Sottogruppi di ordine 2

Gli elementi di ordine 2 nel gruppo considerato sono <math>g_7,g_9,g_{15}</math>, quindi i sottogruppi di ordine 2 sono <math>H_1 :=\{1,g_7\}</math>, <math>H_2 :=\{1,g_9\}</math>, <math>H_3 :=\{1,g_{15}\}</math>.
'''Determiniamo i campi intermedi corrispondenti''':

*<math>H_1=\{1,g_7\}</math>. Per calcoli precedenti
<math display="block">H_1' = \{a_0+a_1(\omega+\omega^7)+a_2(\omega^2-\omega^6)+a_3(\omega^3+\omega^5), \, a_i \in \mathbb Q,\; \forall i \} = \mathbb Q(\omega+\omega^7)</math>
*<math>H_2=\{1,g_9\}</math>; siccome <math>\omega^9 = -\omega</math>, preso <math>\alpha \in \mathbb Q(\omega)</math> si ha
<math display="block">\alpha^{g_9}= a_0-a_1 \omega+a_2 \omega^2-a_3 \omega^3+a_4 \omega^4-a_5 \omega^5+a_6 \omega^6-a_7 \omega^7</math>
e imponendo <math>\alpha^{g_9}=\alpha</math> si ottiene <math>a_1=a_3=a_5=a_7=0</math>. Quindi
<math display="block">H_2' = \{ a_0+a_2 \omega^2+a_4 \omega^4+a_6 \omega^6, \, a_i \in \mathbb Q,\; \forall i\} = \mathbb Q(\omega^2)</math>
*<math>H_3=\{1,g_{15}\}</math>. Siccome <math>\omega^{15}=-\omega^7</math>, dato <math>\alpha \in \mathbb Q(\omega)</math> si ha
<math display="block">\alpha^{g_{15}} = a_0-a_1 \omega^7-a_2 \omega^6-a_3 \omega^5-a_4 \omega^4-a_5 \omega^3-a_6 \omega^2-a_7 \omega</math>
e imponendo <math>\alpha = \alpha^{g_{15}}</math> si ha
<math display="block">\begin{cases}-a_1 = a_7 \\ -a_2 = a_6 \\ -a_3 = a_5 \\ a_4=0 \end{cases}</math>
quindi
<math display="block">H_3' = \{a_0+a_1 (\omega-\omega^7)+a_2 (\omega^2-\omega^6)+a_3 (\omega^3-\omega^5) , \, a_i \in \mathbb Q,\; \forall i \} = \mathbb Q(\omega-\omega^7)</math>


<math display="block">***************************************</math>


{{InizioEsercizio|titolo=|number=7.10|anchor=Esercizio7_10}}
Dare un esempio di campi tali che <math>K \subseteq L \subseteq M</math> e <math>L \supseteq K</math> è un'estensione normale, <math>M \supseteq L</math> è un'estensione normale ma <math>M \supseteq K</math> non è un'estensione normale.
{{FineEsercizio}}

Avevamo precedentemente mostrato che il campo di spezzamento su <math>\mathbb Q</math> del polinomio <math>f(x)=x^4-2</math> è <math>\mathbb Q(\sqrt[4]{2},i)</math>. Pongo <math>K=\mathbb Q</math> e <math>M=\mathbb Q(\sqrt[4]{2})</math>, in questo modo <math>M \supseteq K</math>  non è normale perché <math>x^4-2</math> ammette una radice in <math>M</math> ma non si spezza su <math>M</math>.


Se pongo <math>L = \mathbb Q(\sqrt{2})</math>:

#<math>M \supseteq L \supseteq K</math>.
#<math>L \supseteq K</math> è normale perché <math>L</math> è campo di spezzamento su <math>K</math> del polinomio <math>x^2-2</math>.
#<math>M \supseteq L</math> è normale perché <math>M</math> è campo di spezzamento su <math>L</math> del polinomio <math>x^2-\sqrt{2}</math>;
#<math>M \supseteq K</math> non è normale perché il polinomio <math>x^4-2</math> ha una radice in <math>M</math> ma non si spezza su <math>M</math>.



{{InizioEsercizio|titolo=|number=7.11|anchor=Esercizio7_11}}
Siano <math>p</math> primo e <math>n \ge 1</math> un intero. Dimostrare che
<math display="block">\phi_{pn}(x) = \begin{cases} \phi_n(x^p) &\textrm{se $p \mid n$} \\ \frac{\phi_n(x^p)}{\phi_n(x)} &\textrm{se $ p \nmid n$} \end{cases}</math>
{{FineEsercizio}}

Sia <math>\Omega_{n}</math> l'insieme delle radici primitive <math>n</math>-esime dell'unità, si ha
<math display="block">\phi_n(x^p) = \prod_{\xi \in \Omega_{n}} (x^p-\xi)</math>
Se <math>\omega</math> è radice di <math>x^p-\xi</math>, segue che <math>\omega^p=\xi</math>.  Allora <math>o(\omega^p) = o(\xi) = n</math>
perché <math>\xi</math> è una radice primitiva n-esima. Siccome <math>\omega^p \in \langle \omega \rangle</math>
si ha anche che <math>o(\omega^p) = \frac{o(\omega)}{M.C.D.(p,o(\omega))}</math>, e eguagliando le due espressioni per <math>o(\omega^p)</math> si ha:
<math display="block">\frac{o(\omega)}{M.C.D.(p,o(\omega))}= n, \, \hbox{relazione } \star</math>
segue che <math>n \mid o(\omega)</math>. Allora distinguo i due casi:

#Se <math>p \mid n</math>, <math>p \mid o(\omega)</math>, allora <math>M.C.D.(o(\omega),p)=p</math> e <math>o(\omega)=pn</math> per la relazione <math>\star</math>. Allora le radici di <math>\phi_n(x^p)</math>  (cioè gli <math>\omega</math> tali che <math>\omega^p=\xi, \, \xi \in \Omega_{n}</math>) coincidono con le radici primitive di <math>pn</math>-me di <math>1</math>, e quindi <math>\phi_n(x^p) = \phi_{pn}(x)</math>.
#se <math>p \nmid n</math>, per la relazione <math>\star</math><math>o(\omega) = n*M.C.D.(o(\omega),p)</math>, quindisi verificano due possibilità: 1. <math>M.C.D.(o(\omega),p)=1</math> e quindi <math>o(\omega)=n</math>; 2. <math>M.C.D.(o(\omega),p) = p</math> e quindi <math>o(\omega) = np</math>.Allora tutte e sole le radici di <math>\phi_n(x^p)</math> sono radici primitive di <math>n</math>-me di <math>1</math> oppure le radici primitive  <math>pn</math>-me di <math>1</math>, e quindi <math>\phi_n(x^p) = \phi_n(x)*\phi_{np}(x)</math>, cioè <math>\phi_{pn}(x) = \frac{\phi_n(x^p)}{\phi_n(x)}</math>.



{{InizioEsercizio|titolo=|number=7.12|anchor=Esercizio7_12}}
Sia <math>M</math> il campo di spezzamento di <math>x^4-2</math> su <math>\mathbb Q</math> in <math>\mathbb C</math>. Mostrare che <math>M = \mathbb Q(i+\sqrt[4]{2})</math>.


'''Suggerimento''': trovare almeno cinque elementi distinti nell'orbita di <math>i+\sqrt[4]{2}</math> sotto l'azione di <math>\mathcal G(M/\mathbb Q)</math>.
{{FineEsercizio}}

Abbiamo dimostrato precedentemente che, se pongo <math>\alpha = \sqrt[4]{2}</math>, <math>M = \mathbb Q(\alpha, i)</math> e <math>\mathcal G(M/\mathbb Q) = \{1,x,x^2,x^3,y,xy,x^2y,x^3y\}</math>, con
<math display="block">x \, t.c. \, \alpha^x=\alpha i, \; i^x = i</math><math display="block">y \, t.c. \, \alpha^y=\alpha, \; i^y = -i.</math>

Pongo <math>\beta=i+\alpha</math> e '''cerco almeno cinque elementi distinti dell'orbita di <math>\beta</math> sotto l'azione di <math>\mathcal G(M/\mathbb Q)</math>''':
<math display="block">\beta^x = i^x+\alpha^x = i+i\alpha = i*(1+\alpha)</math>
<math display="block">\beta^y = i^y+\alpha^y = -i+\alpha</math>
<math display="block">\beta^{xy} = i^{xy}+\alpha^{xy} = i^y+(i\alpha)^y =-i-i\alpha = -i(1+\alpha)</math>
<math display="block">\beta^{x^2} = i^{x^2}+\alpha^{x^2} = i-\alpha</math>
<math display="block">\beta^{x^3} = i^{x^3}+\alpha^{x^3} = i-i\alpha = i(1-\alpha)</math>

'''Ora mostro che <math>M=\mathbb Q(\beta)</math>'''. L'inclusione <math>\mathbb Q(\beta) \subseteq M</math> è ovvia perché <math>\beta \in M</math>. Viceversa,  proviamo che <math>M \subseteq \mathbb Q(\beta)</math>. Considero il polinomio minimo <math>h(x)</math> di <math>\beta</math> sopra <math>\mathbb Q</math>. Gli elementi della forma <math>\beta^g</math> con <math>g \in \mathcal G(M/\mathbb Q)</math> sono ancora radici di <math>h(x)</math>, infatti, applicando <math>g</math> all'equazione <math>h(\beta)=0</math> ottengo <math>0=g(\beta^g)</math>. Con i conti precedenti ho trovato almeno cinque radici distinte di <math>g(x)</math>, quindi <math>\rm{gr} h(x) \ge 5</math>, cioè <math>|\mathbb Q(\beta):\mathbb Q| \ge 5</math>.


Sappiamo anche che <math>|M:\mathbb Q|=8</math>, e  quindi <math>\rm{gr}(h(x))=|\mathbb Q(\beta):\mathbb Q| \mid 8</math>, ma allora unendo queste due condizioni l'unica possibilità è che <math>|\mathbb Q(\beta):\mathbb Q|=8</math>, cioè <math>\mathbb Q(\beta)=M</math>.

<math display="block">***************************************</math>


{{InizioEsercizio|titolo=|number=7.13|anchor=Esercizio7_13}}
Siano <math>p_1,p_2,\dots,p_n</math> numeri primi distinti, e sia <math>M = \mathbb Q(\sqrt{p_1}, \sqrt{p_2},\dots,\sqrt{p_n})</math>. 
#Mostrare che <math>M \supseteq \mathbb Q</math> è normale;
#Mostrare che <math>G=\mathcal G(M/\mathbb Q)</math> è elementare abeliano di ordine <math>2^n</math>. (dire che <math>G</math> è elementare abeliano significa che <math>G = C_2 \times \dots \times C_2</math>, <math>o(G)=2^n</math>, <math>G</math> è abeliano e tutti gli elementi di <math>G</math> esclusa l'unità hanno ordine 2)


'''Suggerimento''': una possibilità per mostrare la parte 2 è mostrare che i campi <math>\mathbb Q(\sqrt{k})</math> sono tutti distinti, al variare di <math>k</math>  sui <math>2^n-1</math> prodotti non banali e distinti di elementi distinti dell'insieme che contiene <math>p_1,p_2,\dots,p_n</math>.
{{FineEsercizio}}

#Siamo in caratteristica 0 e <math>M</math> è campo di spezzamento del polinomio <math>(x^2-p_1)(x^2-p_2)*\dots*(x^2-p_n)</math>   sopra <math>\mathbb Q</math>, quindi <math>M \supseteq \mathbb Q</math> è normale.
#Considero la catena di estensioni:<math display="block">\mathbb Q \subseteq \mathbb Q(\sqrt{p_1}) \subseteq \mathbb Q(\sqrt{p_1},\sqrt{p_2}) \subseteq \dots \subseteq M</math>Per il teorema della torre<math display="block">|M:\mathbb Q| = |M:\mathbb Q(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_{n-1}})|* \dots*|\mathbb Q(\sqrt{p_1},\sqrt{p_2})/\mathbb Q(\sqrt{p_1})|* |\mathbb Q(\sqrt{p_1})/\mathbb Q|</math>dove ogni fattore è <math>\le 2</math>  perché per ogni <math>i</math>, <math>\sqrt{p_i}</math> è uno zero del polinomio <math>x^2-p_i \in \mathbb Q[x]</math>.Allora <math>o(G)=|M:\mathbb Q| = 2^m</math> per un certo <math>m \in \mathbb N, m \le n</math> e '''dobbiamo provare che <math>m=n</math>, cioè che <math>o(G)=2^n</math>'''.Supponendo di aver argomentato il suggerimento, osservo che <math>\mathbb Q(\sqrt{k})</math> è un campo intermedio fra <math>\mathbb Q</math> e <math>M</math> di grado 2, allora, ponendo <math>H_k=\mathbb Q(\sqrt{k})'</math>,<math display="block">2 = |\mathbb Q(\sqrt{k}):\mathbb Q|= |G:H_k|.</math>Siccome supponiamo che i campi <math>\mathbb Q(\sqrt{k})</math> siano tutti distinti, anche i corrispondenti sottogruppi <math>H_k</math> di indice 2 in <math>G</math> sono tutti distinti e sono almeno <math>2^n</math>, di conseguenza esistono almeno <math>2^n</math> elementi  in <math>G</math>, cioè <math>o(G) > 2^n</math>. Segue che <math>m=n</math>.'''Gli elementi di <math>G</math> hanno ordine 2, eccetto l'unita'''', infatti, dato <math>g \in \mathcal G(M/\mathbb Q)</math>, esso manda l'elemento <math>\sqrt{p_i}</math> in sé stesso oppure in <math>-\sqrt{p_i}</math>, e quindi <math>g^2=1</math>.'''<math>G</math> è abeliano''': in generale dato un gruppo <math>G</math>, se <math>g^2=1</math> per ogni<math>g \in G</math>, allora <math>G</math> è abeliano. Infatti, dati <math>x,y \in G</math>, segue che  <math>xy xy = 1</math>. D'altra parte, <math>x^2=1</math> implica <math>x=x^{-1}</math> e <math>y^2=1</math> implica  <math>y= y^{-1}</math>. Dall'uguglianza <math>xyxy=1</math>, moltiplicando a destra per <math>y</math> e poi per <math>x</math>, si ha <math>xy=yx</math>.'''Infine argomentiamo il sugerimento''': Sia <math>k \neq h</math>, e suppongo per assurdo che <math>\mathbb Q(\sqrt{h})=\mathbb Q(\sqrt{k})</math>. Se questo avviene, si deve avere in particolare che <math>\sqrt{k} \in \mathbb Q(\sqrt{h})</math>, cioè, preso un generico elemento in <math>\mathbb Q(\sqrt{h})</math> della forma <math>a+b\sqrt{h}</math>, si deve avere.ì<math display="block">(a+b\sqrt{h})^2 =k</math>e sviluppando il quadrato<math display="block">a^2+b^2 h+2ab \sqrt{h} = k, \; \longrightarrow \, ab=0</math>Il caso <math>b=0</math> si esclude perché se così fosse si avrebbe <math>a^2=k</math>, con <math>a \in \mathbb Q</math>. Se invece <math>a=0</math> si ha <math>b^2 h = k</math>. Siccome abbiamo supposto <math>h \neq k</math>, esisterà un <math>p_i</math> che compare nella scrittura di <math>h</math> ma non di <math>k</math>, cioè esiste un <math>p_i</math> che divide <math>h</math> e non divide <math>k</math>, e quindi l'equazione sopra non può essere vera.


<math display="block">***************************************</math>
{{InizioEsercizio|titolo=|number=7.14|anchor=Esercizio7_14}}
Nelle ipotesi dell'esercizio 2, mostrare che per ogni indice <math>i</math>, esiste <math>g_i \in \mathcal G(M/\mathbb Q)</math> tale che <math>\sqrt{p_i}^{g_i} = -\sqrt{p_i}</math>, mentre <math>\sqrt{p_j}^{g_i} = \sqrt{p_j}</math> per <math>j \neq i</math>. Usare questo fatto per mostrare che <math>\sqrt{p_1}, \sqrt{p_2}, \dots, \sqrt{p_n}</math> sono indipendenti su <math>\mathbb Q</math>.
{{FineEsercizio}}


Dato <math>g \in \mathcal G(M/\mathbb Q)</math>, esso è determinato dalla sua azione sulle radici; abbiamo mostrato nell'esercizio precedente che in <math>G</math> ci sono esattamente <math>2^n</math> elementi, quindi <math>g</math> deve necessariamente includere i morfismi <math>g_i</math> tali che <math>\sqrt{p_i}^{g_i} = -\sqrt{p_i}</math> e <math>\sqrt{p_j}^{g_j}=\sqrt{p_j} \forall j \neq i</math>.


'''Mostriamo ora la lineare indipendenza dei <math>g_i</math>''': Supponiamo di avere una combinazione lineare della forma
<math display="block">\sum_{j=1}^n \lambda_j \sqrt{p_j}=0, \; \lambda_j \in \mathbb Q.</math>
Applicando <math>g_i</math> a entrambi i membri ottengo
<math display="block">0 = \sum_j \lambda_j^{g_i} \sqrt{p_j}^{g_i}</math>
e siccome i <math>\lambda_j</math> stanno in <math>\mathbb Q</math> e vengono fissati si ha
<math display="block">0= \sum_{j\neq i} \lambda_j \sqrt{p_j}-\lambda_i \sqrt{p_i}</math>
ed eguagliando i coefficienti rispetto agli elementi della base nelle due combinazioni lineari ottengo <math>\lambda_i = -\lambda_i</math>, cioè <math>\lambda_i=0</math>.
Ripetendo questo procedimento per ogni <math>i</math> ottengo che tutti gli scalari sono nulli.

<math display="block">***************************************</math>
{{InizioEsercizio|titolo=|number=7.15|anchor=Esercizio7_15}}
Nelle ipotesi degli esercizi 2 e 3, mostrare che <math>M = \mathbb Q(\sqrt{p_1}+\sqrt{p_2}+\dots +\sqrt{p_n})</math>.


'''Suggerimento''': mostrare che l'orbita di <math>\sqrt{p_1}+\sqrt{p_2}+\dots +\sqrt{p_n}</math> sotto l'azione di <math>\mathcal G(M/\mathbb Q)</math> contiene almeno <math>2^n</math> elementi distinti.
{{FineEsercizio}}


'''Cerco <math>2^n</math> elementi distinti dell'orbita di <math>\beta</math> sotto l'azione di <math>\mathcal G(M/\mathbb Q)</math>''', dove pongo <math>\beta = \sqrt{p_1}+\sqrt{p_2}+\dots +\sqrt{p_n}</math>. Osservo che
<math display="block">\beta^{g_i} = \sqrt{p_1}+\sqrt{p_2}-\sqrt{p_i}+\dots +\sqrt{p_n}</math>
e quindi le immagini di <math>\beta</math> mediante i <math>g_i</math> sono <math>n</math> elementi distinti dell'orbita.
Poi, se considero prodotti della forma <math>g_i g_j</math>, si ha che
<math display="block">\beta^{g_i g_j} = \sqrt{p_1}+\sqrt{p_2}-\sqrt{p_i}+\dots-\sqrt{p_j}+\dots +\sqrt{p_n}</math>
e ottengo <math>\binom{n}{2}</math> elementi distinti dell'orbita.


Considero allora tutti i possibili prodotti di elementi distinti di <math>\mathcal G(M/\mathbb Q)</math>, che sono <math>2^n</math>; applicandoli a <math>\beta</math> ottengo <math>2^n</math>  elementi nell'orbita di <math>\beta</math>, della forma
<math display="block">\sum_i \lambda_i \sqrt{p_i}, \; \lambda_i = \pm 1</math>

'''Mostro che gli elementi ottenuti sono tutti distinti''': Considero due prodotti <math>g,h</math> di elementi di <math>\mathcal G(M/\mathbb Q)</math>, devo mostrare che <math>\beta^g \neq \beta^h</math>. Sia <math>\beta^g = \sum_i \lambda_i \sqrt{p_i}</math> e <math>\beta^h = \sum_i \lambda_i' \sqrt{p_i}</math>; Se supponiamo per assurdo che <math>\beta^g = \beta^h</math> segue che
<math display="block">\beta^g-\beta^h = \sum_i (\lambda_i-\lambda_i') \sqrt{p_i} =0</math>
ma allora, siccome i <math>\sqrt{p_i}</math> sono indipendenti, segue che <math>\lambda_i=\lambda_i' \forall i</math>, e quindi <math>g=h</math>.


Mostrare che l'estensione è semplice equivale a mostrare che '''<math>|\mathbb Q(\beta):\mathbb Q|= 2^n</math>'''. Sappiamo che <math>|M:\mathbb Q|=2^n</math> e abbiamo appena mostrato che <math>|\mathbb Q(\beta):\mathbb Q| \ge 2^n</math>, però siccome vale l'inclusione <math>\mathbb Q(\beta) \subseteq M</math>, si deve avere <math>|\mathbb Q(\beta):\mathbb Q| \mid |M:\mathbb Q|</math>, cioè <math>|\mathbb Q(\beta):\mathbb Q|=2^n</math>.

<math display="block">***************************************</math>


{{InizioEsercizio|titolo=|number=7.16|anchor=Esercizio7_16}}
Trovare un polinomio esplicito <math>f(x) \in \mathbb Q[x]</math> il cui gruppo di Galois abbia ordine <math>3</math>.


'''Suggerimento''': Considerare <math>\mathbb Q(\omega)</math> con <math>\omega</math> radice settima primitiva di 1.
{{FineEsercizio}}

Data <math>\omega</math> radice settima primitiva dell'unità, <math>G=\mathcal G(\mathbb Q(\omega)/\mathbb Q) \cong U_7</math>, e <math>U_7</math> è un gruppo ciclico di ordine <math>\varphi(7)=6</math>. Siccome il teorema di Lagrange si inverte nei gruppi ciclici, esiste un sottogruppo <math>H \le G</math> con <math>|H|=2</math>, cioè <math>H = \{1,g\}</math>. Se ad esempio prendo <math>g</math> tale che <math>\omega \mapsto \omega^6</math>, si ha che <math>o(g) = 2</math> perché <math>o(6)=2</math> in <math>U_7</math> (infatti <math>6^2 = 36 \equiv 1 \mod 7</math>).


'''Calcolo il corrispondente campo intermedio''':
<math display="block">\rm{Fix} (H) = \{ \alpha \in \mathbb Q(\omega) \, t.c. \, \alpha^g=\alpha\}</math>

Siccome il polinomio minimo di <math>\omega</math> è <math>\phi_7(x)</math> che ha grado <math>6</math>, segue che <math>|\mathbb Q(\omega):\mathbb Q|=6</math> e
<math display="block">\mathbb Q(\omega)=\{ a_0+a_1 \omega+a_2 \omega^2+a_3 \omega^3+a_4 \omega^4+a_5 \omega^5, \, a_i \in \mathbb Q \forall i\}</math>
Applico <math>g</math> ad un generico elemento di <math>\mathbb Q(\omega)</math>:
<math display="block">\alpha^g = \sum_i a_i (\omega^{g})^i = \sum_i a_i \omega^{6i}</math><math display="block">=a_0+a_1 \omega^6+a_2 \omega^{12}+a_3 \omega^{18}+a_4 \omega^{24}+a_5 \omega^{30}</math>
e riducendo i coefficienti modulo <math>7</math>:
<math display="block">=a_0+a_1 \omega^6+a_2 \omega^5+a_3 \omega^4+a_4 \omega^3+a_5 \omega^2</math>
e siccome <math>\omega</math> è radice del polinomio ciclotomico, si ha che <math>\omega^6=-1-\omega-\omega^2-\omega^3-\omega^4-\omega^5</math>, quindi
<math display="block">=a_0-a_1 (\omega^5+\omega^4+\omega^3+\omega^2+\omega+1)+a_2 \omega^5+a_3 \omega^4+a_4 \omega^3+a_5 \omega^2</math>
e imponendo <math>\alpha^g=\alpha</math> ottengo
<math display="block">\begin{cases} a_0+a_1=0 \\ a_1=0 \\ a_5=a_2 \\ a_4=a_3 \end{cases}</math>
quindi gli elementi di <math>\rm{Fix} (H)</math> sono della forma:
<math display="block">\alpha = a_0+a_2 (\omega^2+\omega^5)+a_3(\omega^3+\omega^4)</math>
Osservo che
<math display="block">(\omega^2+\omega^5)^2 = \omega^4+2\omega^7+\omega^{10} = \omega^4+\omega^3+2</math><math display="block">(\omega^2+\omega^5)^3 = (\omega^2+\omega^5)(\omega^4+\omega^3+2) =</math><math display="block">= \omega^6+\omega^5+2\omega^2+\omega^9+\omega^8+2\omega^5</math>
e sostituendo l'espressione di <math>\omega^6</math>:
<math display="block">= -1-\omega-\omega^2-\omega^3-\omega^4+2\omega^2+\omega^2+\omega+2\omega^5</math><math display="block">= -1-\omega^3-\omega^4+2\omega^2+2\omega^5 = 1-\beta^2+2\beta</math><math>\beta</math> è radice di <math>f(x)=x^3+x^2-2x+1</math>. Se pongo <math>L=H'</math>, segue che <math>L \supseteq \mathbb Q</math> è normale perché <math>H</math> è normale in <math>G</math>. Se <math>f(x)</math> ammette una radice in <math>L</math>, allora si spezza in fattori lineari su <math>L</math>. Inoltre <math>|L:\mathbb Q|=3</math> quindi <math>L</math> è campo di spezzamento di <math>f(x)</math> su <math>\mathbb Q</math>. Infine <math>|L:\mathbb Q| = \mathcal G(L/\mathbb Q)=3</math>, e quindi <math>f(x)</math> è il polinomio cercato.