Esempio di campo di spezzamento non normale

==Caratteristica di un campo finito==
Dato un campo <math>K</math> possiamo considerare l'applicazione <math>\eta : \mathbb Z \to K</math> tale che <math>\eta(z) = z 1_K</math>. <math>\eta</math> è un omomorfismo di anelli, e <math>\mathbb Z^\eta \subseteq K</math>. In particolare, siccome <math>K</math> è un campo, <math>\mathbb Z^\eta</math> è un dominio. Se <math>K</math> è finito,<math display="block">\ker \eta :=\{ z \in \mathbb Z \, t.c. \, z*1_K=0_K \} \neq \{0\}</math>(se per assurdo fosse <math>\ker \eta=\{0\}</math>, <math>K</math> contiene <math>K^\eta</math> che sarebbe una copia isomorfa di <math>\mathbb Z</math> e non sarebbe  finito).

Perché <math>\frac{\mathbb Z}{\ker \eta}</math> sia un dominio, dev'essere <math>\ker \eta = (p)</math> con <math>p</math> numero primo. Allora si dice che <math>K</math> ha caratteristica <math>p</math>.
Notiamo anche che  <math>K^\eta \cong F_p</math>, dove pongo <math>F_p = \frac{\mathbb Z}{p\mathbb Z}</math> (campo con <math>p</math> elementi).
Identificando <math>K^\eta</math> con <math>F_p</math>, segue che <math>F_p</math> è un sottocampo di <math>K</math>; in particolare <math>F_p</math> coincide con il campo primo di <math>K</math> ovvero  l'intersezione di tutti i sottocampi di <math>K</math>.

==Ordine di un campo finito==
<math>K</math> campo finito di caratteristica <math>p</math> avrà necessariamente ordine <math>p^n</math> per un certo <math>n \ge 1</math>.  Infatti <math>K</math> può essere considerato come spazio vettoriale su <math>F_p</math>. La dimensione di <math>K</math> come spazio vettoriale su <math>F_p</math> dev'essere necessariamente finita, diciamo <math>n</math>, allora esiste una base <math>\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}</math> per <math>K</math> su <math>F_p</math>. Ogni elemento di <math>K</math> si scrive in modo unico come<math display="block">\sum_{i=1}^n a_i \alpha_i, \quad a_i \in F_p.</math>e quindi gli elementi di <math>K</math> sono <math>p^n</math> perché ciascun <math>a_i</math> può essere scelto in <math>p</math> modi.

{{InizioTeorema|titolo=|number=2.6|anchor=Teorema2_6}}
Un campo <math>K</math> ha <math>p^n</math> elementi se e solo se <math>K</math> è il campo di spezzamento su <math>F_p</math> di <math>f(x)=x^{p^n}-x</math>.
{{FineTeorema}}

{{InizioDimostrazione}}
<math>1 \longrightarrow 2</math>: Sia <math>K</math> un campo con <math>o(K)=p^n</math>, allora <math>K^*</math> ha <math>p^n-1</math> elementi ed è un gruppo; segue che per ogni <math>\alpha \in K^*</math>, <math>\alpha^{p^n-1} = 1</math>, equivalentemente per ogni <math>\alpha \in K</math>, <math>\alpha^{p^n} = \alpha</math>.
Allora <math>f(x)</math> ha <math>p^n</math> radici distinte in <math>K</math> e pertanto si spezza in fattori lineari su <math>K</math>. Siccome le radici di <math>f(x)</math> costituiscono tutto <math>K</math>  abbiamo che <math>K</math> è campo di spezzamento di <math>f(x)</math> su <math>F_p</math>.
<math>2 \longrightarrow 1</math>: Viceversa, prendo <math>M</math> campo di spezzamento di <math>f(x)</math> su <math>F_p</math>, sia <math>E</math> l'insieme delle radici di <math>f(x)</math> in <math>M</math>, cioè<math display="block">E = \{ \alpha \in M \, t.c. \, \alpha^{p^n} = \alpha\}</math>'''Affermiamo che <math>E</math> è un campo''', infatti:

*<math>0,1 \in E</math>;
*''chiusura rispetto alla somma'': per <math>\alpha,\beta \in E</math>, segue che <math>\alpha+\beta \in E</math>, infatti<math display="block">(\alpha+\beta)^{p^n} = \alpha^{p^n}+\beta^{p^n} = \alpha+\beta,</math>dove  nel secondo passaggio ho sfruttato il fatto che il campo ha caratteristica <math>p</math>;

*''chiusura rispetto al prodotto'': dati <math>\alpha,\beta \in E</math>, anche <math>\alpha\beta \in E</math> infatti si ha<math display="block">(\alpha \beta)^{p^n} = \alpha^{p^n} \beta^{p^n} = \alpha \beta;</math>

*''chiusura rispetto agli inversi'': per <math>\alpha \in E</math>, <math>-\alpha \in E</math> infatti  <math>(-\alpha)^{p^n} = -\alpha^{p^n} = -\alpha;</math>
se <math>\alpha \neq 0</math>, <math>\alpha^{-1} \in E</math> infatti <math>(\alpha^{-1})^{p^n} = (\alpha^{p^n})^{-1} = \alpha^{-1}</math>.

Segue che <math>E</math> è un campo, la cardinalità di <math>E</math> è <math>p^n</math> perché <math>f'(x) = -1</math> e quindi <math>f(x)</math> non ha radici multiple. 

<math>E</math> contiene <math>F_p</math>, allora <math>E</math> deve necessariamente coincidere con <math>M</math>.
{{FineDimostrazione}}

Da quest'ultima proposizione, per i risultati sull'esistenza e unicità dei campi di spezzamento, segue che dati un primo <math>p</math> e un intero <math>n \ge 1</math>, esiste sempre un campo di ordine <math>p^n</math>, e due campi di ordine <math>p^n</math> sono isomorfi tra loro.

==Normalità delle estensioni finite  e gruppo di Galois==
'''Mostriamo che, dati <math>M,K</math> campi finiti, l'estensione <math>M \supseteq K</math> è normale, e <math>\mathcal G(M/K)</math> è ciclico'''.

'''Mostro prima che basta considerare il caso in cui <math>K=F_p</math>''': in generale, considero la catena di estensioni <math>M \supseteq K \supseteq F_p</math>, allora <math>M \supseteq F_p</math> normale implica <math>M \supseteq K</math> normale. Infatti, sia <math>M \supseteq F_p</math> normale, allora <math>M</math> è campo di spezzamento su <math>F_p</math> di un polinomio i cui fattori irriducibili sono separabili. Allora <math>M</math> è anche campo di spezzamento su <math>K</math> di tale polinomio, e i suoi fattori irriducibili in <math>K[x]</math> devono dividere i fattori irriducibili in <math>F_p[x]</math>. Siccome i secondi sono separabili per ipotesi, lo sono anche i primi, e quindi segue che <math>M \supseteq K</math> è normale. Inoltre, se <math>\mathcal G(M/F_p)</math> è ciclico, anche <math>\mathcal G(M/K)</math>, che è un sottogruppo in esso, è ciclico.

Consideriamo allora il caso <math>K = F_p</math>, identificando <math>M</math> con <math>F_{p^n}</math>.

NORMALITÀ DI <math>M \supseteq K</math>: L'estensione <math>M \supseteq K</math> è normale perché <math>M</math> è campo di spezzamento su <math>F_p</math> di <math>f(x)=x^{p^n}-x</math> che non ha radici multiple.
CICLICITÀ DEL GRUPPO DI GALOIS: considero l'omomorfismo di Frobenius <math>\phi:M \to M</math> tale che <math>\phi(\alpha) = \alpha^p</math>. Osservo che:

#<math>\phi</math> è un omomorfismo perché#*<math>\phi(\alpha+\beta) = (\alpha+\beta)^p = \alpha^p+\beta^p = \phi(\alpha)+\phi(\beta)</math>;#*<math>\phi(\alpha \beta) = (\alpha \beta)^p = \alpha^p \beta^p = \phi(\alpha)*\phi(\beta)</math>.
#<math>\phi</math> è iniettivo perché manda 1 in sé, è anche suriettivo perché <math>M</math> è un campo finito;
#<math>\phi</math> fissa il campo <math>F_p</math> elemento per elemento, cioè per ogni <math>a \in F_p</math>, <math>\phi(a) = a^p = a</math>.

Segue quindi che <math>\phi \in \mathcal G(M/K)</math>.

'''Determino l'ordine di <math>\phi</math>''' e considero le sue potenze: per ogni <math>k</math>, <math>\phi^k:M \to M</math> è tale che <math>\phi^k(\alpha) = \alpha^{p^k}</math>.  Allora <math>\phi^n=1</math>, perché è tale che <math>\alpha \mapsto \alpha^{p^n} = \alpha</math>.

Se per assurdo <math>o(\phi) < n</math>, esiste <math>d<n</math> tale che <math>\phi^d = 1</math>, allora per ogni <math>\alpha\in M</math> si avrebbe <math>\alpha^{p^d} = \alpha</math>: quindi gli elementi di <math>M</math> sarebbero radici del polinomio <math>f(x)=x^{p^d}-x</math>; ma questo polinomio ha esattamente <math>p^d</math> radici distinte, e gli elementi di <math>M</math> sono <math>p^n > p^d</math>, assurdo. Allora <math>o(\phi)=n</math>.

Segue quindi che <math>\mathcal G(M/K)</math> contiene <math><\phi>= \{1,\phi,\phi^2,\dots,\phi^{n-1}\}</math>.
Ma <math>o(\mathcal G(M/K)) = |M:K| = n</math>, e quindi <math>\mathcal G(M/K)</math> coincide con il gruppo ciclico generato da <math>\phi</math>.

Un gruppo ciclico <math>G</math> di ordine <math>n</math> ha uno e un solo sottogruppo ciclico di ordine <math>m</math> per ogni <math>m</math> divisore di <math>n</math>. Allora <math>F_{p^n}</math> ha uno e un solo sottocampo di ordine <math>p^m</math> per ogni <math>m</math> divisore di <math>n</math>.

==Esempio di un campo di spezzamento non normale==
In caratteristica 0, ogni campo di spezzamento da luogo a una estensione normale perché ogni polinomio irriducibile è separabile.

Non posso nemmeno scegliere di lavorare con campi finiti, infatti '''mostro che ogni polinomio irriducibile su un campo finito è anche separabile'''. Sia <math>K=F_p</math> e <math>f(x)</math> un polinomio in <math>K[x]</math> monico e irriducibile; sia <math>\alpha</math> una radice di <math>f(x)</math>, e considero <math>K(\alpha) \supseteq K</math>. Si ha <math>|K(\alpha):K| = \rm{gr}(f(x)) = n</math>, allora <math>K(\alpha) = F_{p^n}</math>. <math>F_{p^n} \supseteq F_p</math> è normale per le osservazioni precedenti, quindi <math>K(\alpha) \supseteq K</math> è normale, e <math>f(x)</math> ammette una radice in <math>K(\alpha)</math>. Segue quindi che <math>f(x)</math> si spezza su <math>K(\alpha)</math> in fattori lineari distinti, e inparticolare è separabile.

Questo argomento si può generalizzare al caso di <math>K=F_{p^s}</math> con <math>s</math> intero.

COSTRUZIONE DEL CAMPO DI SPEZZAMENTO NON NORMALE: Sia <math>F = F_p</math>, <math>t</math> un'indeterminata su <math>F</math> e consideriamo <math>M=F(t)</math> campo delle funzioni razionali nell'indeterminata <math>t</math> a coefficienti in <math>F</math>.  Sia <math>K=F(t^p)</math>, campo delle funzioni razionali nell'indeterminata <math>t^p</math>. Valgono le seguenti osservazioni:

*'''<math>t \notin K</math>''', perché se lo fosse, si avrebbe <math>t = \frac{f(t^p)}{g(t^p)}</math> dove <math>f(t), g(t)</math> sono polinomi in <math>F[t]</math>, <math>g \neq 0</math>.  Sia <math>n = \rm{gr}(f(t))</math> e <math>m = \rm{gr}(g(t))</math>, allora<math display="block">t = \frac{f(t^p)}{g(t^p)}</math><math display="block">\longrightarrow \, t*g(t^p) = f(t^p)</math>e i gradi dei polinomi ai due membri devono essere uguali, cioè <math>mp+1 = np</math>, che non può avvenire.

*'''<math>M=K(t)</math> e <math>M \supseteq K</math> è un'estensione algebrica semplice'''. Mostro che <math>M=K(t)</math>, e quindi che valgono le due inclusioni: <math>K(t) \subseteq M</math> perché <math>K \subseteq M</math> e <math>t \in M</math>; viceversa, <math>M = F(t)</math>, <math>F     \subseteq K</math> e quindi <math>M \subseteq K(t)</math>.

<math>t</math> è algebrico su <math>K</math>, perché può essere visto come radice del polinomio <math>\psi(x) = x^p-t^p</math>, a coefficienti in <math>K</math>.

Inoltre, <math>\psi(x)</math> è il polinomio minimo di <math>t</math> sopra <math>K</math>. Infatti, in <math>M</math> si ha <math>\psi(x) =(x-t)^p</math> (siamo in caratteristica <math>p</math> e <math>t \in M</math>). Se esiste una fattorizzazione non banale di
<math>\psi(x)</math> in <math>K[x]</math> essa dev'essere della forma:<math display="block">\psi(x) = (x-t)^a*(x-t)^b, \, 0<a,b<p</math>Sviluppando <math>(x-t)^a</math> ottengo<math display="block">(x-t)^a = \sum_k \binom{a}{k} x^k t^{a-k}</math><math display="block">= x^a-at x^{a-1}+\hbox{termini di grado minore}</math>Siccome i coefficienti di questo polinomio devono stare in <math>K</math>, in particolare si ha <math>at \in K</math>, e siccome <math>a \neq 0</math>, <math>t \in K</math>, ma questo non avviene per quanto detto prima.
Allora <math>\psi(x)</math> è irriducibile su <math>K</math> ed è il polinomio minimo di <math>t</math> su <math>K</math>. Ha come unica radice <math>t</math> di molteplicità <math>p</math>.

*'''Il gruppo <math>\mathcal G(M/K)</math> si riduce all'identità'''. Infatti, siccome <math>M</math> è un'estensione algebrica semplice di <math>K</math>, si ha <math>|M:K| = p</math>. Allora preso <math>g \in \mathcal G(M/K)</math>, <math>t^g</math> dev'essere radice di <math>\psi(x)</math>, però l'unica radice di <math>\psi(x)</math> è <math>t</math>, allora <math>t^g = t</math>, cioè <math>g</math> fissa <math>K</math> e fissa <math>t</math>, quindi fissa <math>M=K(t)</math>, cioè <math>g=1</math>.
*<math>M=K(t)</math> è campo di spezzamento di <math>\psi(x)</math> su <math>K</math>, e <math>M \supseteq K</math> non è normale perché <math>M</math> non è separabile.