Esempio di campo di spezzamento non normale

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Caratteristica di un campo finito[modifica | modifica wikitesto]

Dato un campo ${\displaystyle K}$ possiamo considerare l'applicazione ${\displaystyle \eta :\mathbb {Z} \to K}$ tale che ${\displaystyle \eta (z)=z1_{K}}$. ${\displaystyle \eta }$ è un omomorfismo di anelli, e ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\eta }\subseteq K}$. In particolare, siccome ${\displaystyle K}$ è un campo, ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\eta }}$ è un dominio. Se ${\displaystyle K}$ è finito,

$${\displaystyle \ker \eta :=\{z\in \mathbb {Z} \,t.c.\,z*1_{K}=0_{K}\}\neq \{0\}}$$

${\displaystyle \ker \eta =\{0\}}$

${\displaystyle K}$

${\displaystyle K^{\eta }}$

${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Perché ${\displaystyle {\frac {\mathbb {Z} }{\ker \eta }}}$ sia un dominio, dev'essere ${\displaystyle \ker \eta =(p)}$ con ${\displaystyle p}$ numero primo. Allora si dice che ${\displaystyle K}$ ha caratteristica ${\displaystyle p}$. Notiamo anche che ${\displaystyle K^{\eta }\cong F_{p}}$, dove pongo ${\displaystyle F_{p}={\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}}$ (campo con ${\displaystyle p}$ elementi). Identificando ${\displaystyle K^{\eta }}$ con ${\displaystyle F_{p}}$, segue che ${\displaystyle F_{p}}$ è un sottocampo di ${\displaystyle K}$; in particolare ${\displaystyle F_{p}}$ coincide con il campo primo di ${\displaystyle K}$ ovvero l'intersezione di tutti i sottocampi di ${\displaystyle K}$.

Ordine di un campo finito[modifica | modifica wikitesto]

${\displaystyle K}$ campo finito di caratteristica ${\displaystyle p}$ avrà necessariamente ordine ${\displaystyle p^{n}}$ per un certo ${\displaystyle n\geq 1}$. Infatti ${\displaystyle K}$ può essere considerato come spazio vettoriale su ${\displaystyle F_{p}}$. La dimensione di ${\displaystyle K}$ come spazio vettoriale su ${\displaystyle F_{p}}$ dev'essere necessariamente finita, diciamo ${\displaystyle n}$, allora esiste una base ${\displaystyle \{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\}}$ per ${\displaystyle K}$ su ${\displaystyle F_{p}}$. Ogni elemento di ${\displaystyle K}$ si scrive in modo unico come

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\alpha _{i},\quad a_{i}\in F_{p}.}$$

${\displaystyle K}$

${\displaystyle p^{n}}$

${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle p}$

Un campo ${\displaystyle K}$ ha ${\displaystyle p^{n}}$ elementi se e solo se ${\displaystyle K}$ è il campo di spezzamento su ${\displaystyle F_{p}}$ di ${\displaystyle f(x)=x^{p^{n}}-x}$.

${\displaystyle 1\longrightarrow 2}$: Sia ${\displaystyle K}$ un campo con ${\displaystyle o(K)=p^{n}}$, allora ${\displaystyle K^{*}}$ ha ${\displaystyle p^{n}-1}$ elementi ed è un gruppo; segue che per ogni ${\displaystyle \alpha \in K^{*}}$, ${\displaystyle \alpha ^{p^{n}-1}=1}$, equivalentemente per ogni ${\displaystyle \alpha \in K}$, ${\displaystyle \alpha ^{p^{n}}=\alpha }$. Allora ${\displaystyle f(x)}$ ha ${\displaystyle p^{n}}$ radici distinte in ${\displaystyle K}$ e pertanto si spezza in fattori lineari su ${\displaystyle K}$. Siccome le radici di ${\displaystyle f(x)}$ costituiscono tutto ${\displaystyle K}$ abbiamo che ${\displaystyle K}$ è campo di spezzamento di ${\displaystyle f(x)}$ su ${\displaystyle F_{p}}$. ${\displaystyle 2\longrightarrow 1}$: Viceversa, prendo ${\displaystyle M}$ campo di spezzamento di ${\displaystyle f(x)}$ su ${\displaystyle F_{p}}$, sia ${\displaystyle E}$ l'insieme delle radici di ${\displaystyle f(x)}$ in ${\displaystyle M}$, cioè

$${\displaystyle E=\{\alpha \in M\,t.c.\,\alpha ^{p^{n}}=\alpha \}}$$

Affermiamo che ${\displaystyle E}$ è un campo

• ${\displaystyle 0,1\in E}$;
• chiusura rispetto alla somma: per ${\displaystyle \alpha ,\beta \in E}$, segue che ${\displaystyle \alpha +\beta \in E}$, infatti
  $${\displaystyle (\alpha +\beta )^{p^{n}}=\alpha ^{p^{n}}+\beta ^{p^{n}}=\alpha +\beta ,}$$

  
  dove nel secondo passaggio ho sfruttato il fatto che il campo ha caratteristica ${\displaystyle p}$;

• chiusura rispetto al prodotto: dati ${\displaystyle \alpha ,\beta \in E}$, anche ${\displaystyle \alpha \beta \in E}$ infatti si ha
  $${\displaystyle (\alpha \beta )^{p^{n}}=\alpha ^{p^{n}}\beta ^{p^{n}}=\alpha \beta ;}$$

  

• chiusura rispetto agli inversi: per ${\displaystyle \alpha \in E}$, ${\displaystyle -\alpha \in E}$ infatti ${\displaystyle (-\alpha )^{p^{n}}=-\alpha ^{p^{n}}=-\alpha ;}$

se ${\displaystyle \alpha \neq 0}$, ${\displaystyle \alpha ^{-1}\in E}$ infatti ${\displaystyle (\alpha ^{-1})^{p^{n}}=(\alpha ^{p^{n}})^{-1}=\alpha ^{-1}}$.

Segue che ${\displaystyle E}$ è un campo, la cardinalità di ${\displaystyle E}$ è ${\displaystyle p^{n}}$ perché ${\displaystyle f'(x)=-1}$ e quindi ${\displaystyle f(x)}$ non ha radici multiple.

${\displaystyle E}$ contiene ${\displaystyle F_{p}}$, allora ${\displaystyle E}$ deve necessariamente coincidere con ${\displaystyle M}$.

Da quest'ultima proposizione, per i risultati sull'esistenza e unicità dei campi di spezzamento, segue che dati un primo ${\displaystyle p}$ e un intero ${\displaystyle n\geq 1}$, esiste sempre un campo di ordine ${\displaystyle p^{n}}$, e due campi di ordine ${\displaystyle p^{n}}$ sono isomorfi tra loro.

Normalità delle estensioni finite e gruppo di Galois[modifica | modifica wikitesto]

Mostriamo che, dati ${\displaystyle M,K}$ campi finiti, l'estensione ${\displaystyle M\supseteq K}$ è normale, e ${\displaystyle {\mathcal {G}}(M/K)}$ è ciclico.

Mostro prima che basta considerare il caso in cui ${\displaystyle K=F_{p}}$: in generale, considero la catena di estensioni ${\displaystyle M\supseteq K\supseteq F_{p}}$, allora ${\displaystyle M\supseteq F_{p}}$ normale implica ${\displaystyle M\supseteq K}$ normale. Infatti, sia ${\displaystyle M\supseteq F_{p}}$ normale, allora ${\displaystyle M}$ è campo di spezzamento su ${\displaystyle F_{p}}$ di un polinomio i cui fattori irriducibili sono separabili. Allora ${\displaystyle M}$ è anche campo di spezzamento su ${\displaystyle K}$ di tale polinomio, e i suoi fattori irriducibili in ${\displaystyle K[x]}$ devono dividere i fattori irriducibili in ${\displaystyle F_{p}[x]}$. Siccome i secondi sono separabili per ipotesi, lo sono anche i primi, e quindi segue che ${\displaystyle M\supseteq K}$ è normale. Inoltre, se ${\displaystyle {\mathcal {G}}(M/F_{p})}$ è ciclico, anche ${\displaystyle {\mathcal {G}}(M/K)}$, che è un sottogruppo in esso, è ciclico.

Consideriamo allora il caso ${\displaystyle K=F_{p}}$, identificando ${\displaystyle M}$ con ${\displaystyle F_{p^{n}}}$.

NORMALITÀ DI ${\displaystyle M\supseteq K}$: L'estensione ${\displaystyle M\supseteq K}$ è normale perché ${\displaystyle M}$ è campo di spezzamento su ${\displaystyle F_{p}}$ di ${\displaystyle f(x)=x^{p^{n}}-x}$ che non ha radici multiple. CICLICITÀ DEL GRUPPO DI GALOIS: considero l'omomorfismo di Frobenius ${\displaystyle \phi :M\to M}$ tale che ${\displaystyle \phi (\alpha )=\alpha ^{p}}$. Osservo che:

1. ${\displaystyle \phi }$ è un omomorfismo perché#*${\displaystyle \phi (\alpha +\beta )=(\alpha +\beta )^{p}=\alpha ^{p}+\beta ^{p}=\phi (\alpha )+\phi (\beta )}$;#*${\displaystyle \phi (\alpha \beta )=(\alpha \beta )^{p}=\alpha ^{p}\beta ^{p}=\phi (\alpha )*\phi (\beta )}$.
2. ${\displaystyle \phi }$ è iniettivo perché manda 1 in sé, è anche suriettivo perché ${\displaystyle M}$ è un campo finito;
3. ${\displaystyle \phi }$ fissa il campo ${\displaystyle F_{p}}$ elemento per elemento, cioè per ogni ${\displaystyle a\in F_{p}}$, ${\displaystyle \phi (a)=a^{p}=a}$.

Segue quindi che ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {G}}(M/K)}$.

Determino l'ordine di ${\displaystyle \phi }$ e considero le sue potenze: per ogni ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle \phi ^{k}:M\to M}$ è tale che ${\displaystyle \phi ^{k}(\alpha )=\alpha ^{p^{k}}}$. Allora ${\displaystyle \phi ^{n}=1}$, perché è tale che ${\displaystyle \alpha \mapsto \alpha ^{p^{n}}=\alpha }$.

Se per assurdo ${\displaystyle o(\phi )<n}$, esiste ${\displaystyle d<n}$ tale che ${\displaystyle \phi ^{d}=1}$, allora per ogni ${\displaystyle \alpha \in M}$ si avrebbe ${\displaystyle \alpha ^{p^{d}}=\alpha }$: quindi gli elementi di ${\displaystyle M}$ sarebbero radici del polinomio ${\displaystyle f(x)=x^{p^{d}}-x}$; ma questo polinomio ha esattamente ${\displaystyle p^{d}}$ radici distinte, e gli elementi di ${\displaystyle M}$ sono ${\displaystyle p^{n}>p^{d}}$, assurdo. Allora ${\displaystyle o(\phi )=n}$.

Segue quindi che ${\displaystyle {\mathcal {G}}(M/K)}$ contiene ${\displaystyle <\phi >=\{1,\phi ,\phi ^{2},\dots ,\phi ^{n-1}\}}$. Ma ${\displaystyle o({\mathcal {G}}(M/K))=|M:K|=n}$, e quindi ${\displaystyle {\mathcal {G}}(M/K)}$ coincide con il gruppo ciclico generato da ${\displaystyle \phi }$.

Un gruppo ciclico ${\displaystyle G}$ di ordine ${\displaystyle n}$ ha uno e un solo sottogruppo ciclico di ordine ${\displaystyle m}$ per ogni ${\displaystyle m}$ divisore di ${\displaystyle n}$. Allora ${\displaystyle F_{p^{n}}}$ ha uno e un solo sottocampo di ordine ${\displaystyle p^{m}}$ per ogni ${\displaystyle m}$ divisore di ${\displaystyle n}$.

Esempio di un campo di spezzamento non normale[modifica | modifica wikitesto]

In caratteristica 0, ogni campo di spezzamento da luogo a una estensione normale perché ogni polinomio irriducibile è separabile.

Non posso nemmeno scegliere di lavorare con campi finiti, infatti mostro che ogni polinomio irriducibile su un campo finito è anche separabile. Sia ${\displaystyle K=F_{p}}$ e ${\displaystyle f(x)}$ un polinomio in ${\displaystyle K[x]}$ monico e irriducibile; sia ${\displaystyle \alpha }$ una radice di ${\displaystyle f(x)}$, e considero ${\displaystyle K(\alpha )\supseteq K}$. Si ha ${\displaystyle |K(\alpha ):K|={\rm {{gr}(f(x))=n}}}$, allora ${\displaystyle K(\alpha )=F_{p^{n}}}$. ${\displaystyle F_{p^{n}}\supseteq F_{p}}$ è normale per le osservazioni precedenti, quindi ${\displaystyle K(\alpha )\supseteq K}$ è normale, e ${\displaystyle f(x)}$ ammette una radice in ${\displaystyle K(\alpha )}$. Segue quindi che ${\displaystyle f(x)}$ si spezza su ${\displaystyle K(\alpha )}$ in fattori lineari distinti, e inparticolare è separabile.

Questo argomento si può generalizzare al caso di ${\displaystyle K=F_{p^{s}}}$ con ${\displaystyle s}$ intero.

COSTRUZIONE DEL CAMPO DI SPEZZAMENTO NON NORMALE: Sia ${\displaystyle F=F_{p}}$, ${\displaystyle t}$ un'indeterminata su ${\displaystyle F}$ e consideriamo ${\displaystyle M=F(t)}$ campo delle funzioni razionali nell'indeterminata ${\displaystyle t}$ a coefficienti in ${\displaystyle F}$. Sia ${\displaystyle K=F(t^{p})}$, campo delle funzioni razionali nell'indeterminata ${\displaystyle t^{p}}$. Valgono le seguenti osservazioni:

• ${\displaystyle t\notin K}$, perché se lo fosse, si avrebbe ${\displaystyle t={\frac {f(t^{p})}{g(t^{p})}}}$ dove ${\displaystyle f(t),g(t)}$ sono polinomi in ${\displaystyle F[t]}$, ${\displaystyle g\neq 0}$. Sia ${\displaystyle n={\rm {{gr}(f(t))}}}$ e ${\displaystyle m={\rm {{gr}(g(t))}}}$, allora
  $${\displaystyle t={\frac {f(t^{p})}{g(t^{p})}}}$$

  
  $${\displaystyle \longrightarrow \,t*g(t^{p})=f(t^{p})}$$

  
  e i gradi dei polinomi ai due membri devono essere uguali, cioè ${\displaystyle mp+1=np}$, che non può avvenire.

• ${\displaystyle M=K(t)}$ e ${\displaystyle M\supseteq K}$ è un'estensione algebrica semplice. Mostro che ${\displaystyle M=K(t)}$, e quindi che valgono le due inclusioni: ${\displaystyle K(t)\subseteq M}$ perché ${\displaystyle K\subseteq M}$ e ${\displaystyle t\in M}$; viceversa, ${\displaystyle M=F(t)}$, ${\displaystyle F\subseteq K}$ e quindi ${\displaystyle M\subseteq K(t)}$.

${\displaystyle t}$ è algebrico su ${\displaystyle K}$, perché può essere visto come radice del polinomio ${\displaystyle \psi (x)=x^{p}-t^{p}}$, a coefficienti in ${\displaystyle K}$.

Inoltre, ${\displaystyle \psi (x)}$ è il polinomio minimo di ${\displaystyle t}$ sopra ${\displaystyle K}$. Infatti, in ${\displaystyle M}$ si ha ${\displaystyle \psi (x)=(x-t)^{p}}$ (siamo in caratteristica ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle t\in M}$). Se esiste una fattorizzazione non banale di ${\displaystyle \psi (x)}$ in ${\displaystyle K[x]}$ essa dev'essere della forma:

$${\displaystyle \psi (x)=(x-t)^{a}*(x-t)^{b},\,0<a,b<p}$$

${\displaystyle (x-t)^{a}}$

$${\displaystyle (x-t)^{a}=\sum _{k}{\binom {a}{k}}x^{k}t^{a-k}}$$

$${\displaystyle =x^{a}-atx^{a-1}+{\hbox{termini di grado minore}}}$$

${\displaystyle K}$

${\displaystyle at\in K}$

${\displaystyle a\neq 0}$

${\displaystyle t\in K}$

${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle K}$

${\displaystyle t}$

${\displaystyle K}$

${\displaystyle t}$

${\displaystyle p}$

• Il gruppo ${\displaystyle {\mathcal {G}}(M/K)}$ si riduce all'identità. Infatti, siccome ${\displaystyle M}$ è un'estensione algebrica semplice di ${\displaystyle K}$, si ha ${\displaystyle |M:K|=p}$. Allora preso ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}(M/K)}$, ${\displaystyle t^{g}}$ dev'essere radice di ${\displaystyle \psi (x)}$, però l'unica radice di ${\displaystyle \psi (x)}$ è ${\displaystyle t}$, allora ${\displaystyle t^{g}=t}$, cioè ${\displaystyle g}$ fissa ${\displaystyle K}$ e fissa ${\displaystyle t}$, quindi fissa ${\displaystyle M=K(t)}$, cioè ${\displaystyle g=1}$.
• ${\displaystyle M=K(t)}$ è campo di spezzamento di ${\displaystyle \psi (x)}$ su ${\displaystyle K}$, e ${\displaystyle M\supseteq K}$ non è normale perché ${\displaystyle M}$ non è separabile.