Caratterizzazione delle estensioni normali di grado finito

==Separabilità==
{{InizioProposizione|title=|number=2.5|anchor=Proposizione2_5}}
Sia <math>K</math> un campo, <math>f(x) \in K[x]</math> un polinomio non nullo, <math>\bar K</math> una chiusura algebrica di <math>K</math>. Allora un elemento <math>\alpha \in \bar K</math>, con <math>f(\alpha)=0</math>,  è una radice multipla di <math>f(x)</math> (cioè <math>(x-\alpha)^2 \mid f(x)</math>) se e solo se, posto <math>f'(x)</math> la derivata formale di <math>f(x)</math>, <math>f'(\alpha)=0</math>.
{{FineProposizione}}

{{InizioDimostrazione}}
<math>1 \longrightarrow 2</math>: se <math>\alpha</math> è una radice multipla di <math>f(x)</math>, allora <math>f(x) = (x-\alpha)^2*g(x)</math>, e derivando ottengo<math display="block">f'(x) = (x-\alpha)^2*g'(x)+(x-\alpha) g(x)</math>e valutando in <math>\alpha</math>, ovviamente <math>f'(\alpha)=0</math>.

<math>2 \longrightarrow 1</math>: viceversa, so che <math>\alpha</math> è una radice di <math>f</math>, quindi <math>f(x) = (x-\alpha) h(x)</math>. Derivando:
<math display="block">f'(x) = h(x)+(x-\alpha) h'(x)</math>Se valuto in <math>\alpha</math>, siccome per ipotesi <math>f'(\alpha)=0</math>, segue che <math>h(\alpha)=0</math>, e quindi <math>x-\alpha \mid h(x)</math> e <math>h(x) = (x-\alpha) g(x)</math> e <math>f(x) = (x-\alpha)^2 g(x)</math>, cioè <math>\alpha</math> è radice multipla di <math>f(x)</math>.
{{FineDimostrazione}}



{{InizioOsservazione|title=|number=2.10|anchor=Osservazione2_10}}
Sia <math>K</math> un campo, <math>\bar K</math> una chiusura algebrica di <math>K</math>, e <math>f(x)</math> un polinomio in <math>K[x]</math>. Allora

#<math>f(x)</math> ha una radice multipla se e solo se, detto <math>d(x) = MCD(f(x), f'(x))</math>, risulta <math>d(x) \neq 1</math>.In tal caso le radici multiple di <math>f(x)</math> sono tutte e sole le radici di <math>d(x)</math>.
#se inoltre <math>f</math> è irriducibile, <math>f(x)</math> ha radici multiple  se e solo se <math>f'(x)=0</math>.
{{FineOsservazione}}

{{InizioDimostrazione}}
#<math>\alpha \in \bar K</math> è una radice multipla di <math>f(x)</math> se e solo se <math>f(\alpha) = 0 = f'(\alpha)</math>, quindi se e solo se <math>x-\alpha \mid f(x)</math> e <math>x-\alpha \mid f'(x)</math>, cioè <math>x-\alpha \mid MCD(f(x), f'(x))</math>, ovvero <math>\alpha</math> è una radice di <math>d(x)</math>.
#siccome <math>f</math> è irriducibile, <math>d(x)=1</math> oppure <math>d(x) = f(x)</math>. Si esclude la possibilità <math>d(x)=1</math> altrimenti <math>f(x)</math> non avrebbe radici multiple, e quindi <math>f(x)</math> ha radici multiple se e solo se <math>MCD(f,f') = f(x)</math>, ma allora <math>f(x)    \mid f'(x)</math>. Se <math>f'(x) \neq 0</math> questo non è possibile perché  <math>f'(x)</math> ha grado minore di <math>f(x)</math>. L'unica possibilità è quindi <math>f'(x)=0</math>.
{{FineDimostrazione}}



{{InizioDefinizione|title=|number=2.5|anchor=Definizione2_5}}
*Siano <math>K</math> un campo, <math>\bar K</math> una chiusura algebrica di <math>K</math>, sia <math>f(x) \in K[x]</math> un polinomio irriducibile, dico che <math>f(x)</math> è ''separabile'' su <math>K</math> se le sue radici in <math>\bar K</math> sono tutte distinte.
*Data un'estensione di campi <math>M \supseteq K</math>, allora <math>\alpha \in M</math> algebrico su <math>K</math>  si dice ''separabile'' (su <math>K</math>) se è separabile il polinomio minimo di <math>\alpha</math> in <math>K[x]</math>.
*Se <math>M \supseteq K</math> è algebrica, dico che è separabile su <math>K</math> se ogni elemento di <math>M</math> è separabile su <math>K</math>.
{{FineDefinizione}}



{{InizioOsservazione|title=|number=2.11|anchor=Osservazione2_11}}
Sia <math>K</math> un campo, <math>f(x) \in K[x]</math> un polinomio non costante, allora

*se la caratteristica di <math>K</math> è 0, la derivata <math>f'(x)</math> è un polinomio non nullo.
*Se la caratteristica di <math>K</math> è un numero primo positivo, <math>f'(x) =0</math> se e solo se
<math>f(x) = g(x^p)</math> per <math>g(x)</math> polinomio in <math>K[x]</math>.
{{FineOsservazione}}

{{InizioDimostrazione}}
<math display="block">f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i, \, a_n \neq 0</math>quindi<math display="block">f'(x) = \sum_{i=1}^n i a_i x^{i-1},</math>e in un campo di caratteristica 0, <math>a_n \neq 0</math> implica <math>na_{n}\neq 0</math> ovvero <math>f'(x) \neq 0</math>.

In caratteristica <math>p</math>,
<math display="block">f'(x) = \sum_i i a_i x^{i-1} =0</math>quando <math>ia_i =0 \in K,\; \forall i</math>. Questo accade se <math>p\mid a_{i}</math>  oppure <math>p \mid i</math>.

Se <math>p</math> divide <math>a_{i}</math> il monomio <math>a_{i}x^i</math> non e' presente in <math>f(x)</math>. Rimangono allora in <math>f(x)</math> i monomi <math>a_{i}x^{i}</math> con <math>p \mid i</math>.
Segue che  <math>f(x) = a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\dots +a_1 x+a_0</math> è della forma <math>b_m x^{pn}+ b_{m-1} x^{p(m-1)}+\dots +b_1 x^p+b_0</math>.

Se chiamo <math>g(x) = b_m x^m+b_{m-1} x^{m-1}+\dots +b_1 x+b_0</math> , si ha che <math>f(x) = g(x^p)</math>.
E' anche chiaro che, viceversa, se <math>f(x) = g(x^p)</math> allora <math>f'(x)=0</math>.
{{FineDimostrazione}}

In particolare, i polinomi di grado 1 sono separabili.

In caratteristica 0 un polinomio irriducibile è separabile.{{InizioTeorema|title=caratterizzazione delle estensioni normali di grado finito|number=2.4|anchor=Teorema2_4}}
Sia <math>M \supseteq K</math> un'estensione normale di grado finito. Sono equivalenti

#l'estensione <math>M \supseteq K</math> è normale
#<math>M</math> è separabile su <math>K</math> e <math>M</math> è campo di spezzamento su <math>K</math>
#<math>M</math> è campo di spezzamento su <math>K</math> di un polinomio i cui fattori irriducibili sono separabili.
{{FineTeorema}}

Prima della dimostrazione sono necessarie le seguenti osservazioni.{{InizioOsservazione|title=|number=2.12|anchor=Osservazione2_12}}
Supponiamo di avere una catena di estensioni <math>M \supseteq L \supseteq K</math>, e supponiamo che <math>M</math> sia un campo di spezzamento di <math>f(x)</math> su <math>K</math>. Allora <math>M</math> è campo di spezzamento di <math>f(x)</math> su <math>L</math>.
{{FineOsservazione}}

{{InizioDimostrazione}}
Posso considerare <math>f(x)</math> come un polinomio a coefficienti in <math>L</math>, <math>f(x)</math> si spezza in fattori lineari in <math>M[x]</math> perché <math>M</math> è campo di spezzamento di <math>f(x)</math> su <math>K</math> per ipotesi. Devo provare la minimalità di <math>M</math>. Se chiamo <math>M_0</math> il campo di spezzamento di <math>f</math> su <math>L</math>, allora <math>M_0 \subseteq M</math> per la minimalità di <math>M_0</math> come campo di spezzamento. Viceversa, siccome <math>M_0</math> è campo di spezzamento di <math>f</math> su <math>L</math> allora <math>M_0</math> contiene <math>L</math> e dunque contiene <math>K</math> e contiene tutte le radici di <math>f(x)</math>. Segue che  <math>M \subset M_0</math>, cioè, per le due inclusioni, <math>M=M_0</math>.
{{FineDimostrazione}}



{{InizioOsservazione|title=|number=2.13|anchor=Osservazione2_13}}
Se <math>M</math> è campo di spezzamento su <math>L</math> di un polinomio <math>f(x) \in K[x]</math> e <math>L</math> è generato su <math>K</math> da alcune radici di <math>f(x)</math>, allora <math>M</math> è campo di spezzamento di <math>f</math> su <math>K</math>.
{{FineOsservazione}}

{{InizioDimostrazione}}
Sia <math>M_0</math> il campo di spezzamento di <math>f</math> su <math>K</math> e mostro che <math>M = M_0</math>.

Inclusione 1: <math>f(x) \in K[x]</math> si spezza su <math>M</math>, e <math>K\subseteq L\subseteq M</math> quindi <math>M_0 \subseteq M</math> per la minimalità di <math>M_0</math>.

Inclusione 2: Sia <math>L=K(\alpha_1, \ldots, \alpha_r)</math> con <math>\alpha_i</math> radice di <math>f(x)</math>. Allora <math>M_0</math> contiene <math>K</math> essendo campo di spezzamento di <math>f</math> su <math>K</math>, e contiene tutte le radici di <math>f(x)</math>, quindi contiene <math>L</math>.

Si ha quindi <math>M = M_0</math>.
{{FineDimostrazione}}