Stabilità e normalità

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Stabilità[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 2.4

Siano $K\subseteq L\subseteq M$ $K\subseteq L\subseteq M$ estensioni di campi, e sia $G={\mathcal {G}}(M/K)$ $G={\mathcal {G}}(M/K)$ , allora $L$ $L$ è un campo intermedio stabile (relativamente a $M$ $M$ e $K$ $K$ ) se succede che $L^{g}\subseteq L,\;\forall g\in G$ $L^{g}\subseteq L,\;\forall g\in G$ .

Osservazione 2.9

Un campo intermedio $L$ $L$ è stabile se e solo se $L^{g}=L,\;\forall g\in G$ $L^{g}=L,\;\forall g\in G$ .

Infatti, se $L^{g}=L,\;\forall g\in G$ $L^{g}=L,\;\forall g\in G$ , è chiaro che $L$ $L$ è stabile.

Viceversa, mostro che se $L$ $L$ è stabile, si ha $L\subseteq L^{g}$ $L\subseteq L^{g}$ . Prendo $g\in G,l\in L$ $g\in G,l\in L$ , allora siccome $L$ $L$ è stabile e la relazione vale per ogni $g$ $g$ , deve valere anche per $g^{-1}$ $g^{-1}$ e quindi $l^{g^{-1}}\in L$ $l^{g^{-1}}\in L$ , e dunque, applicando $g$ $g$ , $(l^{g^{-1}})^{g}=l\in L^{g}$ $(l^{g^{-1}})^{g}=l\in L^{g}$ , cioè $L\subseteq L^{g}$ $L\subseteq L^{g}$ .

Corrispondenza tra campi stabili e sottogruppi normali[modifica | modifica wikitesto]

Proposizione 2.2

Sia $M\supseteq K$ $M\supseteq K$ un'estensione di campi, e $G={\mathcal {G}}(M/K)$ $G={\mathcal {G}}(M/K)$ . Allora,

se $L$ $L$ è un campo intermedio stabile, $L'$ $L'$ è un sottogruppo normale in $G$ $G$ , ovvero $L'={\mathcal {G}}(M/L)$ $L'={\mathcal {G}}(M/L)$ è normale in ${\mathcal {G}}(M/K)$ ${\mathcal {G}}(M/K)$ .
se $H$ $H$ è un sottogruppo normale di $G$ $G$ , allora $H'={\rm {{Fix}(H)}}$ $H'={\rm {{Fix}(H)}}$ è un campo intermedio stabile.

Dimostrazione

Per ipotesi, $L$ $L$ è un campo intermedio stabile, e mostro che $L'$ $L'$ è normale in $G$ $G$ , cioè, applicando la definizione, mostro che dati $h\in L',g\in G$ $h\in L',g\in G$ , $g^{-1}hg\in L'$ $g^{-1}hg\in L'$ ; equivalentemente mostro che $g^{-1}hg$ $g^{-1}hg$ fissa $L$ $L$ elemento per elemento. Prendo $l\in L$ $l\in L$ , e calcolo
$l^{g^{-1}hg}=(l^{g^{-1}})^{hg}$
$l^{g^{-1}hg}=(l^{g^{-1}})^{hg}$
ma $l^{g^{-1}}\in L$ $l^{g^{-1}}\in L$ e $h$ $h$ fissa $L$ $L$ elemento per elemento, quindi
$=l^{g^{-1}*g}=l$
$=l^{g^{-1}*g}=l$
e quindi la tesi è vera.
Sia $H$ $H$ un sottogruppo normale di $G$ $G$ , allora mostro che $H'={\rm {{Fix}(H)}}$ $H'={\rm {{Fix}(H)}}$ è un campo intermedio stabile, ovvero che $(H')^{g}\subseteq H'$ $(H')^{g}\subseteq H'$ per ogni $g\in G$ $g\in G$ . Considero $\alpha \in H'$ $\alpha \in H'$ e mostro che, fissato arbitrariamente $g\in G$ $g\in G$ , si ha $\alpha ^{g}\in {\rm {{Fix}(H)}}$ $\alpha ^{g}\in {\rm {{Fix}(H)}}$ .Siccome $H$ $H$ è normale, si ha $gh=kg$ $gh=kg$ per un certo $k\in H$ $k\in H$ . Allora $\alpha ^{gh}=\alpha ^{kg}=\alpha ^{g}$ $\alpha ^{gh}=\alpha ^{kg}=\alpha ^{g}$ (infatti $k\in H\longrightarrow \alpha ^{k}=\alpha$ $k\in H\longrightarrow \alpha ^{k}=\alpha$ ), e quindi $\alpha ^{g}\in {\rm {{Fix}(H)}}$ $\alpha ^{g}\in {\rm {{Fix}(H)}}$ .

La stabilità di $L$ $L$ è legata alla normalità dell'estensione $L\supseteq K$ $L\supseteq K$ .

Per la dimostrazione della prossima proposizione è necessario il seguente lemma:

Lemma 2.6

Sia $M\supseteq K$ $M\supseteq K$ un'estensione di campi normale, e sia $f(x)\in K[x]$ $f(x)\in K[x]$ un polinomio monico e irriducibile. Se $f(x)$ $f(x)$ ammette una radice in $M$ $M$ , allora si spezza in $M[x]$ $M[x]$ in prodotto di fattori lineari distinti.

Dimostrazione

Sia $\alpha \in M$ $\alpha \in M$ una radice di $f(x)$ $f(x)$ , che esiste per ipotesi. Sia $G={\mathcal {G}}(M/K)$ $G={\mathcal {G}}(M/K)$ , e $A$ $A$ l'insieme delle immagini distinte di $\alpha$ $\alpha$ sotto l'azione di $G$ $G$ . Se $\beta$ $\beta$ è un elemento di $A$ $A$ , allora sarà della forma $\alpha ^{g}$ $\alpha ^{g}$ per $g\in G$ $g\in G$ . Sappiamo che $\beta$ $\beta$ è radice di $f(x)$ $f(x)$ , e quindi $A$ $A$ è finito, e ha cardinalità $r\leq {\rm {{gr}(f(x))}}$ $r\leq {\rm {{gr}(f(x))}}$ . Scriviamo $A=\{\alpha _{1}=\alpha ,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{r}\}$ $A=\{\alpha _{1}=\alpha ,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{r}\}$ .

Consideriamo il polinomio $p(x)=(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})*\dots *(x-\alpha _{r})\in M[x]$ $p(x)=(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})*\dots *(x-\alpha _{r})\in M[x]$ . I coefficienti di $p(x)$ $p(x)$ sono le funzioni simmetriche elementari in $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}$ $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}$ , definite come segue

{\begin{aligned}\sigma _{0}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})&=1\\\sigma _{1}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})&=\sum _{j}\alpha _{j}\\\sigma _{2}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})&=\sum _{j_{1}<j_{2}}\alpha _{j_{1}}*\alpha _{j_{2}}\\\dots &\dots &\dots \\\sigma _{i}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})&=\sum _{j_{1}<j_{2}<\dots <j_{i}}\alpha _{j_{1}}*\alpha _{j_{2}}*\dots *\alpha _{j_{i}}\\\dots &\dots &\dots \\\sigma _{r}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})&=\alpha _{1}*\alpha _{2}*\dots *\alpha _{r}\\\end{aligned}}

{\begin{aligned}\sigma _{0}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})&=1\\\sigma _{1}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})&=\sum _{j}\alpha _{j}\\\sigma _{2}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})&=\sum _{j_{1}<j_{2}}\alpha _{j_{1}}*\alpha _{j_{2}}\\\dots &\dots &\dots \\\sigma _{i}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})&=\sum _{j_{1}<j_{2}<\dots <j_{i}}\alpha _{j_{1}}*\alpha _{j_{2}}*\dots *\alpha _{j_{i}}\\\dots &\dots &\dots \\\sigma _{r}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})&=\alpha _{1}*\alpha _{2}*\dots *\alpha _{r}\\\end{aligned}}

Quindi

p(x)=\sum _{h=0}^{r}(-1)^{h}\sigma _{h}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})x^{r-h}

Le funzioni elementari sono invarianti se permuto

\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}

. D'altra parte gli elementi di

G

permutano

\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}

e quindi fissano i coefficienti di

p(x)

.

M\supseteq K

è normale per ipotesi, allora

p(x)

è un polinomio a coefficienti in

K

(i coefficienti stanno in

G'={\rm {{Fix}G}}

). D'altra parte

p(\alpha )=0

, e

f(x)

, essendo irriducibile, è il polinomio minimo di

\alpha

. Allora

f(x)\mid p(x)

. In particolare

{\rm {{gr}(p(x))=r\geq {\rm {{gr}(f(x))}}}}

, e siccome si aveva

r\leq {\rm {{gr}(f(x))}}

, segue che

r={\rm {{gr}(f(x))}}

. Poi

f(x)

e

p(x)

sono entrambi monici dunque

p(x)=f(x)

, cioè

f(x)

si spezza su

M

.

Proposizione 2.3

supponiamo che $M\supseteq L\supseteq K$ $M\supseteq L\supseteq K$ siano estensioni di campi, con $M\supseteq K$ $M\supseteq K$ normale e $L$ $L$ stabile. Allora l'estensione $L\supseteq K$ $L\supseteq K$ è normale.
Siano $M\supseteq L\supseteq K$ $M\supseteq L\supseteq K$ estensioni di campi, e supponiamo che $L\supseteq K$ $L\supseteq K$ sia normale e algebrica. Allora $L$ $L$ è stabile.

Dimostrazione

Considero $\alpha \in L\smallsetminus K$ $\alpha \in L\smallsetminus K$ , e mostro che esiste $h\in {\mathcal {G}}(L/K)$ $h\in {\mathcal {G}}(L/K)$ tale che $\alpha ^{h}\neq \alpha$ $\alpha ^{h}\neq \alpha$ . Siccome $M\supseteq K$ $M\supseteq K$ è normale e $\alpha$ $\alpha$ sta in $M$ $M$ , esiste $g\in G$ $g\in G$ tale che $\alpha ^{g}\neq \alpha$ $\alpha ^{g}\neq \alpha$ . Se considero $h=g_{|_{L}}:L\to L^{g}=L$ $h=g_{|_{L}}:L\to L^{g}=L$ , ( $L^{g}=L$ $L^{g}=L$ perché $L$ $L$ è stabile), allora $h\in {\mathcal {G}}(L/K)$ $h\in {\mathcal {G}}(L/K)$ .
Per la seconda parte è necessario il lemma dimostrato prima.Mostro che dato $\alpha \in L$ $\alpha \in L$ e $g\in {\mathcal {G}}(M/K)$ $g\in {\mathcal {G}}(M/K)$ , allora $\alpha ^{g}\in L$ $\alpha ^{g}\in L$ . Per ipotesi $\alpha \in L$ $\alpha \in L$ è algebrico su $K$ $K$ , allora posso considerare il polinomio minimo $f(x)\in K[x]$ $f(x)\in K[x]$ di $\alpha$ $\alpha$ su $K$ $K$ .Per il lemma precedente, $f(x)$ $f(x)$ si spezza in fattori lineari distinti in $L[x]$ $L[x]$ .D'altra parte, $\alpha ^{g}$ $\alpha ^{g}$ è una radice di $f$ $f$ , e quindi $\alpha ^{g}\in L$ $\alpha ^{g}\in L$ .

Sia $M\supseteq K$ $M\supseteq K$ , $L$ $L$ un campo intermedio stabile, allora possiamo considerare l'applicazione $\phi :{\mathcal {G}}(M/K)\to {\mathcal {G}}(L/K)$ $\phi :{\mathcal {G}}(M/K)\to {\mathcal {G}}(L/K)$ , tale che $g\mapsto g_{|_{L}}$ $g\mapsto g_{|_{L}}$ . $\phi$ $\phi$ è un omomorfismo di gruppi, con

\ker \phi =L'={\mathcal {G}}(M/L)

\mathop {Im} \phi

è l'isieme degli automorfismi di

L

su

K

(cioè che fissano

K

elemento per elemento), che si sollevano ad automorfismi di

M

su

K

.

Dalle proposizioni precedenti si ha il seguente risultato:

Proposizione 2.4 (conseguenza)

Supponiamo che $M\supseteq K$ $M\supseteq K$ sia normale e di grado finito. Allora $L$ $L$ campo intermedio è stabile se e solo se $L\supseteq K$ $L\supseteq K$ è normale. Inoltre l'omomorfismo $\phi :{\mathcal {G}}(M/K)\to {\mathcal {G}}(L/K)$ $\phi :{\mathcal {G}}(M/K)\to {\mathcal {G}}(L/K)$ è suriettivo.

Dimostrazione

Osservo in particolare che il fatto che $M\supseteq K$ $M\supseteq K$ sia di grado finito implica che $L\supseteq K$ $L\supseteq K$ è algebrica, e quindi il "se e solo se" segue dalla proposizione precedente.

Per quanto riguarda la suriettività di $\phi$ $\phi$ , per il teorema fondamentale

o({\mathcal {G}}(L/K))=|L:K|=|K':L'|=\vert {\frac {{\mathcal {G}}(M:K)}{{\mathcal {G}}(M:L)}}\vert ={\frac {o({\mathcal {G}}(M/K))}{o({\mathcal {G}}(M/L))}}={\frac {o({\mathcal {G}}(M/K))}{\ker \phi }}.

Possiamo aggiungere al teorema fondamentale della teoria di Galois anche il seguente fatto:

Teorema 2.3

Sia $L$ $L$ un campo intermedio tra $K$ $K$ e $M$ $M$ , allora $L\supseteq K$ $L\supseteq K$ è un'estensione normale se e solo se $L'$ $L'$ è normale in $G$ $G$ , e in tal caso $G/L'$ $G/L'$ è isomorfo a ${\mathcal {G}}(L/K)$ ${\mathcal {G}}(L/K)$ .

Dimostrazione

Va giustificato solo il fatto che $L\supseteq K$ $L\supseteq K$ è normale se e solo se $L'$ $L'$ è normale in $G$ $G$ .

Dalla "conseguenza" segue che $L$ $L$ è stabile, allora $L'$ $L'$ è normale in $G$ $G$ per la relazione tra la normalità di sottogruppi e la stabilità dei campi intermedi. Viceversa, $L'$ $L'$ normale in $G$ $G$ implica che $L''$ $L''$ è stabile, ma siccome $L$ $L$ e' chiuso si ha $L''=L$ $L''=L$ e quindi $L$ $L$ è stabile.

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 ==Stabilità==
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 ==Corrispondenza tra campi stabili e sottogruppi normali==
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 #Siano <math>M \supseteq L \supseteq K</math> estensioni di campi, e supponiamo che <math>L \supseteq K</math> sia normale e   algebrica. Allora <math>L</math> è stabile.
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 Sia <math>M \supseteq K</math>, <math>L</math> un campo intermedio stabile, allora possiamo considerare l'applicazione <math>\phi:\mathcal G(M/K) \to \mathcal G(L/K)</math>, tale che <math>g \mapsto g_{|_L}</math>. <math>\phi</math> è un omomorfismo di gruppi, con<math display="block">\ker \phi = L' = \mathcal G(M/L)</math><math>\mathop{Im} \phi</math> è l'isieme degli automorfismi di <math>L</math> su <math>K</math> (cioè che fissano <math>K</math> elemento per elemento), che si sollevano ad automorfismi di <math>M</math> su <math>K</math>.
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+Dalle proposizioni precedenti si ha il seguente risultato:{{InizioProposizione|title=conseguenza|number=2.4|anchor=Proposizione2_4}}
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-Possiamo aggiungere al teorema fondamentale della teoria di Galois anche il seguente fatto:{{InizioTeorema|titolo=|number=2.3|anchor=Teorema2_3}}
+Possiamo aggiungere al teorema fondamentale della teoria di Galois anche il seguente fatto:{{InizioTeorema|title=|number=2.3|anchor=Teorema2_3}}
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