={\mathcal {G}}(M/K)$. Allora,

1. se $L$$L$ è un campo intermedio stabile, $L'$$L'$ è un sottogruppo normale in $G$$G$, ovvero $L'={\mathcal {G}}(M/L)$$L'={\mathcal {G}}(M/L)$ è normale in ${\mathcal {G}}(M/K)$${\mathcal {G}}(M/K)$.
2. se $H$$H$ è un sottogruppo normale di $G$$G$, allora $H'={\rm {{Fix}(H)}}$$H'={\rm {{Fix}(H)}}$ è un campo intermedio stabile.

 

Dimostrazione

1. Per ipotesi, $L$$L$ è un campo intermedio stabile, e mostro che $L'$$L'$ è normale in $G$$G$, cioè, applicando la definizione, mostro che dati $h\in L',g\in G$$h\in L',g\in G$, $g^{-1}hg\in L'$$g^{-1}hg\in L'$; equivalentemente mostro che $g^{-1}hg$$g^{-1}hg$ fissa $L$$L$ elemento per elemento. Prendo $l\in L$$l\in L$, e calcolo
   $$l^{g^{-1}hg}=(l^{g^{-1}})^{hg}$$

   $$l^{g^{-1}hg}=(l^{g^{-1}})^{hg}$$
   ma $l^{g^{-1}}\in L$$l^{g^{-1}}\in L$ e $h$$h$ fissa $L$$L$ elemento per elemento, quindi
   $$=l^{g^{-1}*g}=l$$

   $$=l^{g^{-1}*g}=l$$
   e quindi la tesi è vera.
2. Sia $H$$H$ un sottogruppo normale di $G$$G$, allora mostro che $H'={\rm {{Fix}(H)}}$$H'={\rm {{Fix}(H)}}$ è un campo intermedio stabile, ovvero che $(H')^{g}\subseteq H'$$(H')^{g}\subseteq H'$ per ogni $g\in G$$g\in G$. Considero $\alpha \in H'$$\alpha \in H'$ e mostro che, fissato arbitrariamente $g\in G$$g\in G$, si ha $\alpha ^{g}\in {\rm {{Fix}(H)}}$$\alpha ^{g}\in {\rm {{Fix}(H)}}$.Siccome $H$$H$ è normale, si ha $gh=kg$$gh=kg$ per un certo $k\in H$$k\in H$. Allora $\alpha ^{gh}=\alpha ^{kg}=\alpha ^{g}$$\alpha ^{gh}=\alpha ^{kg}=\alpha ^{g}$ (infatti $k\in H\longrightarrow \alpha ^{k}=\alpha$$k\in H\longrightarrow \alpha ^{k}=\alpha$), e quindi $\alpha ^{g}\in {\rm {{Fix}(H)}}$$\alpha ^{g}\in {\rm {{Fix}(H)}}$.

 

La stabilità di $L$$L$ è legata alla normalità dell'estensione $L\supseteq K$$L\supseteq K$.

Per la dimostrazione della prossima proposizione è necessario il seguente lemma:

Lemma 2.6

Sia $M\supseteq K$$M\supseteq K$ un'estensione di campi normale, e sia $f(x)\in K[x]$$f(x)\in K[x]$ un polinomio monico e irriducibile. Se $f(x)$$f(x)$ ammette una radice in $M$$M$, allora si spezza in $M[x]$$M[x]$ in prodotto di fattori lineari distinti.

 

Dimostrazione

Sia $\alpha \in M$$\alpha \in M$ una radice di $f(x)$$f(x)$, che esiste per ipotesi. Sia $G={\mathcal {G}}(M/K)$$G={\mathcal {G}}(M/K)$, e $A$$A$ l'insieme delle immagini distinte di $\alpha$$\alpha$ sotto l'azione di $G$$G$. Se $\beta$$\beta$ è un elemento di $A$$A$, allora sarà della forma $\alpha ^{g}$$\alpha ^{g}$ per $g\in G$$g\in G$. Sappiamo che $\beta$$\beta$ è radice di $f(x)$$f(x)$, e quindi $A$$A$ è finito, e ha cardinalità $r\leq {\rm {{gr}(f(x))}}$$r\leq {\rm {{gr}(f(x))}}$. Scriviamo $A=\{\alpha _{1}=\alpha ,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{r}\}$$A=\{\alpha _{1}=\alpha ,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{r}\}$.

Consideriamo il polinomio $p(x)=(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})*\dots *(x-\alpha _{r})\in M[x]$$p(x)=(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})*\dots *(x-\alpha _{r})\in M[x]$. I coefficienti di $p(x)$$p(x)$ sono le funzioni simmetriche elementari in $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}$$\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}$, definite come segue

$${\begin{aligned}\sigma _{0}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})&=1\\\sigma _{1}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})&=\sum _{j}\alpha _{j}\\\sigma _{2}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})&=\sum _{j_{1}<j_{2}}\alpha _{j_{1}}*\alpha _{j_{2}}\\\dots &\dots &\dots \\\sigma _{i}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})&=\sum _{j_{1}<j_{2}<\dots <j_{i}}\alpha _{j_{1}}*\alpha _{j_{2}}*\dots *\alpha _{j_{i}}\\\dots &\dots &\dots \\\sigma _{r}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})&=\alpha _{1}*\alpha _{2}*\dots *\alpha _{r}\\\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}\sigma _{0}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})&=1\\\sigma _{1}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})&=\sum _{j}\alpha _{j}\\\sigma _{2}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})&=\sum _{j_{1}<j_{2}}\alpha _{j_{1}}*\alpha _{j_{2}}\\\dots &\dots &\dots \\\sigma _{i}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})&=\sum _{j_{1}<j_{2}<\dots <j_{i}}\alpha _{j_{1}}*\alpha _{j_{2}}*\dots *\alpha _{j_{i}}\\\dots &\dots &\dots \\\sigma _{r}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})&=\alpha _{1}*\alpha _{2}*\dots *\alpha _{r}\\\end{aligned}}$$

Quindi

$$p(x)=\sum _{h=0}^{r}(-1)^{h}\sigma _{h}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})x^{r-h}$$

$$p(x)=\sum _{h=0}^{r}(-1)^{h}\sigma _{h}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})x^{r-h}$$

Le funzioni elementari sono invarianti se permuto $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}$$\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}$. D'altra parte gli elementi di $G$$G$ permutano $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}$$\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}$ e quindi fissano i coefficienti di $p(x)$$p(x)$. $M\supseteq K$$M\supseteq K$ è normale per ipotesi, allora $p(x)$$p(x)$ è un polinomio a coefficienti in $K$$K$ (i coefficienti stanno in $G'={\rm {{Fix}G}}$$G'={\rm {{Fix}G}}$). D'altra parte $p(\alpha )=0$$p(\alpha )=0$, e $f(x)$$f(x)$, essendo irriducibile, è il polinomio minimo di $\alpha$$\alpha$. Allora $f(x)\mid p(x)$$f(x)\mid p(x)$. In particolare ${\rm {{gr}(p(x))=r\geq {\rm {{gr}(f(x))}}}}$${\rm {{gr}(p(x))=r\geq {\rm {{gr}(f(x))}}}}$, e siccome si aveva $r\leq {\rm {{gr}(f(x))}}$$r\leq {\rm {{gr}(f(x))}}$, segue che $r={\rm {{gr}(f(x))}}$$r={\rm {{gr}(f(x))}}$. Poi $f(x)$$f(x)$ e $p(x)$$p(x)$ sono entrambi monici dunque $p(x)=f(x)$$p(x)=f(x)$, cioè $f(x)$$f(x)$ si spezza su $M$$M$.

 

Proposizione 2.3

1. supponiamo che $M\supseteq L\supseteq K$$M\supseteq L\supseteq K$ siano estensioni di campi, con $M\supseteq K$$M\supseteq K$ normale e $L$$L$ stabile. Allora l'estensione $L\supseteq K$$L\supseteq K$ è normale.
2. Siano $M\supseteq L\supseteq K$$M\supseteq L\supseteq K$ estensioni di campi, e supponiamo che $L\supseteq K$$L\supseteq K$ sia normale e algebrica. Allora $L$$L$ è stabile.

 

Dimostrazione

1. Considero $\alpha \in L\smallsetminus K$$\alpha \in L\smallsetminus K$, e mostro che esiste $h\in {\mathcal {G}}(L/K)$$h\in {\mathcal {G}}(L/K)$ tale che $\alpha ^{h}\neq \alpha$$\alpha ^{h}\neq \alpha$. Siccome $M\supseteq K$$M\supseteq K$ è normale e $\alpha$$\alpha$ sta in $M$$M$, esiste $g\in G$$g\in G$ tale che $\alpha ^{g}\neq \alpha$$\alpha ^{g}\neq \alpha$. Se considero $h=g_{|_{L}}:L\to L^{g}=L$$h=g_{|_{L}}:L\to L^{g}=L$, ($L^{g}=L$$L^{g}=L$ perché $L$$L$ è stabile), allora $h\in {\mathcal {G}}(L/K)$$h\in {\mathcal {G}}(L/K)$.
2. Per la seconda parte è necessario il lemma dimostrato prima.Mostro che dato $\alpha \in L$$\alpha \in L$ e $g\in {\mathcal {G}}(M/K)$$g\in {\mathcal {G}}(M/K)$, allora $\alpha ^{g}\in L$$\alpha ^{g}\in L$. Per ipotesi $\alpha \in L$$\alpha \in L$ è algebrico su $K$$K$, allora posso considerare il polinomio minimo $f(x)\in K[x]$$f(x)\in K[x]$ di $\alpha$$\alpha$ su $K$$K$.Per il lemma precedente, $f(x)$$f(x)$ si spezza in fattori lineari distinti in $L[x]$$L[x]$.D'altra parte, $\alpha ^{g}$$\alpha ^{g}$ è una radice di $f$$f$, e quindi $\alpha ^{g}\in L$$\alpha ^{g}\in L$.

 

Sia $M\supseteq K$$M\supseteq K$, $L$$L$ un campo intermedio stabile, allora possiamo considerare l'applicazione $\phi :{\mathcal {G}}(M/K)\to {\mathcal {G}}(L/K)$$\phi :{\mathcal {G}}(M/K)\to {\mathcal {G}}(L/K)$, tale che $g\mapsto g_{|_{L}}$$g\mapsto g_{|_{L}}$. $\phi$$\phi$ è un omomorfismo di gruppi, con

$$\ker \phi =L'={\mathcal {G}}(M/L)$$

$$\ker \phi =L'={\mathcal {G}}(M/L)$$

$\mathop {Im} \phi$$\mathop {Im} \phi$ è l'isieme degli automorfismi di $L$$L$ su $K$$K$ (cioè che fissano $K$$K$ elemento per elemento), che si sollevano ad automorfismi di $M$$M$ su $K$$K$.

Dalle proposizioni precedenti si ha il seguente risultato:

Proposizione 2.4

Supponiamo che $M\supseteq K$$M\supseteq K$ sia normale e di grado finito. Allora $L$$L$ campo intermedio è stabile se e solo se $L\supseteq K$$L\supseteq K$ è normale. Inoltre l'omomorfismo $\phi :{\mathcal {G}}(M/K)\to {\mathcal {G}}(L/K)$$\phi :{\mathcal {G}}(M/K)\to {\mathcal {G}}(L/K)$ è suriettivo.

 

Dimostrazione

Osservo in particolare che il fatto che $M\supseteq K$$M\supseteq K$ sia di grado finito implica che $L\supseteq K$$L\supseteq K$ è algebrica, e quindi il "se e solo se" segue dalla proposizione precedente.

Per quanto riguarda la suriettività di $\phi$$\phi$, per il teorema fondamentale

$$o({\mathcal {G}}(L/K))=|L:K|=|K':L'|=\vert {\frac {{\mathcal {G}}(M:K)}{{\mathcal {G}}(M:L)}}\vert ={\frac {o({\mathcal {G}}(M/K))}{o({\mathcal {G}}(M/L))}}={\frac {o({\mathcal {G}}(M/K))}{\ker \phi }}.$$

$$o({\mathcal {G}}(L/K))=|L:K|=|K':L'|=\vert {\frac {{\mathcal {G}}(M:K)}{{\mathcal {G}}(M:L)}}\vert ={\frac {o({\mathcal {G}}(M/K))}{o({\mathcal {G}}(M/L))}}={\frac {o({\mathcal {G}}(M/K))}{\ker \phi }}.$$

 

Possiamo aggiungere al teorema fondamentale della teoria di Galois anche il seguente fatto:

Teorema 2.3

Sia $L$$L$ un campo intermedio tra $K$$K$ e $M$$M$, allora $L\supseteq K$$L\supseteq K$ è un'estensione normale se e solo se $L'$$L'$ è normale in $G$$G$, e in tal caso $G/L'$$G/L'$ è isomorfo a ${\mathcal {G}}(L/K)$${\mathcal {G}}(L/K)$.

 

Dimostrazione

Va giustificato solo il fatto che $L\supseteq K$$L\supseteq K$ è normale se e solo se $L'$$L'$ è normale in $G$$G$.

Dalla "conseguenza" segue che $L$$L$ è stabile, allora $L'$$L'$ è normale in $G$$G$ per la relazione tra la normalità di sottogruppi e la stabilità dei campi intermedi. Viceversa, $L'$$L'$ normale in $G$$G$ implica che $L''$$L''$ è stabile, ma siccome $L$$L$e' chiuso si ha $L''=L$$L''=L$ e quindi $L$$L$ è stabile.