Definizione 3.8
Sia
un'estensione normale di grado finito, e considero
. Se
, definiamo


Valgono le seguenti osservazioni:
e
stanno in
. Infatti, dato
, se lo applico alla traccia ottengo:

infatti l'insieme

è uguale al gruppo di partenza. Allora

viene fissato da ogni elemento di

, e siccome

è normale, segue che

.
Vale un discorso analogo per la norma.
è additiva e
è moltiplicativa. Infatti

e per le proprietà dei morfismi:


e vale un discorso analogo per la norma.
- Per
,
e
. Infatti
viene fissato da tutti gli elementi del gruppo di Galois.
Esercizio 3.1
Sia
un campo di caratteristica 0, allora l'applicazione traccia
è suriettiva.
Dimostrazione
Per
, si ha che


e siccome

viene fissato dai

:


L'applicazione è

-lineare, e

, allora è necessariamente suriettiva essendo diversa dall'applicazione banale.