Stabilità e normalità

Versione attuale delle 14:16, 21 mag 2018

Stabilità[modifica | modifica wikitesto]

Siano ${\displaystyle K\subseteq L\subseteq M}$ estensioni di campi, e sia ${\displaystyle G={\mathcal {G}}(M/K)}$, allora ${\displaystyle L}$ è un campo intermedio stabile (relativamente a ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle K}$) se succede che ${\displaystyle L^{g}\subseteq L,\;\forall g\in G}$.

Un campo intermedio ${\displaystyle L}$ è stabile se e solo se ${\displaystyle L^{g}=L,\;\forall g\in G}$.

Infatti, se ${\displaystyle L^{g}=L,\;\forall g\in G}$, è chiaro che ${\displaystyle L}$ è stabile.

Viceversa, mostro che se ${\displaystyle L}$ è stabile, si ha ${\displaystyle L\subseteq L^{g}}$. Prendo ${\displaystyle g\in G,l\in L}$, allora siccome ${\displaystyle L}$ è stabile e la relazione vale per ogni ${\displaystyle g}$, deve valere anche per ${\displaystyle g^{-1}}$ e quindi ${\displaystyle l^{g^{-1}}\in L}$, e dunque, applicando ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle (l^{g^{-1}})^{g}=l\in L^{g}}$, cioè ${\displaystyle L\subseteq L^{g}}$.

Corrispondenza tra campi stabili e sottogruppi normali[modifica | modifica wikitesto]

Sia ${\displaystyle M\supseteq K}$ un'estensione di campi, e ${\displaystyle G={\mathcal {G}}(M/K)}$. Allora,

1. se ${\displaystyle L}$ è un campo intermedio stabile, ${\displaystyle L'}$ è un sottogruppo normale in ${\displaystyle G}$, ovvero ${\displaystyle L'={\mathcal {G}}(M/L)}$ è normale in ${\displaystyle {\mathcal {G}}(M/K)}$.
2. se ${\displaystyle H}$ è un sottogruppo normale di ${\displaystyle G}$, allora ${\displaystyle H'={\rm {{Fix}(H)}}}$ è un campo intermedio stabile.

1. Per ipotesi, ${\displaystyle L}$ è un campo intermedio stabile, e mostro che ${\displaystyle L'}$ è normale in ${\displaystyle G}$, cioè, applicando la definizione, mostro che dati ${\displaystyle h\in L',g\in G}$, ${\displaystyle g^{-1}hg\in L'}$; equivalentemente mostro che ${\displaystyle g^{-1}hg}$ fissa ${\displaystyle L}$ elemento per elemento. Prendo ${\displaystyle l\in L}$, e calcolo
   $${\displaystyle l^{g^{-1}hg}=(l^{g^{-1}})^{hg}}$$

   
   ma ${\displaystyle l^{g^{-1}}\in L}$ e ${\displaystyle h}$ fissa ${\displaystyle L}$ elemento per elemento, quindi
   $${\displaystyle =l^{g^{-1}*g}=l}$$

   
   e quindi la tesi è vera.
2. Sia ${\displaystyle H}$ un sottogruppo normale di ${\displaystyle G}$, allora mostro che ${\displaystyle H'={\rm {{Fix}(H)}}}$ è un campo intermedio stabile, ovvero che ${\displaystyle (H')^{g}\subseteq H'}$ per ogni ${\displaystyle g\in G}$. Considero ${\displaystyle \alpha \in H'}$ e mostro che, fissato arbitrariamente ${\displaystyle g\in G}$, si ha ${\displaystyle \alpha ^{g}\in {\rm {{Fix}(H)}}}$.Siccome ${\displaystyle H}$ è normale, si ha ${\displaystyle gh=kg}$ per un certo ${\displaystyle k\in H}$. Allora ${\displaystyle \alpha ^{gh}=\alpha ^{kg}=\alpha ^{g}}$ (infatti ${\displaystyle k\in H\longrightarrow \alpha ^{k}=\alpha }$), e quindi ${\displaystyle \alpha ^{g}\in {\rm {{Fix}(H)}}}$.

La stabilità di ${\displaystyle L}$ è legata alla normalità dell'estensione ${\displaystyle L\supseteq K}$.

Sia ${\displaystyle M\supseteq K}$ un'estensione di campi normale, e sia ${\displaystyle f(x)\in K[x]}$ un polinomio monico e irriducibile. Se ${\displaystyle f(x)}$ ammette una radice in ${\displaystyle M}$, allora si spezza in ${\displaystyle M[x]}$ in prodotto di fattori lineari distinti.

Sia ${\displaystyle \alpha \in M}$ una radice di ${\displaystyle f(x)}$, che esiste per ipotesi. Sia ${\displaystyle G={\mathcal {G}}(M/K)}$, e ${\displaystyle A}$ l'insieme delle immagini distinte di ${\displaystyle \alpha }$ sotto l'azione di ${\displaystyle G}$. Se ${\displaystyle \beta }$ è un elemento di ${\displaystyle A}$, allora sarà della forma ${\displaystyle \alpha ^{g}}$ per ${\displaystyle g\in G}$. Sappiamo che ${\displaystyle \beta }$ è radice di ${\displaystyle f(x)}$, e quindi ${\displaystyle A}$ è finito, e ha cardinalità ${\displaystyle r\leq {\rm {{gr}(f(x))}}}$. Scriviamo ${\displaystyle A=\{\alpha _{1}=\alpha ,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{r}\}}$.

Consideriamo il polinomio ${\displaystyle p(x)=(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})*\dots *(x-\alpha _{r})\in M[x]}$. I coefficienti di ${\displaystyle p(x)}$ sono le funzioni simmetriche elementari in ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}}$, definite come segue

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})&=1\\\sigma _{1}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})&=\sum _{j}\alpha _{j}\\\sigma _{2}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})&=\sum _{j_{1}<j_{2}}\alpha _{j_{1}}*\alpha _{j_{2}}\\\dots &\dots &\dots \\\sigma _{i}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})&=\sum _{j_{1}<j_{2}<\dots <j_{i}}\alpha _{j_{1}}*\alpha _{j_{2}}*\dots *\alpha _{j_{i}}\\\dots &\dots &\dots \\\sigma _{r}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})&=\alpha _{1}*\alpha _{2}*\dots *\alpha _{r}\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle p(x)=\sum _{h=0}^{r}(-1)^{h}\sigma _{h}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})x^{r-h}}$$

${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}}$

${\displaystyle G}$

${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}}$

${\displaystyle p(x)}$

${\displaystyle M\supseteq K}$

${\displaystyle p(x)}$

${\displaystyle K}$

${\displaystyle G'={\rm {{Fix}G}}}$

${\displaystyle p(\alpha )=0}$

${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle f(x)\mid p(x)}$

${\displaystyle {\rm {{gr}(p(x))=r\geq {\rm {{gr}(f(x))}}}}}$

${\displaystyle r\leq {\rm {{gr}(f(x))}}}$

${\displaystyle r={\rm {{gr}(f(x))}}}$

${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle p(x)}$

${\displaystyle p(x)=f(x)}$

${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle M}$

1. supponiamo che ${\displaystyle M\supseteq L\supseteq K}$ siano estensioni di campi, con ${\displaystyle M\supseteq K}$ normale e ${\displaystyle L}$ stabile. Allora l'estensione ${\displaystyle L\supseteq K}$ è normale.
2. Siano ${\displaystyle M\supseteq L\supseteq K}$ estensioni di campi, e supponiamo che ${\displaystyle L\supseteq K}$ sia normale e algebrica. Allora ${\displaystyle L}$ è stabile.

1. Considero ${\displaystyle \alpha \in L\smallsetminus K}$, e mostro che esiste ${\displaystyle h\in {\mathcal {G}}(L/K)}$ tale che ${\displaystyle \alpha ^{h}\neq \alpha }$. Siccome ${\displaystyle M\supseteq K}$ è normale e ${\displaystyle \alpha }$ sta in ${\displaystyle M}$, esiste ${\displaystyle g\in G}$ tale che ${\displaystyle \alpha ^{g}\neq \alpha }$. Se considero ${\displaystyle h=g_{|_{L}}:L\to L^{g}=L}$, (${\displaystyle L^{g}=L}$ perché ${\displaystyle L}$ è stabile), allora ${\displaystyle h\in {\mathcal {G}}(L/K)}$.
2. Per la seconda parte è necessario il lemma dimostrato prima.Mostro che dato ${\displaystyle \alpha \in L}$ e ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}(M/K)}$, allora ${\displaystyle \alpha ^{g}\in L}$. Per ipotesi ${\displaystyle \alpha \in L}$ è algebrico su ${\displaystyle K}$, allora posso considerare il polinomio minimo ${\displaystyle f(x)\in K[x]}$ di ${\displaystyle \alpha }$ su ${\displaystyle K}$.Per il lemma precedente, ${\displaystyle f(x)}$ si spezza in fattori lineari distinti in ${\displaystyle L[x]}$.D'altra parte, ${\displaystyle \alpha ^{g}}$ è una radice di ${\displaystyle f}$, e quindi ${\displaystyle \alpha ^{g}\in L}$.

Sia ${\displaystyle M\supseteq K}$, ${\displaystyle L}$ un campo intermedio stabile, allora possiamo considerare l'applicazione ${\displaystyle \phi :{\mathcal {G}}(M/K)\to {\mathcal {G}}(L/K)}$, tale che ${\displaystyle g\mapsto g_{|_{L}}}$. ${\displaystyle \phi }$ è un omomorfismo di gruppi, con

$${\displaystyle \ker \phi =L'={\mathcal {G}}(M/L)}$$

${\displaystyle \mathop {Im} \phi }$

${\displaystyle L}$

${\displaystyle K}$

${\displaystyle K}$

${\displaystyle M}$

${\displaystyle K}$

Supponiamo che ${\displaystyle M\supseteq K}$ sia normale e di grado finito. Allora ${\displaystyle L}$ campo intermedio è stabile se e solo se ${\displaystyle L\supseteq K}$ è normale. Inoltre l'omomorfismo ${\displaystyle \phi :{\mathcal {G}}(M/K)\to {\mathcal {G}}(L/K)}$ è suriettivo.

Osservo in particolare che il fatto che ${\displaystyle M\supseteq K}$ sia di grado finito implica che ${\displaystyle L\supseteq K}$ è algebrica, e quindi il "se e solo se" segue dalla proposizione precedente.

Per quanto riguarda la suriettività di ${\displaystyle \phi }$, per il teorema fondamentale

$${\displaystyle o({\mathcal {G}}(L/K))=|L:K|=|K':L'|=\vert {\frac {{\mathcal {G}}(M:K)}{{\mathcal {G}}(M:L)}}\vert ={\frac {o({\mathcal {G}}(M/K))}{o({\mathcal {G}}(M/L))}}={\frac {o({\mathcal {G}}(M/K))}{\ker \phi }}.}$$

Sia ${\displaystyle L}$ un campo intermedio tra ${\displaystyle K}$ e ${\displaystyle M}$, allora ${\displaystyle L\supseteq K}$ è un'estensione normale se e solo se ${\displaystyle L'}$ è normale in ${\displaystyle G}$, e in tal caso ${\displaystyle G/L'}$ è isomorfo a ${\displaystyle {\mathcal {G}}(L/K)}$.

Va giustificato solo il fatto che ${\displaystyle L\supseteq K}$ è normale se e solo se ${\displaystyle L'}$ è normale in ${\displaystyle G}$.

Dalla "conseguenza" segue che ${\displaystyle L}$ è stabile, allora ${\displaystyle L'}$ è normale in ${\displaystyle G}$ per la relazione tra la normalità di sottogruppi e la stabilità dei campi intermedi. Viceversa, ${\displaystyle L'}$ normale in ${\displaystyle G}$ implica che ${\displaystyle L''}$ è stabile, ma siccome ${\displaystyle L}$e' chiuso si ha ${\displaystyle L''=L}$ e quindi ${\displaystyle L}$ è stabile.