Undicesimo esercizio

Esercizio 7.11

Siano $p$$p$ primo e $n\geq 1$$n\geq 1$ un intero. Dimostrare che

$$\phi _{pn}(x)={\begin{cases}\phi _{n}(x^{p})\quad p\mid n\\{\frac {\phi _{n}(x^{p})}{\phi _{n}(x)}}\quad p\nmid n\end{cases}}$$

$$\phi _{pn}(x)={\begin{cases}\phi _{n}(x^{p})\quad p\mid n\\{\frac {\phi _{n}(x^{p})}{\phi _{n}(x)}}\quad p\nmid n\end{cases}}$$

 

Sia $\Omega _{n}$$\Omega _{n}$ l'insieme delle radici primitive $n$$n$-esime dell'unità, si ha

$$\phi _{n}(x^{p})=\prod _{\xi \in \Omega _{n}}(x^{p}-\xi )$$

$$\phi _{n}(x^{p})=\prod _{\xi \in \Omega _{n}}(x^{p}-\xi )$$

Se $\omega$$\omega$ è radice di $x^{p}-\xi$$x^{p}-\xi$, segue che $\omega ^{p}=\xi$$\omega ^{p}=\xi$. Allora $o(\omega ^{p})=o(\xi )=n$$o(\omega ^{p})=o(\xi )=n$ perché $\xi$$\xi$ è una radice primitiva n-esima. Siccome $\omega ^{p}\in \langle \omega \rangle$$\omega ^{p}\in \langle \omega \rangle$ si ha anche che $o(\omega ^{p})={\frac {o(\omega )}{M.C.D.(p,o(\omega ))}}$$o(\omega ^{p})={\frac {o(\omega )}{M.C.D.(p,o(\omega ))}}$, e eguagliando le due espressioni per $o(\omega ^{p})$$o(\omega ^{p})$ si ha:

$${\frac {o(\omega )}{M.C.D.(p,o(\omega ))}}=n,\,{\hbox{relazione }}\star$$

$${\frac {o(\omega )}{M.C.D.(p,o(\omega ))}}=n,\,{\hbox{relazione }}\star$$

segue che $n\mid o(\omega )$$n\mid o(\omega )$. Allora distinguo i due casi:

1. Se $p\mid n$$p\mid n$, $p\mid o(\omega )$$p\mid o(\omega )$, allora $M.C.D.(o(\omega ),p)=p$$M.C.D.(o(\omega ),p)=p$ e $o(\omega )=pn$$o(\omega )=pn$ per la relazione $\star$$\star$. Allora le radici di $\phi _{n}(x^{p})$$\phi _{n}(x^{p})$ (cioè gli $\omega$$\omega$ tali che $\omega ^{p}=\xi ,\,\xi \in \Omega _{n}$$\omega ^{p}=\xi ,\,\xi \in \Omega _{n}$) coincidono con le radici primitive di $pn$$pn$-me di $1$$1$, e quindi $\phi _{n}(x^{p})=\phi _{pn}(x)$$\phi _{n}(x^{p})=\phi _{pn}(x)$.
2. se $p\nmid n$$p\nmid n$, per la relazione $\star$$\star$$o(\omega )=n*M.C.D.(o(\omega ),p)$$o(\omega )=n*M.C.D.(o(\omega ),p)$, quindisi verificano due possibilità: 1. $M.C.D.(o(\omega ),p)=1$$M.C.D.(o(\omega ),p)=1$ e quindi $o(\omega )=n$$o(\omega )=n$; 2. $M.C.D.(o(\omega ),p)=p$$M.C.D.(o(\omega ),p)=p$ e quindi $o(\omega )=np$$o(\omega )=np$.Allora tutte e sole le radici di $\phi _{n}(x^{p})$$\phi _{n}(x^{p})$ sono radici primitive di $n$$n$-me di $1$$1$ oppure le radici primitive $pn$$pn$-me di $1$$1$, e quindi $\phi _{n}(x^{p})=\phi _{n}(x)*\phi _{np}(x)$$\phi _{n}(x^{p})=\phi _{n}(x)*\phi _{np}(x)$, cioè $\phi _{pn}(x)={\frac {\phi _{n}(x^{p})}{\phi _{n}(x)}}$$\phi _{pn}(x)={\frac {\phi _{n}(x^{p})}{\phi _{n}(x)}}$.