Traccia e norma

Versione attuale delle 15:04, 21 mag 2018

Sia ${\displaystyle M\supseteq K}$ un'estensione normale di grado finito, e considero ${\displaystyle {\mathcal {G}}(M/K)=\{g_{1},g_{2},\dots ,g_{n}\}}$. Se ${\displaystyle \alpha \in M}$, definiamo

$${\displaystyle T(\alpha )=\alpha ^{g_{1}}+\alpha ^{g_{2}}+\dots +\alpha ^{g_{n}},\,{\rm {{traccia\;di\;}\alpha }}}$$

$${\displaystyle N(\alpha )=\alpha ^{g_{1}}*\alpha ^{g_{2}}*\dots *\alpha ^{g_{n}},\,{\rm {{norma\;di\;}\alpha }}}$$

Valgono le seguenti osservazioni:

• ${\displaystyle T(\alpha )}$ e ${\displaystyle N(\alpha )}$ stanno in ${\displaystyle K}$. Infatti, dato ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}(M/K)}$, se lo applico alla traccia ottengo:
  $${\displaystyle (T(\alpha ))^{g}=\alpha ^{g_{1}g}+\alpha ^{g_{2}g}+\dots +\alpha ^{g_{n}g}=T(\alpha )}$$

  
  infatti l'insieme ${\displaystyle \{g_{1}g,\,g_{2}g,\,\dots ,g_{n}g\}}$ è uguale al gruppo di partenza. Allora ${\displaystyle T(\alpha )}$ viene fissato da ogni elemento di ${\displaystyle {\mathcal {G}}(M/K)}$, e siccome ${\displaystyle M\supseteq K}$ è normale, segue che ${\displaystyle \alpha \in K}$.

Vale un discorso analogo per la norma.

• ${\displaystyle T(\alpha )}$ è additiva e ${\displaystyle N(\alpha )}$ è moltiplicativa. Infatti
  $${\displaystyle T(\alpha +\beta )=(\alpha +\beta )^{g_{1}}+(\alpha +\beta )^{g_{2}}+\dots +(\alpha +\beta )^{g_{n}}}$$

  

e per le proprietà dei morfismi:

$${\displaystyle =\alpha ^{g_{1}}+\beta ^{g_{1}}+\alpha ^{g_{2}}+\beta ^{g_{2}}+\dots +\alpha ^{g_{n}}+\beta ^{g_{n}}}$$

$${\displaystyle =T(\alpha )+T(\beta ).}$$

• Per ${\displaystyle a\in K}$, ${\displaystyle T(a)=na}$ e ${\displaystyle N(a)=a^{n}}$. Infatti ${\displaystyle a}$ viene fissato da tutti gli elementi del gruppo di Galois.

Sia ${\displaystyle K}$ un campo di caratteristica 0, allora l'applicazione traccia ${\displaystyle T:M\to K}$ è suriettiva.

Per ${\displaystyle a\in K,\eta \in M}$, si ha che

$${\displaystyle T(a\eta )=(a\eta )^{g_{1}}+(a\eta )^{g_{2}}+\dots +(a\eta )^{g_{n}}}$$

$${\displaystyle =a^{g_{1}}\eta ^{g_{1}}+a^{g_{2}}\eta ^{g_{2}}+\dots +a^{g_{n}}\eta ^{g_{n}}}$$

${\displaystyle a}$

${\displaystyle g_{i}}$

$${\displaystyle =a\eta ^{g_{1}}+a\eta ^{g_{2}}+\dots +a\eta ^{g_{n}}}$$

$${\displaystyle =aT(\eta ).}$$

${\displaystyle K}$

${\displaystyle |K:K|=1}$