Traccia e norma

Definizione 3.8

Sia $M\supseteq K$$M\supseteq K$ un'estensione normale di grado finito, e considero ${\mathcal {G}}(M/K)=\{g_{1},g_{2},\dots ,g_{n}\}$${\mathcal {G}}(M/K)=\{g_{1},g_{2},\dots ,g_{n}\}$. Se $\alpha \in M$$\alpha \in M$, definiamo

$$T(\alpha )=\alpha ^{g_{1}}+\alpha ^{g_{2}}+\dots +\alpha ^{g_{n}},\,{\rm {{traccia\;di\;}\alpha }}$$

$$T(\alpha )=\alpha ^{g_{1}}+\alpha ^{g_{2}}+\dots +\alpha ^{g_{n}},\,{\rm {{traccia\;di\;}\alpha }}$$

$$N(\alpha )=\alpha ^{g_{1}}*\alpha ^{g_{2}}*\dots *\alpha ^{g_{n}},\,{\rm {{norma\;di\;}\alpha }}$$

$$N(\alpha )=\alpha ^{g_{1}}*\alpha ^{g_{2}}*\dots *\alpha ^{g_{n}},\,{\rm {{norma\;di\;}\alpha }}$$

 

Valgono le seguenti osservazioni:

• $T(\alpha )$$T(\alpha )$ e $N(\alpha )$$N(\alpha )$ stanno in $K$$K$. Infatti, dato $g\in {\mathcal {G}}(M/K)$$g\in {\mathcal {G}}(M/K)$, se lo applico alla traccia ottengo:

$$(T(\alpha ))^{g}=\alpha ^{g_{1}g}+\alpha ^{g_{2}g}+\dots +\alpha ^{g_{n}g}=T(\alpha )$$

$$(T(\alpha ))^{g}=\alpha ^{g_{1}g}+\alpha ^{g_{2}g}+\dots +\alpha ^{g_{n}g}=T(\alpha )$$

infatti l'insieme $\{g_{1}g,\,g_{2}g,\,\dots ,g_{n}g\}$$\{g_{1}g,\,g_{2}g,\,\dots ,g_{n}g\}$ è uguale al gruppo di partenza. Allora $T(\alpha )$$T(\alpha )$ viene fissato da ogni elemento di ${\mathcal {G}}(M/K)$${\mathcal {G}}(M/K)$, e siccome $M\supseteq K$$M\supseteq K$ è normale, segue che $\alpha \in K$$\alpha \in K$.

Vale un discorso analogo per la norma.

• $T(\alpha )$$T(\alpha )$ è additiva e $N(\alpha )$$N(\alpha )$ è moltiplicativa. Infatti

$$T(\alpha +\beta )=(\alpha +\beta )^{g_{1}}+(\alpha +\beta )^{g_{2}}+\dots +(\alpha +\beta )^{g_{n}}$$

$$T(\alpha +\beta )=(\alpha +\beta )^{g_{1}}+(\alpha +\beta )^{g_{2}}+\dots +(\alpha +\beta )^{g_{n}}$$

e per le proprietà dei morfismi:

$$=\alpha ^{g_{1}}+\beta ^{g_{1}}+\alpha ^{g_{2}}+\beta ^{g_{2}}+\dots +\alpha ^{g_{n}}+\beta ^{g_{n}}$$

$$=\alpha ^{g_{1}}+\beta ^{g_{1}}+\alpha ^{g_{2}}+\beta ^{g_{2}}+\dots +\alpha ^{g_{n}}+\beta ^{g_{n}}$$

$$=T(\alpha )+T(\beta ).$$

$$=T(\alpha )+T(\beta ).$$

e vale un discorso analogo per la norma.

• Per $a\in K$$a\in K$, $T(a)=na$$T(a)=na$ e $N(a)=a^{n}$$N(a)=a^{n}$. Infatti $a$$a$ viene fissato da tutti gli elementi del gruppo di Galois.

Esercizio 3.1

Sia $K$$K$ un campo di caratteristica 0, allora l'applicazione traccia $T:M\to K$$T:M\to K$ è suriettiva.

 

Dimostrazione

Per $a\in K,\eta \in M$$a\in K,\eta \in M$, si ha che

$$T(a\eta )=(a\eta )^{g_{1}}+(a\eta )^{g_{2}}+\dots +(a\eta )^{g_{n}}$$

$$T(a\eta )=(a\eta )^{g_{1}}+(a\eta )^{g_{2}}+\dots +(a\eta )^{g_{n}}$$

$$=a^{g_{1}}\eta ^{g_{1}}+a^{g_{2}}\eta ^{g_{2}}+\dots +a^{g_{n}}\eta ^{g_{n}}$$

$$=a^{g_{1}}\eta ^{g_{1}}+a^{g_{2}}\eta ^{g_{2}}+\dots +a^{g_{n}}\eta ^{g_{n}}$$

e siccome $a$$a$ viene fissato dai $g_{i}$$g_{i}$:

$$=a\eta ^{g_{1}}+a\eta ^{g_{2}}+\dots +a\eta ^{g_{n}}$$

$$=a\eta ^{g_{1}}+a\eta ^{g_{2}}+\dots +a\eta ^{g_{n}}$$

$$=aT(\eta ).$$

$$=aT(\eta ).$$

L'applicazione è $K$$K$-lineare, e $|K:K|=1$$|K:K|=1$, allora è necessariamente suriettiva essendo diversa dall'applicazione banale.