Lemma di Zorn e relative applicazioni

Definizione 1.5

Sia $(S\leq )$$(S\leq )$ un insieme parzialmente ordinato, allora una catena$T$$T$ è un sottoinsieme di $S$$S$ che sia totalmente ordinato, cioè dati $x,y\in T$$x,y\in T$, $x\leq y$$x\leq y$ o $y\leq x$$y\leq x$.

 

Definizione 1.6

Un maggiorante per $T$$T$ in $S$$S$ è un elemento $s\in S$$s\in S$ tale che per ogni $t\in T$$t\in T$, $t\leq s$$t\leq s$.

 

Lemma di Zorn: Sia $(\Sigma ,\leq )$$(\Sigma ,\leq )$ un insieme non vuoto parzialmente ordinato. Se ogni catena in $\Sigma$$\Sigma$ ammette un maggiorante in $\Sigma$$\Sigma$ allora $\Sigma$$\Sigma$ ha almeno un elemento massimale.

Applicazione 1 esistenza di un ideale massimale

Usando il lemma di Zorn possiamo provare il seguente

Lemma 1.1

Sia $A$$A$ un anello non banale (commutativo e unitario), allora $A$$A$ ha almeno un ideale massimale.

 

Dimostrazione

Prendo l'insieme $\Sigma$$\Sigma$ di tutti gli ideali propri $I$$I$ di $A$$A$ cioè $I\neq (1)$$I\neq (1)$. Per poter applicare il lemma di Zorn, voglio mostrare che ogni catena in questo insieme ha un maggiorante.

Osservo che $\Sigma$$\Sigma$ è non vuoto perché contiene l'ideale banale ridotto al solo 0.

Ordiniamo $\Sigma$$\Sigma$ rispetto all'inclusione, cioè stabiliamo che dati due elementi $I,J\in \Sigma$$I,J\in \Sigma$, $I\leq J$$I\leq J$ se $I\subset J$$I\subset J$.

Sia $\{I_{\alpha }\}_{\alpha \in \lambda }$$\{I_{\alpha }\}_{\alpha \in \lambda }$ una catena in $\Sigma$$\Sigma$. Chiamo $I=\bigcup _{\alpha }I_{\alpha }$$I=\bigcup _{\alpha }I_{\alpha }$ e mostro che $I$$I$ è un elemento di $\Sigma$$\Sigma$:

• $I$$I$ è un ideale dell'anello, mostro ad esempio la chiusura rispetto alla differenza: prendo $x,y\in I$$x,y\in I$, allora esisteranno indici $\alpha ,\beta$$\alpha ,\beta$ tali che $x\in I_{\alpha },y\in I_{\beta }$$x\in I_{\alpha },y\in I_{\beta }$. Siccome sto considerando una catena, $I_{\alpha }\subset I_{\beta }$$I_{\alpha }\subset I_{\beta }$ oppure $I_{\beta }\subset I_{\alpha }$$I_{\beta }\subset I_{\alpha }$, diciamo che $I_{\alpha }\subset I_{\beta }$$I_{\alpha }\subset I_{\beta }$. Allora $x,y\in I_{\beta }$$x,y\in I_{\beta }$, e siccome $I_{\beta }$$I_{\beta }$ è un ideale, è chiuso rispetto alla differenza e $x-y\in I_{\beta }$$x-y\in I_{\beta }$, quindi $x-y\in I$$x-y\in I$.
• $I$$I$ è un ideale proprio, infatti, poiché $1\notin I_{\alpha }\forall \alpha$$1\notin I_{\alpha }\forall \alpha$, $1$$1$ non può stare in $I$$I$.

Di conseguenza $I$$I$ è un maggiorante per la catena considerata, e posso applicare il lemma di Zorn, quindi $\Sigma$$\Sigma$ ha un elemento massimale.

 

Osservazione 1.2

Non si può ripetere lo stesso ragionamento per dimostrare che ogni gruppo ha un sottogruppo massimale (il ragionamento precedente non vale perché, mentre negli anelli esistono due elementi "speciali", 0 e 1, nei gruppi se ne ha solo uno).

 

Lemma 1.2 (generalizzazione)

Sia $A\neq 0$$A\neq 0$ un anello (commutativo e unitario), e $J$$J$ un ideale di $A$$A$ con $J$$J$ proprio, allora esiste un ideale massimale di $A$$A$ che contiene $J$$J$.

 

Dimostrazione

Per la dimostrazione basta ripetere il procedimento precedente, considerando l'insieme $\Sigma$$\Sigma$ degli ideali propri $I$$I$ di $A$$A$ tali che $J\subset I$$J\subset I$ e $I\neq A$$I\neq A$.

 

Applicazione 2 basi in spazi vettoriali

Utilizzando il lemma di Zorn si mostra che ogni spazio vettoriale ammette una base.

Lemma 1.3

Sia $V\neq \{0\}$$V\neq \{0\}$ uno spazio vettoriale sul campo $K$$K$, sia $\Gamma$$\Gamma$ un insieme di generatori per $V$$V$ su $K$$K$ e $S\subset \Gamma$$S\subset \Gamma$ un insieme linearmente indipendente. Allora esiste una base ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$ di $V$$V$ con $S\subseteq {\mathcal {B}}\subseteq \Gamma$$S\subseteq {\mathcal {B}}\subseteq \Gamma$.

 

Dimostrazione

Sia

$$\Sigma =\{T\,t.c.\,S\subseteq T\subseteq \Gamma ,\,T\,linearmente\,indipendente\}$$

$$\Sigma =\{T\,t.c.\,S\subseteq T\subseteq \Gamma ,\,T\,linearmente\,indipendente\}$$

Si ha che $\Sigma \neq \emptyset$$\Sigma \neq \emptyset$ perché contiene almeno $S$$S$.

Considero poi una catena in $\Sigma$$\Sigma$, $\{T_{\alpha }\}_{\alpha \in \Lambda }$$\{T_{\alpha }\}_{\alpha \in \Lambda }$. Chiamo $T=\bigcup _{\alpha }T_{\alpha }$$T=\bigcup _{\alpha }T_{\alpha }$. Allora $S\subset T$$S\subset T$ perché $S\subset T_{\alpha }$$S\subset T_{\alpha }$, inoltre $T$$T$ è linearmente indipendente, quindi $T\in \Sigma$$T\in \Sigma$ ed è un maggiorante per la catena.

Per il lemma di Zorn, $\Sigma$$\Sigma$ ammette almeno un elemento massimale ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$, e sia $W$$W$ il sottospazio generato da ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$ sopra $K$$K$. Voglio mostrare che $V=W$$V=W$ e quindi che ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$ è una base.

Supponiamo per assurdo che $W\neq V$$W\neq V$, allora esisterà $x\in \Gamma$$x\in \Gamma$ tale che $x\notin W$$x\notin W$.

Considero ${\mathcal {B}}\cup \{x\}$${\mathcal {B}}\cup \{x\}$, voglio mostrare che ${\mathcal {B}}\cup \{x\}\in \Sigma$${\mathcal {B}}\cup \{x\}\in \Sigma$, infatti se questo avviene ho una contraddizione perché per i punti precedenti, ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$ è massimale. Mostro che ${\mathcal {B}}\cup \{x\}$${\mathcal {B}}\cup \{x\}$ è linearmente indipendente. Suppongo di avere una combinazione lineare

$$\sum _{y\in {\mathcal {B}}}a_{y}y+bx=0,\,{\textrm {formula}}\ast$$

$$\sum _{y\in {\mathcal {B}}}a_{y}y+bx=0,\,{\textrm {formula}}\ast$$

con $b,a_{y}\in K$$b,a_{y}\in K$. Allora necessariamente $b=0$$b=0$, infatti, se così non fosse, si avrebbe

$$x=-\sum _{y\in {\mathcal {B}}}b^{-1}a_{y}y$$

$$x=-\sum _{y\in {\mathcal {B}}}b^{-1}a_{y}y$$

cioè si avrebbe $x\in W$$x\in W$, contro l'ipotesi.

Quindi la formula $\ast$$\ast$ si riscrive come

$$\sum _{y\in {\mathcal {B}}}a_{y}y=0$$

$$\sum _{y\in {\mathcal {B}}}a_{y}y=0$$

ma siccome gli elementi di ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$ sono linearmente indipendenti, necessariamente $a_{y}=0\forall y\in {\mathcal {B}}$$a_{y}=0\forall y\in {\mathcal {B}}$. Questo mostra che ${\mathcal {B}}\cup \{x\}$${\mathcal {B}}\cup \{x\}$ è un elemento di $\Sigma$$\Sigma$ contro la massimalità di ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$, rimane allora provato che $V=W$$V=W$.