Caratterizzazione delle estensioni normali di grado finito

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Separabilità[modifica | modifica wikitesto]

Sia ${\displaystyle K}$ un campo, ${\displaystyle f(x)\in K[x]}$ un polinomio non nullo, ${\displaystyle {\bar {K}}}$ una chiusura algebrica di ${\displaystyle K}$. Allora un elemento ${\displaystyle \alpha \in {\bar {K}}}$, con ${\displaystyle f(\alpha )=0}$, è una radice multipla di ${\displaystyle f(x)}$ (cioè ${\displaystyle (x-\alpha )^{2}\mid f(x)}$) se e solo se, posto ${\displaystyle f'(x)}$ la derivata formale di ${\displaystyle f(x)}$, ${\displaystyle f'(\alpha )=0}$.

${\displaystyle 1\longrightarrow 2}$: se ${\displaystyle \alpha }$ è una radice multipla di ${\displaystyle f(x)}$, allora ${\displaystyle f(x)=(x-\alpha )^{2}*g(x)}$, e derivando ottengo

$${\displaystyle f'(x)=(x-\alpha )^{2}*g'(x)+(x-\alpha )g(x)}$$

${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle f'(\alpha )=0}$

${\displaystyle 2\longrightarrow 1}$: viceversa, so che ${\displaystyle \alpha }$ è una radice di ${\displaystyle f}$, quindi ${\displaystyle f(x)=(x-\alpha )h(x)}$. Derivando:

$${\displaystyle f'(x)=h(x)+(x-\alpha )h'(x)}$$

${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle f'(\alpha )=0}$

${\displaystyle h(\alpha )=0}$

${\displaystyle x-\alpha \mid h(x)}$

${\displaystyle h(x)=(x-\alpha )g(x)}$

${\displaystyle f(x)=(x-\alpha )^{2}g(x)}$

${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle f(x)}$

Sia ${\displaystyle K}$ un campo, ${\displaystyle {\bar {K}}}$ una chiusura algebrica di ${\displaystyle K}$, e ${\displaystyle f(x)}$ un polinomio in ${\displaystyle K[x]}$. Allora

1. ${\displaystyle f(x)}$ ha una radice multipla se e solo se, detto ${\displaystyle d(x)=MCD(f(x),f'(x))}$, risulta ${\displaystyle d(x)\neq 1}$.In tal caso le radici multiple di ${\displaystyle f(x)}$ sono tutte e sole le radici di ${\displaystyle d(x)}$.
2. se inoltre ${\displaystyle f}$ è irriducibile, ${\displaystyle f(x)}$ ha radici multiple se e solo se ${\displaystyle f'(x)=0}$.

1. ${\displaystyle \alpha \in {\bar {K}}}$ è una radice multipla di ${\displaystyle f(x)}$ se e solo se ${\displaystyle f(\alpha )=0=f'(\alpha )}$, quindi se e solo se ${\displaystyle x-\alpha \mid f(x)}$ e ${\displaystyle x-\alpha \mid f'(x)}$, cioè ${\displaystyle x-\alpha \mid MCD(f(x),f'(x))}$, ovvero ${\displaystyle \alpha }$ è una radice di ${\displaystyle d(x)}$.
2. siccome ${\displaystyle f}$ è irriducibile, ${\displaystyle d(x)=1}$ oppure ${\displaystyle d(x)=f(x)}$. Si esclude la possibilità ${\displaystyle d(x)=1}$ altrimenti ${\displaystyle f(x)}$ non avrebbe radici multiple, e quindi ${\displaystyle f(x)}$ ha radici multiple se e solo se ${\displaystyle MCD(f,f')=f(x)}$, ma allora ${\displaystyle f(x)\mid f'(x)}$. Se ${\displaystyle f'(x)\neq 0}$ questo non è possibile perché ${\displaystyle f'(x)}$ ha grado minore di ${\displaystyle f(x)}$. L'unica possibilità è quindi ${\displaystyle f'(x)=0}$.

• Siano ${\displaystyle K}$ un campo, ${\displaystyle {\bar {K}}}$ una chiusura algebrica di ${\displaystyle K}$, sia ${\displaystyle f(x)\in K[x]}$ un polinomio irriducibile, dico che ${\displaystyle f(x)}$ è separabile su ${\displaystyle K}$ se le sue radici in ${\displaystyle {\bar {K}}}$ sono tutte distinte.
• Data un'estensione di campi ${\displaystyle M\supseteq K}$, allora ${\displaystyle \alpha \in M}$ algebrico su ${\displaystyle K}$ si dice separabile (su ${\displaystyle K}$) se è separabile il polinomio minimo di ${\displaystyle \alpha }$ in ${\displaystyle K[x]}$.
• Se ${\displaystyle M\supseteq K}$ è algebrica, dico che è separabile su ${\displaystyle K}$ se ogni elemento di ${\displaystyle M}$ è separabile su ${\displaystyle K}$.

Sia ${\displaystyle K}$ un campo, ${\displaystyle f(x)\in K[x]}$ un polinomio non costante, allora

• se la caratteristica di ${\displaystyle K}$ è 0, la derivata ${\displaystyle f'(x)}$ è un polinomio non nullo.
• Se la caratteristica di ${\displaystyle K}$ è un numero primo positivo, ${\displaystyle f'(x)=0}$ se e solo se

${\displaystyle f(x)=g(x^{p})}$ per ${\displaystyle g(x)}$ polinomio in ${\displaystyle K[x]}$.

$${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i},\,a_{n}\neq 0}$$

$${\displaystyle f'(x)=\sum _{i=1}^{n}ia_{i}x^{i-1},}$$

${\displaystyle a_{n}\neq 0}$

${\displaystyle na_{n}\neq 0}$

${\displaystyle f'(x)\neq 0}$

In caratteristica ${\displaystyle p}$,

$${\displaystyle f'(x)=\sum _{i}ia_{i}x^{i-1}=0}$$

${\displaystyle ia_{i}=0\in K,\;\forall i}$

${\displaystyle p\mid a_{i}}$

${\displaystyle p\mid i}$

Se ${\displaystyle p}$ divide ${\displaystyle a_{i}}$ il monomio ${\displaystyle a_{i}x^{i}}$ non e' presente in ${\displaystyle f(x)}$. Rimangono allora in ${\displaystyle f(x)}$ i monomi ${\displaystyle a_{i}x^{i}}$ con ${\displaystyle p\mid i}$. Segue che ${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}}$ è della forma ${\displaystyle b_{m}x^{pn}+b_{m-1}x^{p(m-1)}+\dots +b_{1}x^{p}+b_{0}}$.

Se chiamo ${\displaystyle g(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\dots +b_{1}x+b_{0}}$ , si ha che ${\displaystyle f(x)=g(x^{p})}$. E' anche chiaro che, viceversa, se ${\displaystyle f(x)=g(x^{p})}$ allora ${\displaystyle f'(x)=0}$.

In particolare, i polinomi di grado 1 sono separabili.

Sia ${\displaystyle M\supseteq K}$ un'estensione normale di grado finito. Sono equivalenti

1. l'estensione ${\displaystyle M\supseteq K}$ è normale
2. ${\displaystyle M}$ è separabile su ${\displaystyle K}$ e ${\displaystyle M}$ è campo di spezzamento su ${\displaystyle K}$
3. ${\displaystyle M}$ è campo di spezzamento su ${\displaystyle K}$ di un polinomio i cui fattori irriducibili sono separabili.

Supponiamo di avere una catena di estensioni ${\displaystyle M\supseteq L\supseteq K}$, e supponiamo che ${\displaystyle M}$ sia un campo di spezzamento di ${\displaystyle f(x)}$ su ${\displaystyle K}$. Allora ${\displaystyle M}$ è campo di spezzamento di ${\displaystyle f(x)}$ su ${\displaystyle L}$.

Posso considerare ${\displaystyle f(x)}$ come un polinomio a coefficienti in ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle f(x)}$ si spezza in fattori lineari in ${\displaystyle M[x]}$ perché ${\displaystyle M}$ è campo di spezzamento di ${\displaystyle f(x)}$ su ${\displaystyle K}$ per ipotesi. Devo provare la minimalità di ${\displaystyle M}$. Se chiamo ${\displaystyle M_{0}}$ il campo di spezzamento di ${\displaystyle f}$ su ${\displaystyle L}$, allora ${\displaystyle M_{0}\subseteq M}$ per la minimalità di ${\displaystyle M_{0}}$ come campo di spezzamento. Viceversa, siccome ${\displaystyle M_{0}}$ è campo di spezzamento di ${\displaystyle f}$ su ${\displaystyle L}$ allora ${\displaystyle M_{0}}$ contiene ${\displaystyle L}$ e dunque contiene ${\displaystyle K}$ e contiene tutte le radici di ${\displaystyle f(x)}$. Segue che ${\displaystyle M\subset M_{0}}$, cioè, per le due inclusioni, ${\displaystyle M=M_{0}}$.

Se ${\displaystyle M}$ è campo di spezzamento su ${\displaystyle L}$ di un polinomio ${\displaystyle f(x)\in K[x]}$ e ${\displaystyle L}$ è generato su ${\displaystyle K}$ da alcune radici di ${\displaystyle f(x)}$, allora ${\displaystyle M}$ è campo di spezzamento di ${\displaystyle f}$ su ${\displaystyle K}$.

Sia ${\displaystyle M_{0}}$ il campo di spezzamento di ${\displaystyle f}$ su ${\displaystyle K}$ e mostro che ${\displaystyle M=M_{0}}$.

Inclusione 1: ${\displaystyle f(x)\in K[x]}$ si spezza su ${\displaystyle M}$, e ${\displaystyle K\subseteq L\subseteq M}$ quindi ${\displaystyle M_{0}\subseteq M}$ per la minimalità di ${\displaystyle M_{0}}$.

Inclusione 2: Sia ${\displaystyle L=K(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r})}$ con ${\displaystyle \alpha _{i}}$ radice di ${\displaystyle f(x)}$. Allora ${\displaystyle M_{0}}$ contiene ${\displaystyle K}$ essendo campo di spezzamento di ${\displaystyle f}$ su ${\displaystyle K}$, e contiene tutte le radici di ${\displaystyle f(x)}$, quindi contiene ${\displaystyle L}$.

Si ha quindi ${\displaystyle M=M_{0}}$.