Esempio di studio di estensione

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Determinazione del grado dell'estensione[modifica | modifica wikitesto]

Sia ${\displaystyle \omega =\cos(2\pi /5)+i\sin(2\pi /5)}$, e studio l'estensione ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )\supseteq \mathbb {Q} }$. Ora ${\displaystyle \omega }$ è una radice quinta dell'unità, e quindi è radice del polinomio ${\displaystyle x^{5}-1}$, che è un polinomio in ${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$, e quindi ${\displaystyle \omega }$ è algebrico su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Osservo che ${\displaystyle x^{5}-1}$ si può fattorizzare come

$${\displaystyle x^{5}-1=(x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)=(x-1)\phi _{5}(x)}$$

${\displaystyle \phi _{5}(x)}$

${\displaystyle \omega \neq 1}$

${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \phi _{5}(x)}$

${\displaystyle \phi _{5}(\omega )=0}$

Vogliamo provare che ${\displaystyle \phi _{5}(x)}$ è proprio il polinomio minimo di ${\displaystyle \omega }$ su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Osservo che dato un anello ${\displaystyle A}$ commutativo unitario, e dati due elementi ${\displaystyle a,b\in A}$, posso considerare l'omomorfismo (di valutazione) ${\displaystyle \phi :A[x]\to A[x]}$ tale che ${\displaystyle x\mapsto ax+b}$ e ${\displaystyle c\mapsto c}$ per ogni ${\displaystyle c\in A}$.

Se ${\displaystyle f(x)}$ è un polinomio in ${\displaystyle A[x]}$, allora

$${\displaystyle (f(x))^{\phi }=f(ax+b)}$$

${\displaystyle a}$

${\displaystyle A}$

${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi ^{-1}:A[x]\to A[x]}$

${\displaystyle x\mapsto a^{-1}x-a^{-1}b}$

${\displaystyle c\mapsto c,\;\forall c\in A}$

In particolare, se ${\displaystyle F}$ è un campo, preso ${\displaystyle a\neq 0}$ segue che ${\displaystyle \phi :F[x]\to F[x]}$ tale che ${\displaystyle x\mapsto ax+b}$ e ${\displaystyle c\mapsto c,\;\forall c\in F}$ è un isomorfismo, e quindi un polinomio ${\displaystyle f(x)\in F[x]}$ è irriducibile in ${\displaystyle F[x]}$ se e solo se lo è ${\displaystyle f(x)^{\phi }=f(ax+b)}$, con ${\displaystyle a,b\in F}$, ${\displaystyle a\neq 0}$.

In base all'osservazione precedente, mostrare che ${\displaystyle \phi _{5}(x)}$ è irriducibile su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ equivale a mostrare che ${\displaystyle \phi _{5}(x+1)}$ è irriducibile su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

$${\displaystyle \phi _{5}(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1={\frac {x^{5}-1}{x-1}}}$$

$${\displaystyle \phi _{5}(x+1)={\frac {(x+1)^{5}-1}{x+1-1}}={\frac {(x+1)^{5}-1}{x}}}$$

$${\displaystyle =1/x\sum _{k=1}^{5}{\binom {5}{k}}x^{k}}$$

${\displaystyle {\binom {5}{0}}=1}$

${\displaystyle -1}$

$${\displaystyle =\sum _{k=1}^{5}{\binom {5}{k}}x^{k-1}}$$

$${\displaystyle =x^{4}+{\binom {5}{4}}x^{3}+{\binom {5}{3}}x^{2}+{\binom {5}{2}}x+{\binom {5}{1}}}$$

${\displaystyle p=5}$

${\displaystyle p=5\mid {\binom {5}{k}}}$

${\displaystyle k=1,\dots ,4}$

${\displaystyle p^{2}}$

${\displaystyle \phi _{5}(x+1)}$

${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \phi _{5}(x)}$

Più in generale se ${\displaystyle p}$ è un numero primo, si ha che ${\displaystyle x^{p}-1=(x-1)*(x^{p-1}+x^{p-2}+\dots +x+1)}$. Chiamo ${\displaystyle \phi _{p}(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\dots +x+1}$, questo polinomio è irriducibile su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ per argomenti analoghi a quelli precedenti.

Infatti, come prima

$${\displaystyle \phi _{p}(x+1)={\frac {(x+1)^{p}-1}{x+1-1}}}$$

$${\displaystyle =1/x*\sum _{k=1}^{p}{\binom {p}{k}}x^{k}=\sum _{k=1}^{p}{\binom {p}{k}}x^{k-1}}$$

${\displaystyle p\mid {\binom {p}{k}}}$

${\displaystyle k=1,\dots ,p-1}$

${\displaystyle \phi _{p}(x+1)}$

${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Tornando a ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )\supseteq \mathbb {Q} }$, abbiamo mostrato che ${\displaystyle \phi _{5}(x)}$ è il polinomio minimo di ${\displaystyle \omega }$. In particolare, ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$ contiene tutti (e soli) gli elementi della forma ${\displaystyle a+b\omega +c\omega ^{2}+d\omega ^{3},\,a,b,c,d\in \mathbb {Q} }$, tali che ${\displaystyle \omega }$ è radice di ${\displaystyle \phi _{5}(x)}$.

Segue che ${\displaystyle |\mathbb {Q} (\omega ):\mathbb {Q} |=4}$. Di più, ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$ è il campo di spezzamento di ${\displaystyle \phi _{5}(x)}$ sopra ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, perché ${\displaystyle \omega \in \mathbb {Q} (\omega )}$ implica che ${\displaystyle \omega ^{2},\omega ^{3},\omega ^{4}\in \mathbb {Q} (\omega )}$ e quindi ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$ contiene tutte le radici di ${\displaystyle \phi _{5}(x)}$.

Ordine ed elementi del gruppo di Galois G[modifica | modifica wikitesto]

Come vedremo, l'estensione ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )\supseteq \mathbb {Q} }$ è normale. Se chiamo ${\displaystyle G={\mathcal {G}}(\mathbb {Q} (\omega )/\mathbb {Q} )}$, si ha che ${\displaystyle o(G)=4}$ per il teorema fondamentale della teoria di Galois.

Sia ${\displaystyle g\in G}$, allora ${\displaystyle \omega ^{g}}$ è ancora una radice di ${\displaystyle \phi _{5}(x)}$. D'altra parte, presa una radice ${\displaystyle \omega ^{i}}$ di ${\displaystyle \phi _{5}(x)}$, considero la mappa tale che ${\displaystyle H:\mathbb {Q} (\omega )\to \mathbb {Q} (\omega ^{i})}$ che fissa ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ elemento per elemento e manda ${\displaystyle \omega }$ in ${\displaystyle \omega ^{i}}$. Osservo che ${\displaystyle h\in G}$, perché ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega ^{i})=\mathbb {Q} (\omega )}$, infatti

INCLUSIONE 1: ${\displaystyle \omega ^{i}\in \mathbb {Q} (\omega )}$ e quindi ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega ^{i})\subseteq \mathbb {Q} (\omega )}$;

INCLUSIONE 2: ${\displaystyle |\mathbb {Q} (\omega ^{i}):\mathbb {Q} |=4}$ perché ${\displaystyle \phi _{5}}$ è polinomio minimo di ogni sua radice. ${\displaystyle \omega ^{i}}$ è invertibile perché ${\displaystyle i}$ e ${\displaystyle 5}$ sono primi tra loro, allora, per opportuni ${\displaystyle s,t}$ posso scrivere

$${\displaystyle 1=5s+it,\,\longrightarrow \,\omega =\omega ^{5s+it}=\omega ^{it}}$$

${\displaystyle \omega \in \mathbb {Q} (\omega ^{i})}$

${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )\subseteq \mathbb {Q} (\omega ^{i})}$

Si ha anche che ${\displaystyle h}$ è invertibile.

Posso scrivere gli elementi di ${\displaystyle G}$:

$${\displaystyle G=\{1,g_{2},g_{3},g_{4}\},}$$

${\displaystyle \omega ^{g_{i}}=\omega ^{i}}$

Verifico le relazioni tra gli elementi di ${\displaystyle G}$:

$${\displaystyle \omega ^{g_{2}^{2}}=(\omega ^{g_{2}})^{2}=\omega ^{4}=\omega ^{g_{4}},\,\longrightarrow \,g_{2}^{2}=g_{4}}$$

$${\displaystyle \omega ^{g_{2}^{3}}=\omega ^{g_{4}*g_{2}}=(\omega ^{4})^{g_{2}}=(\omega ^{2})^{4}}$$

$${\displaystyle =\omega ^{8}=\omega ^{5}*\omega ^{3}=\omega ^{3}=\omega ^{g_{3}},\,\longrightarrow \,g_{2}^{3}=g_{3}}$$

${\displaystyle g}$ è ciclico di ordine 4

${\displaystyle g_{2}=g}$

${\displaystyle g}$

${\displaystyle \{1,g,g^{2},g^{3}\}}$

Corrispondenza di Galois[modifica | modifica wikitesto]

Essendo ciclico di ordine 4, ${\displaystyle G}$ ha un solo sottogruppo proprio di ordine 2, che è ${\displaystyle H=\{1,g^{2}\}}$.

Segue che ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )\supseteq \mathbb {Q} }$ ha un solo campo intermedio ${\displaystyle L=H'={\rm {{Fix}(H)}}}$, e ${\displaystyle |L:\mathbb {Q} |=|G:H|=2}$.

Determiniamo esplicitamente gli elementi di ${\displaystyle L}$, per definizione:

$${\displaystyle L=H'=\{a+b\omega +c\omega ^{2}+d\omega ^{3}\in \mathbb {Q} (\omega )\,t.c.\,(a+b\omega +c\omega ^{2}+d\omega ^{3})^{g^{2}}=a+b\omega +c\omega ^{2}+d\omega ^{3}\}}$$

$${\displaystyle (a+b\omega +c\omega ^{2}+d\omega ^{3})^{g^{2}}}$$

$${\displaystyle =a+b\omega ^{4}+c(\omega ^{4})^{2}+d(\omega ^{4})^{3}}$$

$${\displaystyle =a+b\omega ^{4}+c\omega ^{3}+d\omega ^{2}}$$

${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \phi _{5}(x)}$

${\displaystyle \omega ^{4}=-1-\omega -\omega ^{2}-\omega ^{3}}$

$${\displaystyle =a-b-b\omega -b\omega ^{2}-b\omega ^{3}+c\omega ^{3}+d\omega ^{2}}$$

$${\displaystyle =(a-b)-b\omega +(d-b)\omega ^{2}+(c-b)\omega ^{3}}$$

${\displaystyle \{1,\omega ,\omega ^{2},\omega ^{3}\}}$

${\displaystyle |\mathbb {Q} (\omega ):\mathbb {Q} |}$

$${\displaystyle (a+b\omega +c\omega ^{2}+d\omega ^{3})^{g^{2}}=a+b\omega +c\omega ^{2}+d\omega ^{3}}$$

$${\displaystyle {\begin{cases}a-b=a\\-b=b\\d-b=c\\c-b=d\end{cases}}}$$

$${\displaystyle b=0,d=c}$$

${\displaystyle L}$ è il campo intermedio che contiene gli elementi della forma

$${\displaystyle a+c\omega ^{2}+c\omega ^{3}=a+c(\omega ^{2}+\omega ^{3}),\,a,c\in \mathbb {Q} .}$$

${\displaystyle \alpha =\omega ^{2}+\omega ^{3}}$

$${\displaystyle \alpha ^{2}=(\omega ^{2}+\omega ^{3})^{2}=\omega ^{4}+\omega ^{6}+2\omega ^{5}=\omega ^{4}+\omega +2=-1-\omega -\omega ^{2}-\omega ^{3}+\omega +2=1-\omega ^{2}-\omega ^{3}=1-\alpha }$$

${\displaystyle \alpha ^{2}+\alpha -1=0}$

${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle m(x)=x^{2}+x-1}$