Determinazione del grado dell'estensione
Sia
, e studio l'estensione
. Ora
è una radice quinta dell'unità, e quindi è radice del polinomio
, che è un polinomio in
, e quindi
è algebrico su
.
Osservo che
si può fattorizzare come

dove

è un polinomio a coefficienti razionali. Siccome

,

è radice di

, cioè

.
Vogliamo provare che
è proprio il polinomio minimo di
su
.
Osservo che dato un anello
commutativo unitario, e dati due elementi
, posso considerare l'omomorfismo (di valutazione)
tale che
e
per ogni
.
Se
è un polinomio in
, allora

Se

è invertibile nell'anello

, allora

è un isomorfismo, con inverso l'omomorfismo (di valutazione)
![{\displaystyle \phi ^{-1}:A[x]\to A[x]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/16a5e0e08c9f791d8ad0285b867be593c6c15415)
tale che

, e

.
In particolare, se
è un campo, preso
segue che
tale che
e
è un isomorfismo, e quindi un polinomio
è irriducibile in
se e solo se lo è
, con
,
.
In base all'osservazione precedente, mostrare che
è irriducibile su
equivale a mostrare che
è irriducibile su
.



(infatti

e si elide con il

già presente)


e per

posso applicare Eisenstein (

, per

, non divide il coefficiente direttivo e

non divide il termine noto), e quindi

è irriducibile sopra

, e lo è anche

.
Più in generale se
è un numero primo, si ha che
. Chiamo
, questo polinomio è irriducibile su
per argomenti analoghi a quelli precedenti.
Infatti, come prima


e

per

, per il criterio di Eisenstein

è irriducibile su

.
Tornando a
, abbiamo mostrato che
è il polinomio minimo di
.
In particolare,
contiene tutti (e soli) gli elementi della forma
, tali che
è radice di
.
Segue che
. Di più,
è il campo di spezzamento di
sopra
, perché
implica che
e quindi
contiene tutte le radici di
.
Ordine ed elementi del gruppo di Galois G
Come vedremo, l'estensione
è normale. Se chiamo
, si ha che
per il teorema fondamentale della teoria di Galois.
Sia
, allora
è ancora una radice di
. D'altra parte, presa una radice
di
, considero la mappa tale che
che fissa
elemento per elemento e manda
in
. Osservo che
, perché
, infatti
INCLUSIONE 1:
e quindi
;
INCLUSIONE 2:
perché
è polinomio minimo di ogni sua radice.
è invertibile perché
e
sono primi tra loro, allora, per opportuni
posso scrivere

cioè

e quindi

.
Si ha anche che
è invertibile.
Posso scrivere gli elementi di
:

dove

.
Verifico le relazioni tra gli elementi di
:



Allora
è ciclico di ordine 4, se pongo
, allora gli elementi di
sono
.
Corrispondenza di Galois
Essendo ciclico di ordine 4,
ha un solo sottogruppo proprio di ordine 2, che è
.
Segue che
ha un solo campo intermedio
, e
.
Determiniamo esplicitamente gli elementi di
, per definizione:

Osservo che



siccome

è radice di

, si ha

, e sostituendo nell'espressione sopra ottengo


L'insieme

è una base per

, quindi chiedere che

equivale a chiedere che

da cui

quindi
è il campo intermedio che contiene gli elementi della forma

Se chiamo

, si ha

allora

, e il polinomio minimo di

è

.