Campi intermedi

1. $H_{1}=\{1,x,x^{2},x^{3}\}$$H_{1}=\{1,x,x^{2},x^{3}\}$; $H_{1}'\supseteq \mathbb {Q} (i)$$H_{1}'\supseteq \mathbb {Q} (i)$, inoltre $|\mathbb {Q} (i):\mathbb {Q} |=2$$|\mathbb {Q} (i):\mathbb {Q} |=2$ e per il teorema fondamentale di Galois
   $$2=|G:H_{1}|=|H_{1}':G'|$$

   $$2=|G:H_{1}|=|H_{1}':G'|$$
   e quindi $H_{1}'=\mathbb {Q} (i)$$H_{1}'=\mathbb {Q} (i)$.
2. $H_{2}=\{1,x^{2},y,x^{2}y\}$$H_{2}=\{1,x^{2},y,x^{2}y\}$; considero $\xi \in M$$\xi \in M$ e per prima cosa impongo $\xi ^{x^{2}}=\xi$$\xi ^{x^{2}}=\xi$.
   $$\xi =a_{0}+a_{1}\alpha +a_{2}\alpha ^{2}+a_{3}\alpha ^{3}+a_{4}i+a_{5}i\alpha +a_{6}i\alpha ^{2}+a_{7}i\alpha ^{3}$$

   $$\xi =a_{0}+a_{1}\alpha +a_{2}\alpha ^{2}+a_{3}\alpha ^{3}+a_{4}i+a_{5}i\alpha +a_{6}i\alpha ^{2}+a_{7}i\alpha ^{3}$$
   e tenendo conto che $i^{x^{2}}=i$$i^{x^{2}}=i$ e $\alpha ^{x^{2}}=-\alpha$$\alpha ^{x^{2}}=-\alpha$:
   $$\xi ^{x^{2}}=a_{0}-a_{1}\alpha +a_{2}\alpha ^{2}-a_{3}\alpha ^{3}+a_{4}i-a_{5}i\alpha +a_{6}i\alpha ^{2}-a_{7}\alpha ^{3}i$$

   $$\xi ^{x^{2}}=a_{0}-a_{1}\alpha +a_{2}\alpha ^{2}-a_{3}\alpha ^{3}+a_{4}i-a_{5}i\alpha +a_{6}i\alpha ^{2}-a_{7}\alpha ^{3}i$$
   e imponendo l'uguaglianza segue che $a_{1}=a_{3}=a_{5}=a_{7}=0$$a_{1}=a_{3}=a_{5}=a_{7}=0$, e quindi gli elementi fissati da $x^{2}$$x^2$ sono della forma
   $$\xi _{1}=a_{0}+a_{2}\alpha ^{2}+a_{4}i+a_{6}\alpha ^{2}i,\,\,a_{i}\in \mathbb {Q} \forall i$$

   $$\xi _{1}=a_{0}+a_{2}\alpha ^{2}+a_{4}i+a_{6}\alpha ^{2}i,\,\,a_{i}\in \mathbb {Q} \forall i$$
   Ora, impongo che gli elementi trovati vengano fissati anche da $y$$y$:
   $$\xi _{1}^{y}=a_{0}+a_{2}\alpha ^{2}-a_{4}i-a_{6}\alpha ^{2}i$$

   $$\xi _{1}^{y}=a_{0}+a_{2}\alpha ^{2}-a_{4}i-a_{6}\alpha ^{2}i$$
   allora, imponendo l'uguaglianza, $a_{4}=a_{6}=0$$a_{4}=a_{6}=0$.
   $$H_{2}''=\{a_{0}+a_{2}\alpha ^{2},\,a_{0},a_{2}\in \mathbb {Q} \}=\mathbb {Q} (\alpha ^{2})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$$

   $$H_{2}''=\{a_{0}+a_{2}\alpha ^{2},\,a_{0},a_{2}\in \mathbb {Q} \}=\mathbb {Q} (\alpha ^{2})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$$
3. $H_{3}=\{1,x^{2},xy,x^{3}y\}$$H_{3}=\{1,x^{2},xy,x^{3}y\}$; considero un generico elemento fissato da $x^{2}$$x^2$, della forma
   $$\xi _{1}=a_{0}+a_{2}\alpha +a_{4}i+a_{6}i\alpha$$

   $$\xi _{1}=a_{0}+a_{2}\alpha +a_{4}i+a_{6}i\alpha$$
   $$\xi _{1}^{xy}=a_{0}-a_{2}\alpha ^{2}-a_{4}i+a_{6}\alpha ^{2}i$$

   $$\xi _{1}^{xy}=a_{0}-a_{2}\alpha ^{2}-a_{4}i+a_{6}\alpha ^{2}i$$
   Imponendo l'uguaglianza
   $$a_{2}=a_{4}=0$$

   $$a_{2}=a_{4}=0$$
   quindi,
   $$H_{3}'=\{a_{0}+a_{6}\alpha ^{2}i\}=\mathbb {Q} (i{\sqrt {2}})$$

   $$H_{3}'=\{a_{0}+a_{6}\alpha ^{2}i\}=\mathbb {Q} (i{\sqrt {2}})$$
4. $H_{4}=\{1,y\}$$H_{4}=\{1,y\}$; $H_{4}'=\mathbb {Q} (\alpha )$$H_{4}'=\mathbb {Q} (\alpha )$, infatti $y$$y$ fissa $\alpha$$\alpha$, $|\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} |=2$$|\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} |=2$, $2=|G:H_{4}|=|H_{4}':\mathbb {Q} |$$2=|G:H_{4}|=|H_{4}':\mathbb {Q} |$ quindi $H_{4}'=\mathbb {Q} (\alpha )'$$H_{4}'=\mathbb {Q} (\alpha )'$.
5. $H_{5}=\{1,x^{2}\}$$H_{5}=\{1,x^{2}\}$; siccome gli elementi fissati da $x^{2}$$x^2$ sono già stati calcolati prima, segue che
   $$H_{5}'=\{a_{0}+a_{2}\alpha ^{2}+a_{4}i+a_{6}\alpha ^{2}i,\,a_{i}\in \mathbb {Q} \forall i\}$$

   $$H_{5}'=\{a_{0}+a_{2}\alpha ^{2}+a_{4}i+a_{6}\alpha ^{2}i,\,a_{i}\in \mathbb {Q} \forall i\}$$
   e in particolare se pongo $a_{2}=a_{6}=0$$a_{2}=a_{6}=0$, ottengo $\mathbb {Q} (i)\subset H_{5}'$$\mathbb {Q} (i)\subset H_{5}'$.Anche $\alpha ^{2}$$\alpha ^{2}$ è fissato da $x^{2}$$x^2$; osservo allora che $|\mathbb {Q} (\alpha ^{2},i):\mathbb {Q} |=4$$|\mathbb {Q} (\alpha ^{2},i):\mathbb {Q} |=4$, inoltre $4=|G:H_{5}|=|H_{5}':\mathbb {Q} |$$4=|G:H_{5}|=|H_{5}':\mathbb {Q} |$ quindi $H_{5}'=\mathbb {Q} (\alpha ^{2},i)$$H_{5}'=\mathbb {Q} (\alpha ^{2},i)$.
6. $H_{6}=\{1,xy\}$$H_{6}=\{1,xy\}$; calcolo gli elementi fissati da $xy$$xy$, tenendo conto che $i^{xy}=-i$$i^{xy}=-i$, e $\alpha ^{xy}=-\alpha i$$\alpha ^{xy}=-\alpha i$:
   $$\xi =a_{0}+a_{1}\alpha +a_{2}\alpha ^{2}+a_{3}\alpha ^{3}+a_{4}i+a_{5}i\alpha +a_{6}i\alpha ^{2}+a_{7}i\alpha ^{3}$$

   $$\xi =a_{0}+a_{1}\alpha +a_{2}\alpha ^{2}+a_{3}\alpha ^{3}+a_{4}i+a_{5}i\alpha +a_{6}i\alpha ^{2}+a_{7}i\alpha ^{3}$$
   $$\longrightarrow \,\xi ^{xy}=a_{0}-a_{1}\alpha i-a_{2}\alpha ^{2}+a_{3}\alpha ^{3}i-a_{4}i-a_{5}\alpha +a_{6}i\alpha ^{2}+a_{7}\alpha ^{3}$$

   $$\longrightarrow \,\xi ^{xy}=a_{0}-a_{1}\alpha i-a_{2}\alpha ^{2}+a_{3}\alpha ^{3}i-a_{4}i-a_{5}\alpha +a_{6}i\alpha ^{2}+a_{7}\alpha ^{3}$$
   Imponendo l'uguaglianza
   $${\begin{cases}a_{1}=-a_{5},\\a_{2}=0\\a_{3}=a_{7}\\a_{4}=0\end{cases}}$$

   $${\begin{cases}a_{1}=-a_{5},\\a_{2}=0\\a_{3}=a_{7}\\a_{4}=0\end{cases}}$$
   da cui segue che
   $$H_{6}'=\{a_{0}+a_{1}(\alpha -i\alpha )+a_{3}(\alpha ^{3}+i\alpha ^{3})+a_{6}i\alpha ^{2},\,a_{i}\in \mathbb {Q} \}$$

   $$H_{6}'=\{a_{0}+a_{1}(\alpha -i\alpha )+a_{3}(\alpha ^{3}+i\alpha ^{3})+a_{6}i\alpha ^{2},\,a_{i}\in \mathbb {Q} \}$$
   Mostro che $H_{6}'=\mathbb {Q} (\alpha -i\alpha )$$H_{6}'=\mathbb {Q} (\alpha -i\alpha )$ infatti, calcolando le potenze di $\alpha -i\alpha$$\alpha -i\alpha$ ottengo:
   $$(\alpha -i\alpha )^{2}=\alpha ^{2}-2i\alpha ^{2}-\alpha ^{2}=-2i\alpha ^{2}$$

   $$(\alpha -i\alpha )^{2}=\alpha ^{2}-2i\alpha ^{2}-\alpha ^{2}=-2i\alpha ^{2}$$
   $$(\alpha -i\alpha )^{3}=-2i\alpha ^{2}(\alpha -i\alpha )=-2i\alpha ^{3}-2\alpha ^{3}=-2(i\alpha ^{3}+\alpha ^{3})$$

   $$(\alpha -i\alpha )^{3}=-2i\alpha ^{2}(\alpha -i\alpha )=-2i\alpha ^{3}-2\alpha ^{3}=-2(i\alpha ^{3}+\alpha ^{3})$$
   $$(\alpha -i\alpha )^{4}=(-2i\alpha ^{2})^{2}=-4\alpha ^{4}=-8$$

   $$(\alpha -i\alpha )^{4}=(-2i\alpha ^{2})^{2}=-4\alpha ^{4}=-8$$
   cioè $\alpha -i\alpha$$\alpha -i\alpha$ ha come polinomio minimo$x^{4}+8$$x^{4}+8$. Quindi posso porre $\beta =\alpha -i\alpha$$\beta =\alpha -i\alpha$, e scrivere
   $$H_{6}'=\{a_{0}+a_{1}\beta +a_{6}\beta ^{2}+a_{3}\beta ^{3},\,a_{i}\in \mathbb {Q} \}=\mathbb {Q} (\beta ).$$

   $$H_{6}'=\{a_{0}+a_{1}\beta +a_{6}\beta ^{2}+a_{3}\beta ^{3},\,a_{i}\in \mathbb {Q} \}=\mathbb {Q} (\beta ).$$
7. $H_{7}=\{1,x^{2}y\}$$H_{7}=\{1,x^{2}y\}$; tenendo conto che $i^{x^{2}y}=-i$$i^{x^{2}y}=-i$ e $\alpha ^{x^{2}y}=-\alpha$$\alpha ^{x^{2}y}=-\alpha$, e preso un generico elemento $\xi \in M$$\xi \in M$
   $$\xi =a_{0}+a_{1}\alpha +a_{2}\alpha ^{2}+a_{3}\alpha ^{3}+a_{4}i+a_{5}i\alpha +a_{6}i\alpha ^{2}+a_{7}i\alpha ^{3},\,a_{i}\in \mathbb {Q}$$

   $$\xi =a_{0}+a_{1}\alpha +a_{2}\alpha ^{2}+a_{3}\alpha ^{3}+a_{4}i+a_{5}i\alpha +a_{6}i\alpha ^{2}+a_{7}i\alpha ^{3},\,a_{i}\in \mathbb {Q}$$
   $$\xi ^{xy}=a_{0}-a_{1}\alpha +a_{2}\alpha ^{2}-a_{3}\alpha ^{3}-a_{4}i+a_{5}i\alpha -a_{6}i\alpha ^{2}+a_{7}i\alpha ^{3}$$

   $$\xi ^{xy}=a_{0}-a_{1}\alpha +a_{2}\alpha ^{2}-a_{3}\alpha ^{3}-a_{4}i+a_{5}i\alpha -a_{6}i\alpha ^{2}+a_{7}i\alpha ^{3}$$
   Imponendo l'uguaglianza si ha $a_{1}=a_{3}=a_{4}=a_{6}=0$$a_{1}=a_{3}=a_{4}=a_{6}=0$, quindi
   $$H_{7}'=\{a_{0}+a_{2}\alpha ^{2}+a_{5}i\alpha +a_{7}i\alpha ^{2},\,a_{i}\in \mathbb {Q} \}$$

   $$H_{7}'=\{a_{0}+a_{2}\alpha ^{2}+a_{5}i\alpha +a_{7}i\alpha ^{2},\,a_{i}\in \mathbb {Q} \}$$
   e calcolando le potenze di $i\alpha$$i\alpha$:
   $$(i\alpha )^{2}=\alpha ^{2},\,(i\alpha )^{3}=-i\alpha ^{3},\,(i\alpha )^{4}=\alpha ^{2}=2$$

   $$(i\alpha )^{2}=\alpha ^{2},\,(i\alpha )^{3}=-i\alpha ^{3},\,(i\alpha )^{4}=\alpha ^{2}=2$$
   quindi $i\alpha$$i\alpha$ ha come polinomio minimo $x^{4}-2$$x^{4}-2$, $H_{7}'=\mathbb {Q} (i\alpha )$$H_{7}'=\mathbb {Q} (i\alpha )$ e $H_{7}'\supseteq \mathbb {Q}$$H_{7}'\supseteq \mathbb {Q}$ ha grado 4.
8. $H_{8}=\{1,x^{3}y\}$$H_{8}=\{1,x^{3}y\}$; $i^{x^{3}y}=-i$$i^{x^{3}y}=-i$, $\alpha ^{x^{3}y}=i\alpha$$\alpha ^{x^{3}y}=i\alpha$. Dato $\xi \in M$$\xi \in M$ della forma
   $$\xi =a_{0}+a_{1}\alpha +a_{2}\alpha ^{2}+a_{3}\alpha ^{3}+a_{4}i+a_{5}i\alpha +a_{6}i\alpha ^{2}+a_{7}i\alpha ^{3}$$

   $$\xi =a_{0}+a_{1}\alpha +a_{2}\alpha ^{2}+a_{3}\alpha ^{3}+a_{4}i+a_{5}i\alpha +a_{6}i\alpha ^{2}+a_{7}i\alpha ^{3}$$
   $$\xi ^{x^{3}y}=a_{0}+a_{1}\alpha i-a_{2}\alpha ^{2}-a_{3}i\alpha ^{3}-a_{4}i+a_{5}\alpha +a_{6}i\alpha ^{2}-a_{7}\alpha ^{3}$$

   $$\xi ^{x^{3}y}=a_{0}+a_{1}\alpha i-a_{2}\alpha ^{2}-a_{3}i\alpha ^{3}-a_{4}i+a_{5}\alpha +a_{6}i\alpha ^{2}-a_{7}\alpha ^{3}$$
   e imponendo l'uguaglianza:
   $${\begin{cases}a_{1}=a_{5}\\a_{2}=0\\a_{3}=-a_{7}\\a_{4}=0\end{cases}}$$

   $${\begin{cases}a_{1}=a_{5}\\a_{2}=0\\a_{3}=-a_{7}\\a_{4}=0\end{cases}}$$
   quindi
   $$H_{8}'=\{a_{0}+a_{1}(\alpha +i\alpha )+a_{3}(\alpha ^{3}+i\alpha ^{3})+a_{6}i\alpha ^{2},\,a_{i}\in \mathbb {Q} \forall i\}=\mathbb {Q} (\alpha +i\alpha )$$

   $$H_{8}'=\{a_{0}+a_{1}(\alpha +i\alpha )+a_{3}(\alpha ^{3}+i\alpha ^{3})+a_{6}i\alpha ^{2},\,a_{i}\in \mathbb {Q} \forall i\}=\mathbb {Q} (\alpha +i\alpha )$$
   infatti
   $$(\alpha +i\alpha )^{2}=\alpha ^{2}+2i\alpha ^{2}-\alpha ^{2}=2i\alpha ^{2}$$

   $$(\alpha +i\alpha )^{2}=\alpha ^{2}+2i\alpha ^{2}-\alpha ^{2}=2i\alpha ^{2}$$
   $$(\alpha +i\alpha )^{3}=2i\alpha ^{3}-2\alpha ^{3}$$

   $$(\alpha +i\alpha )^{3}=2i\alpha ^{3}-2\alpha ^{3}$$
   $$(\alpha +i\alpha )^{4}=(2i\alpha ^{2})^{2}=-4\alpha ^{4}=-8$$

   $$(\alpha +i\alpha )^{4}=(2i\alpha ^{2})^{2}=-4\alpha ^{4}=-8$$
   cioè $\alpha +i\alpha$$\alpha +i\alpha$ ha polinomio minimo $x^{4}+8$$x^{4}+8$ e quindi $H_{8}'\supseteq \mathbb {Q}$$H_{8}'\supseteq \mathbb {Q}$ ha grado 4.

$$***************************************$$

$$***************************************$$

Esercizio 7.4

Calcolare $\phi _{n}(x)$$\phi _{n}(x)$ per $n=1\dots ,20$$n=1\dots ,20$.

 

Per calcoli precedenti sappiamo che

$$\phi _{1}(x)=x-1$$

$$\phi _{1}(x)=x-1$$

$$\phi _{2}(x)=x+1$$

$$\phi _{2}(x)=x+1$$

$$\phi _{4}(x)=x^{2}+1$$

$$\phi _{4}(x)=x^{2}+1$$

$$\phi _{6}(x)=x^{2}-x+1$$

$$\phi _{6}(x)=x^{2}-x+1$$

$$\phi _{8}(x)=x^{4}+1$$

$$\phi _{8}(x)=x^{4}+1$$

Inoltre, ricordiamo che in generale, per $p$$p$ primo

$$\phi _{p}(x)={\frac {x^{p}-1}{x-1}}=x^{p-1}+x^{p-2}+\dots +x+1$$

$$\phi _{p}(x)={\frac {x^{p}-1}{x-1}}=x^{p-1}+x^{p-2}+\dots +x+1$$

quindi conosciamo anche $\phi _{3}(x),\,\phi _{5}(x),\,\phi _{7}(x),\,\phi _{11}(x),\,\phi _{13}(x),\,\phi _{17}(x),\,\phi _{19}(x)$$\phi _{3}(x),\,\phi _{5}(x),\,\phi _{7}(x),\,\phi _{11}(x),\,\phi _{13}(x),\,\phi _{17}(x),\,\phi _{19}(x)$.

Calcoliamo i polinomi rimanenti:

1. $\phi _{9}={\frac {x^{9}-1}{\phi _{1}(x)*\phi _{3}(x)}}$$\phi _{9}={\frac {x^{9}-1}{\phi _{1}(x)*\phi _{3}(x)}}$e $\phi _{1}(x)*\phi _{3}(x)=x^{3}-1$$\phi _{1}(x)*\phi _{3}(x)=x^{3}-1$, quindi
   $$\phi _{9}(x)={\frac {x^{9}-1}{x^{3}-1}}$$

   $$\phi _{9}(x)={\frac {x^{9}-1}{x^{3}-1}}$$
   Aggiungendo e togliendo $x^{6}$$x^{6}$ al numeratore:
   $$\phi _{9}(x)={\frac {x^{9}-x^{6}+x^{6}-1}{x^{3}-1}}$$

   $$\phi _{9}(x)={\frac {x^{9}-x^{6}+x^{6}-1}{x^{3}-1}}$$
   $$\phi _{9}(x)={\frac {x^{6}(x^{3}-1)+(x^{3}+1)(x^{3}-1)}{x^{3}-1}}$$

   $$\phi _{9}(x)={\frac {x^{6}(x^{3}-1)+(x^{3}+1)(x^{3}-1)}{x^{3}-1}}$$
   $$\phi _{9}(x)={\frac {(x^{6}+x^{3}+1)(x^{3}-1)}{x^{3}-1}}$$

   $$\phi _{9}(x)={\frac {(x^{6}+x^{3}+1)(x^{3}-1)}{x^{3}-1}}$$
   $$\phi _{9}(x)=x^{6}+x^{3}+1$$

   $$\phi _{9}(x)=x^{6}+x^{3}+1$$
2. $\phi _{10}(x)={\frac {x^{10}-1}{\phi _{1}(x)*\phi _{2}(x)*\phi _{5}(x)}}$$\phi _{10}(x)={\frac {x^{10}-1}{\phi _{1}(x)*\phi _{2}(x)*\phi _{5}(x)}}$
   $$={\frac {x^{10}-1}{(x^{5}-1)\phi _{2}(x)}}$$

   $$={\frac {x^{10}-1}{(x^{5}-1)\phi _{2}(x)}}$$
   $$={\frac {(x^{5}-1)(x^{5}+1)}{(x^{5}-1)\phi _{2}(x)}}$$

   $$={\frac {(x^{5}-1)(x^{5}+1)}{(x^{5}-1)\phi _{2}(x)}}$$
   $$={\frac {x^{5}+1}{x+1}}$$

   $$={\frac {x^{5}+1}{x+1}}$$
   Eseguo la divisione:
   $${\frac {x^{5}+1}{x+1}}=$$

   $${\frac {x^{5}+1}{x+1}}=$$
   $$q_{1}=x^{4},\,r_{1}=x^{5}+1-x^{4}(x+1)=-x^{4}+1$$

   $$q_{1}=x^{4},\,r_{1}=x^{5}+1-x^{4}(x+1)=-x^{4}+1$$
   $$q_{2}=-x^{3},\,r_{2}=-x^{4}+1+x^{3}(x+1)=x^{3}+1$$

   $$q_{2}=-x^{3},\,r_{2}=-x^{4}+1+x^{3}(x+1)=x^{3}+1$$
   $$q_{3}=x^{2},\,r_{3}=x^{3}+1-x^{2}(x+1)=-x^{2}+1$$

   $$q_{3}=x^{2},\,r_{3}=x^{3}+1-x^{2}(x+1)=-x^{2}+1$$
   $$q_{4}=-x,\,r_{4}=-x^{2}+1+x(x+1)=x+1$$

   $$q_{4}=-x,\,r_{4}=-x^{2}+1+x(x+1)=x+1$$
   $$q_{5}=1$$

   $$q_{5}=1$$
   Complessivamente,
   $$x^{5}+1=(x+1)*(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1)$$

   $$x^{5}+1=(x+1)*(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1)$$
   quindi
   $$\phi _{10}(x)=x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1.$$

   $$\phi _{10}(x)=x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1.$$
3. $\phi _{12}(x)={\frac {x^{12}-1}{\phi _{1}(x)*\phi _{2}(x)*\phi _{3}(x)*\phi _{4}(x)*\phi _{6}(x)}}$$\phi _{12}(x)={\frac {x^{12}-1}{\phi _{1}(x)*\phi _{2}(x)*\phi _{3}(x)*\phi _{4}(x)*\phi _{6}(x)}}$
   $$={\frac {(x^{6}+1)(x^{6}-1)}{\phi _{4}(x)*(x^{6}-1)}}$$

   $$={\frac {(x^{6}+1)(x^{6}-1)}{\phi _{4}(x)*(x^{6}-1)}}$$
   $$={\frac {x^{6}+1}{x^{2}+1}}$$

   $$={\frac {x^{6}+1}{x^{2}+1}}$$
   Eseguo la divisione
   $${\frac {x^{6}+1}{x^{2}+1}}=$$

   $${\frac {x^{6}+1}{x^{2}+1}}=$$
   $$q_{1}=x^{4},\,r_{1}=x^{6}+1-x^{4}(x^{2}+1)=-x^{4}+1$$

   $$q_{1}=x^{4},\,r_{1}=x^{6}+1-x^{4}(x^{2}+1)=-x^{4}+1$$
   $$q_{2}=-x^{2},\,r_{2}=-x^{4}+1+x^{2}(x^{2}+1)=x^{2}+1$$

   $$q_{2}=-x^{2},\,r_{2}=-x^{4}+1+x^{2}(x^{2}+1)=x^{2}+1$$
   $$q_{3}=1,\,r_{3}=0$$

   $$q_{3}=1,\,r_{3}=0$$
   Quindi
   $$x^{6}+1=(x^{4}-x^{2}+1)*(x^{2}+1)$$

   $$x^{6}+1=(x^{4}-x^{2}+1)*(x^{2}+1)$$
   $$\longrightarrow \,\phi _{12}(x)=x^{4}-x^{2}+1$$

   $$\longrightarrow \,\phi _{12}(x)=x^{4}-x^{2}+1$$
4. $\phi _{14}={\frac {x^{14}-1}{\phi _{1}(x)*\phi _{2}(x)*\phi _{7}(x)}}$$\phi _{14}={\frac {x^{14}-1}{\phi _{1}(x)*\phi _{2}(x)*\phi _{7}(x)}}$
   $$={\frac {x^{7}+1}{\phi _{2}(x)}}$$

   $$={\frac {x^{7}+1}{\phi _{2}(x)}}$$
   $$={\frac {x^{7}+1}{x+1}}$$

   $$={\frac {x^{7}+1}{x+1}}$$
   e questa divisione è simile a quella per il calcolo di $\phi _{10}(x)$$\phi _{10}(x)$, quindi
   $$\phi _{14}(x)=x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1$$

   $$\phi _{14}(x)=x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1$$
5. $\phi _{15}(x)={\frac {x^{15}-1}{\phi _{1}(x)*\phi _{3}(x)*\phi _{5}(x)}}$$\phi _{15}(x)={\frac {x^{15}-1}{\phi _{1}(x)*\phi _{3}(x)*\phi _{5}(x)}}$e $\phi _{1}(x)*\phi _{5}(x)=x^{5}-1$$\phi _{1}(x)*\phi _{5}(x)=x^{5}-1$, mentre $\phi _{3}(x)=x^{2}+x+1$$\phi _{3}(x)=x^{2}+x+1$, quindi
   $$={\frac {x^{15}-1}{(x^{2}+x+1)(x^{5}-1)}}$$

   $$={\frac {x^{15}-1}{(x^{2}+x+1)(x^{5}-1)}}$$
   Eseguo la divisione:
   $${\frac {x^{15}-1}{x^{5}-1}}=$$

   $${\frac {x^{15}-1}{x^{5}-1}}=$$
   $$q_{1}=x^{10},\,r_{1}=x^{15}-1-x^{10}(x^{5}-1)=x^{10}-1$$

   $$q_{1}=x^{10},\,r_{1}=x^{15}-1-x^{10}(x^{5}-1)=x^{10}-1$$
   $$q_{2}=x^{5},\,r_{2}=x^{10}-1-x^{5}(x^{5}-1)=x^{5}-1$$

   $$q_{2}=x^{5},\,r_{2}=x^{10}-1-x^{5}(x^{5}-1)=x^{5}-1$$
   $$q_{3}=1,\,r_{3}=0$$

   $$q_{3}=1,\,r_{3}=0$$
   quindi
   $$x^{15}-1=(x^{10}+x^{5}+1)(x^{5}-1)$$

   $$x^{15}-1=(x^{10}+x^{5}+1)(x^{5}-1)$$
   $$\longrightarrow \,\phi _{15}(x)={\frac {x^{10}+x^{5}+1}{x^{2}+x+1}}$$

   $$\longrightarrow \,\phi _{15}(x)={\frac {x^{10}+x^{5}+1}{x^{2}+x+1}}$$
   Ora eseguo la divisione:
   $${\frac {x^{10}+x^{5}+1}{x^{2}+x+1}}=$$

   $${\frac {x^{10}+x^{5}+1}{x^{2}+x+1}}=$$
   $$q_{1}=x^{8},\,r_{1}=x^{10}+x^{5}+1-x^{8}(x^{2}+x+1)=-x^{9}-x^{8}+x^{5}+1$$

   $$q_{1}=x^{8},\,r_{1}=x^{10}+x^{5}+1-x^{8}(x^{2}+x+1)=-x^{9}-x^{8}+x^{5}+1$$
   $$q_{2}=-x^{7},\,r_{2}=-x^{9}-x^{8}+x^{5}+1+x^{7}(x^{2}+x+1)=x^{7}+x^{5}+1$$

   $$q_{2}=-x^{7},\,r_{2}=-x^{9}-x^{8}+x^{5}+1+x^{7}(x^{2}+x+1)=x^{7}+x^{5}+1$$
   $$q_{3}=x^{5},\,r_{3}=x^{7}+x^{5}+1-x^{5}(x^{2}+x+1)=-x^{6}+1$$

   $$q_{3}=x^{5},\,r_{3}=x^{7}+x^{5}+1-x^{5}(x^{2}+x+1)=-x^{6}+1$$
   $$q_{4}=-x^{4},\,r_{4}=-x^{6}+1+x^{4}(x^{2}+x+1)=x^{5}+x^{4}+1$$

   $$q_{4}=-x^{4},\,r_{4}=-x^{6}+1+x^{4}(x^{2}+x+1)=x^{5}+x^{4}+1$$
   $$q_{5}=x^{3},\,r_{5}=x^{5}+x^{4}+1-x^{3}(x^{2}+x+1)=-x^{3}+1$$

   $$q_{5}=x^{3},\,r_{5}=x^{5}+x^{4}+1-x^{3}(x^{2}+x+1)=-x^{3}+1$$
   $$q_{6}=-x,\,r_{6}=-x^{3}+1+x(x^{2}+x+1)=x^{2}+x+1$$

   $$q_{6}=-x,\,r_{6}=-x^{3}+1+x(x^{2}+x+1)=x^{2}+x+1$$
   $$q_{7}=1,\,r_{7}=0$$

   $$q_{7}=1,\,r_{7}=0$$
   Quindi
   $$x^{10}+x^{5}+1=(x^{2}+x+1)(x^{8}-x^{7}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1)$$

   $$x^{10}+x^{5}+1=(x^{2}+x+1)(x^{8}-x^{7}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1)$$
   $$\longrightarrow \,\phi _{15}(x)=x^{8}-x^{7}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1$$

   $$\longrightarrow \,\phi _{15}(x)=x^{8}-x^{7}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1$$
6. $\phi _{16}(x)={\frac {x^{16}-1}{[\phi _{1}(x)*\phi _{2}(x)*\phi _{4}(x)]*\phi _{8}(x)}}$$\phi _{16}(x)={\frac {x^{16}-1}{[\phi _{1}(x)*\phi _{2}(x)*\phi _{4}(x)]*\phi _{8}(x)}}$Il termine tra parentesi quadra è $x^{4}-1$$x^{4}-1$, e uso l'espressione di $\phi _{8}(x)$$\phi _{8}(x)$:
   $$={\frac {(x^{8}+1)(x^{4}+1)(x^{4}-1)}{(x^{4}-1)(x^{4}+1)}}$$

   $$={\frac {(x^{8}+1)(x^{4}+1)(x^{4}-1)}{(x^{4}-1)(x^{4}+1)}}$$
   $$=x^{8}+1$$

   $$=x^{8}+1$$
7. $\phi _{18}(x)={\frac {(x^{9}-1)*(x^{9}+1)}{\phi _{1}(x)*\phi _{2}(x)*\phi _{3}(x)*\phi _{6}(x)*\phi _{9}(x)}}$$\phi _{18}(x)={\frac {(x^{9}-1)*(x^{9}+1)}{\phi _{1}(x)*\phi _{2}(x)*\phi _{3}(x)*\phi _{6}(x)*\phi _{9}(x)}}$
   $$={\frac {(x^{9}-1)*(x^{9}+1)}{[\phi _{1}(x)*\phi _{3}(x)*\phi _{9}(x)]*\phi _{2}(x)*\phi _{6}(x)}}$$

   $$={\frac {(x^{9}-1)*(x^{9}+1)}{[\phi _{1}(x)*\phi _{3}(x)*\phi _{9}(x)]*\phi _{2}(x)*\phi _{6}(x)}}$$
   $$={\frac {x^{9}+1}{(x^{2}-x+1)(x+1)}}$$

   $$={\frac {x^{9}+1}{(x^{2}-x+1)(x+1)}}$$
   Eseguo la divisione:
   $${\frac {x^{9}+1}{x^{2}-x+1}}=$$

   $${\frac {x^{9}+1}{x^{2}-x+1}}=$$
   $$q_{1}=x^{7},\,r_{1}=x^{9}+1-x^{7}(x^{2}-x+1)=x^{8}-x^{7}+1$$

   $$q_{1}=x^{7},\,r_{1}=x^{9}+1-x^{7}(x^{2}-x+1)=x^{8}-x^{7}+1$$
   $$q_{2}=x^{6},\,r_{2}=x^{8}-x^{7}+1-x^{6}(x^{2}-x+1)=-x^{6}+1$$

   $$q_{2}=x^{6},\,r_{2}=x^{8}-x^{7}+1-x^{6}(x^{2}-x+1)=-x^{6}+1$$
   $$q_{3}=-x^{4},\,r_{3}=-x^{6}+1+x^{4}(x^{2}-x+1)=-x^{5}+x^{4}+1$$

   $$q_{3}=-x^{4},\,r_{3}=-x^{6}+1+x^{4}(x^{2}-x+1)=-x^{5}+x^{4}+1$$
   $$q_{4}=-x^{3},\,r_{4}=-x^{5}+x^{4}+1+x^{3}(x^{2}-x+1)=x^{3}+1$$

   $$q_{4}=-x^{3},\,r_{4}=-x^{5}+x^{4}+1+x^{3}(x^{2}-x+1)=x^{3}+1$$
   $$q_{5}=x,\,r_{5}=x^{3}+1-x(x^{2}-x+1)=x^{2}-x+1$$

   $$q_{5}=x,\,r_{5}=x^{3}+1-x(x^{2}-x+1)=x^{2}-x+1$$
   $$q_{6}=1,\,r_{6}=0$$

   $$q_{6}=1,\,r_{6}=0$$
   quindi
   $$x^{9}+1=(x^{2}-x+1)(x^{7}+x^{6}-x^{4}-x^{3}+x+1)$$

   $$x^{9}+1=(x^{2}-x+1)(x^{7}+x^{6}-x^{4}-x^{3}+x+1)$$
   $$\phi _{18}(x)={\frac {x^{7}+x^{6}-x^{4}-x^{3}+x+1}{x+1}}$$

   $$\phi _{18}(x)={\frac {x^{7}+x^{6}-x^{4}-x^{3}+x+1}{x+1}}$$
   $$\phi _{18}(x)={\frac {x^{6}(x+1)-x^{3}(x+1)+x+1}{x+1}}$$

   $$\phi _{18}(x)={\frac {x^{6}(x+1)-x^{3}(x+1)+x+1}{x+1}}$$
   $$\phi _{18}(x)={\frac {(x^{6}-x^{3}+1)(x+1)}{x+1}}$$

   $$\phi _{18}(x)={\frac {(x^{6}-x^{3}+1)(x+1)}{x+1}}$$
   $$\phi _{18}(x)=x^{6}-x^{3}+1$$

   $$\phi _{18}(x)=x^{6}-x^{3}+1$$
8. $\phi _{20}(x)={\frac {(x^{10}-1)(x^{10}+1)}{\phi _{1}(x)*\phi _{2}(x)*\phi _{4}(x)*\phi _{5}(x)*\phi _{10}(x)}}$$\phi _{20}(x)={\frac {(x^{10}-1)(x^{10}+1)}{\phi _{1}(x)*\phi _{2}(x)*\phi _{4}(x)*\phi _{5}(x)*\phi _{10}(x)}}$
   $$\phi _{20}(x)={\frac {(x^{10}-1)(x^{10}+1)}{\phi _{2}(x)*\phi _{4}(x)*\phi _{10}(x)}}$$

   $$\phi _{20}(x)={\frac {(x^{10}-1)(x^{10}+1)}{\phi _{2}(x)*\phi _{4}(x)*\phi _{10}(x)}}$$
   e $\phi _{4}(x)=x^{2}+1$$\phi _{4}(x)=x^{2}+1$, e $\phi _{10}(x)={\frac {x^{5}+1}{x+1}}$$\phi _{10}(x)={\frac {x^{5}+1}{x+1}}$, allora
   $$={\frac {(x^{5}+1)(x^{10}+1)}{(x^{5}+1)/(x+1)*(x+1)*(x^{2}+1)}}$$

   $$={\frac {(x^{5}+1)(x^{10}+1)}{(x^{5}+1)/(x+1)*(x+1)*(x^{2}+1)}}$$
   $$={\frac {x^{10}+1}{x^{2}+1}}$$

   $$={\frac {x^{10}+1}{x^{2}+1}}$$
   $$=x^{8}-x^{6}+x^{4}-x^{2}+1$$

   $$=x^{8}-x^{6}+x^{4}-x^{2}+1$$
   (il risultato si ottiene facendo la sostituzione $y=x^{2}$$y=x^{2}$, infatti abbiamo già eseguito la divisione ${\frac {y^{5}+1}{y+1}}$${\frac {y^{5}+1}{y+1}}$)

$$***************************************$$

$$***************************************$$

Esercizio 7.5

Siano $p,q$$p,q$ primi distinti. Esprimere $\phi _{pq}(x)$$\phi _{pq}(x)$ in termini di $\phi _{p}(x)$$\phi _{p}(x)$.

 

Per il primo lemma, siccome gli unici divisori del prodotto $pq$$pq$ sono $1,p,q,pq$$1,p,q,pq$, si ha

$$\phi _{pq}(x)={\frac {x^{pq}-1}{\phi _{1}(x)*\phi _{p}(x)*\phi _{q}(x)}}$$

$$\phi _{pq}(x)={\frac {x^{pq}-1}{\phi _{1}(x)*\phi _{p}(x)*\phi _{q}(x)}}$$

$$\phi _{pq}(x)={\frac {x^{pq}-1}{\phi _{p}(x)*(x^{q}-1)}}$$

$$\phi _{pq}(x)={\frac {x^{pq}-1}{\phi _{p}(x)*(x^{q}-1)}}$$

Moltiplico e divido per $\phi _{1}(x)=x-1$$\phi _{1}(x)=x-1$:

$$\phi _{pq}(x)={\frac {(x^{pq}-1)(x-1)}{(x-1)*\phi _{p}(x)*(x^{q}-1)}}$$

$$\phi _{pq}(x)={\frac {(x^{pq}-1)(x-1)}{(x-1)*\phi _{p}(x)*(x^{q}-1)}}$$

$$\phi _{pq}(x)={\frac {(x^{pq}-1)(x-1)}{(x^{p}-1)*(x^{q}-1)}}$$

$$\phi _{pq}(x)={\frac {(x^{pq}-1)(x-1)}{(x^{p}-1)*(x^{q}-1)}}$$

$$\phi _{pq}(x)={\frac {((x^{q})^{p}-1)(x-1)}{(x^{p}-1)*(x^{q}-1)}}$$

$$\phi _{pq}(x)={\frac {((x^{q})^{p}-1)(x-1)}{(x^{p}-1)*(x^{q}-1)}}$$

$$\phi _{pq}(x)={\frac {(x^{q})^{p}-1}{x^{q}-1}}*{\frac {x-1}{x^{p}-1}}$$

$$\phi _{pq}(x)={\frac {(x^{q})^{p}-1}{x^{q}-1}}*{\frac {x-1}{x^{p}-1}}$$

$$={\frac {\phi _{p}(x^{q})}{\phi _{p}(x)}}$$

$$={\frac {\phi _{p}(x^{q})}{\phi _{p}(x)}}$$

$$***************************************$$

$$***************************************$$

Esercizio 7.6

Determinare le radici seste dell'unità su $F_{5}$$F_{5}$.

 

Trovare le radici seste dell'unità in $F_{5}$$F_{5}$ equivale a trovare il campo di spezzamento del polinomio $f(x)=x^{6}-1$$f(x)=x^{6}-1$ su $F_{5}$$F_{5}$.

Osservo che gli elementi $1$$1$ e $4$$4$ in $F_{5}$$F_{5}$ sono radici seste dell'unità, in particolare $x+4=x-1\mid f(x)$$x+4=x-1\mid f(x)$ e $x+1\mid f(x)$$x+1\mid f(x)$, e si ha

$$f(x)=x^{6}-1=(x^{3}+1)(x^{3}-1)=(x+1)(x^{2}-x+1)(x-1)(x^{2}+x+1)$$

$$f(x)=x^{6}-1=(x^{3}+1)(x^{3}-1)=(x+1)(x^{2}-x+1)(x-1)(x^{2}+x+1)$$

Pongo $g(x)=x^{2}+x+1$$g(x)=x^{2}+x+1$ e $h(x)=x^{2}-x+1$$h(x)=x^{2}-x+1$.

Considero $K_{0}={\frac {F_{5}[x]}{(x^{2}+x+1)}}=F_{5}(\alpha )$$K_{0}={\frac {F_{5}[x]}{(x^{2}+x+1)}}=F_{5}(\alpha )$ con $\alpha$$\alpha$ radice di $g(x)$$g(x)$, cioè $\alpha ^{2}=4\alpha +4$$\alpha ^{2}=4\alpha +4$.

$$K_{0}=\{a+b\alpha ,\,a,b\in F_{5},\,\alpha ^{2}=4\alpha +4\}$$

$$K_{0}=\{a+b\alpha ,\,a,b\in F_{5},\,\alpha ^{2}=4\alpha +4\}$$

Verifico se $K_{0}$$K_{0}$ contiene radici di $h(x)$$h(x)$, cioè, preso un elemento $a+b\alpha \in K_{0}$$a+b\alpha \in K_{0}$, verifico se soddisfa l'equazione $h(a+b\alpha )=0$$h(a+b\alpha )=0$.

$$(a+b\alpha )^{2}-a-b\alpha +1=0$$

$$(a+b\alpha )^{2}-a-b\alpha +1=0$$

$$a^{2}+2ab\alpha +b^{2}\alpha ^{2}-a-b\alpha +1=0$$

$$a^{2}+2ab\alpha +b^{2}\alpha ^{2}-a-b\alpha +1=0$$

e siccome $\alpha ^{2}=4\alpha +4$$\alpha ^{2}=4\alpha +4$,

$$a^{2}+1+2ab\alpha +b^{2}(4\alpha +4)-a-b\alpha +1=0$$

$$a^{2}+1+2ab\alpha +b^{2}(4\alpha +4)-a-b\alpha +1=0$$

$$a^{2}+1+2ab\alpha +4b^{2}\alpha +4b^{2}-a-b\alpha +1=0$$

$$a^{2}+1+2ab\alpha +4b^{2}\alpha +4b^{2}-a-b\alpha +1=0$$

$$(2ab+4b^{2}-b)\alpha +4b^{2}-a+2+a^{2}=0$$

$$(2ab+4b^{2}-b)\alpha +4b^{2}-a+2+a^{2}=0$$

e quest'equazione è soddisfatta se

$${\begin{cases}a^{2}+4b^{2}+4a+1=0\\2ab+4b^{2}+4b=0\end{cases}}$$

$${\begin{cases}a^{2}+4b^{2}+4a+1=0\\2ab+4b^{2}+4b=0\end{cases}}$$

Osservo che $a=0,b=-1$$a=0,b=-1$, è una soluzione, quindi $-\alpha \in K_{0}$$-\alpha \in K_{0}$ è radice di $h(x)$$h(x)$. Allora $K_{0}$$K_{0}$ è campo di spezzamento per $f(x)$$f(x)$.

Determino l'altra radice di $g(x)$$g(x)$ eseguendo la divisione:

$${\frac {x^{2}+x+1}{x-\alpha }}=$$

$${\frac {x^{2}+x+1}{x-\alpha }}=$$

$$q_{1}=x,\,r_{1}=x^{2}+x+1-x(x-\alpha )=(1+\alpha )x+1$$

$$q_{1}=x,\,r_{1}=x^{2}+x+1-x(x-\alpha )=(1+\alpha )x+1$$

$$q_{2}=1+\alpha ,\,r_{2}=(1+\alpha )x+1-(1+\alpha )(x-\alpha )=\alpha ^{2}+\alpha +1=0$$

$$q_{2}=1+\alpha ,\,r_{2}=(1+\alpha )x+1-(1+\alpha )(x-\alpha )=\alpha ^{2}+\alpha +1=0$$

quindi $x^{2}+x+1=(x-\alpha )(x-1-\alpha )$$x^{2}+x+1=(x-\alpha )(x-1-\alpha )$, cioè l'altra radice di $g(x)$$g(x)$ è $1+\alpha$$1+\alpha$.

Analogamente si verifica che l'altra radice di $h(x)$$h(x)$ è $-1-\alpha$$-1-\alpha$.

Procedimento alternativo: si possono trovare le radici dei due polinomi $g(x),h(x)$$g(x),h(x)$ con la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado.

Concludo che le radici seste dell'unità sono

$$\{1,\,-1,\,\alpha ,-\alpha ,\,\alpha +1,\,-\alpha -1\}$$

$$\{1,\,-1,\,\alpha ,-\alpha ,\,\alpha +1,\,-\alpha -1\}$$

Si ha che $\varphi (6)=2$$\varphi (6)=2$, quindi ci sono due radici primitive seste. Osservo che

$$\alpha ^{2}=-\alpha -1$$

$$\alpha ^{2}=-\alpha -1$$

$$\alpha ^{3}=\alpha *(-\alpha -1)=-\alpha ^{2}-\alpha =\alpha +1-\alpha =1\,\,\longrightarrow o(\alpha )=3$$

$$\alpha ^{3}=\alpha *(-\alpha -1)=-\alpha ^{2}-\alpha =\alpha +1-\alpha =1\,\,\longrightarrow o(\alpha )=3$$

$$(-\alpha )^{2}=-1-\alpha$$

$$(-\alpha )^{2}=-1-\alpha$$

$$(-\alpha )^{3}=(-1-\alpha )*(-\alpha )=\alpha +\alpha ^{2}=-1$$

$$(-\alpha )^{3}=(-1-\alpha )*(-\alpha )=\alpha +\alpha ^{2}=-1$$

$$(-1)^{2}=1\,\,\longrightarrow o(\alpha )=2*3=6$$

$$(-1)^{2}=1\,\,\longrightarrow o(\alpha )=2*3=6$$

$$(\alpha +1)^{2}=\alpha ^{2}+2\alpha +1=\alpha$$

$$(\alpha +1)^{2}=\alpha ^{2}+2\alpha +1=\alpha$$

$$\alpha ^{3}=1,\,\,\longrightarrow \,,o(\alpha )=6$$

$$\alpha ^{3}=1,\,\,\longrightarrow \,,o(\alpha )=6$$

Quindi in particolare, le radici primitive seste sono $-\alpha ,\alpha +1$$-\alpha ,\alpha +1$.

$$***************************************$$

$$***************************************$$

Esercizio 7.7

Sia $\omega \in \mathbb {C}$$\omega \in \mathbb {C}$ radice primitiva $p$$p$-esima dell'unità, cioè $\omega =\cos(2\pi /p)+i\sin(2\pi /p)$$\omega =\cos(2\pi /p)+i\sin(2\pi /p)$ e considero $\mathbb {Q} (\omega )\supseteq \mathbb {Q}$$\mathbb {Q} (\omega )\supseteq \mathbb {Q}$. Calcolare traccia e norma, $t(\omega )$$t(\omega )$ e $n(\omega )$$n(\omega )$, di $\omega$$\omega$ in $\mathbb {Q} (\omega )\supseteq \mathbb {Q}$$\mathbb {Q} (\omega )\supseteq \mathbb {Q}$.

 

Per le osservazioni precedenti sappiamo che ${\mathcal {G}}(\mathbb {Q} (\omega )/\mathbb {Q} )\cong U_{p}$${\mathcal {G}}(\mathbb {Q} (\omega )/\mathbb {Q} )\cong U_{p}$ e quindi è un gruppo ciclico di ordine $p-1$$p-1$, chiamo i suoi elementi $\{g_{1},g_{2},\dots ,g_{p-1}\}$$\{g_{1},g_{2},\dots ,g_{p-1}\}$.

Gli elementi di ${\mathcal {G}}(\mathbb {Q} (\omega )/\mathbb {Q} )$${\mathcal {G}}(\mathbb {Q} (\omega )/\mathbb {Q} )$ sono determinati dalla loro azione su $\omega$$\omega$, e sono tali che $\omega \mapsto \omega ^{i}$$\omega \mapsto \omega ^{i}$ per $i=1,\dots ,p-1$$i=1,\dots ,p-1$, in particolare sia $g_{i}$$g_{i}$ tale che $\omega \mapsto \omega ^{i}$$\omega \mapsto \omega ^{i}$.

CALCOLO DELLA TRACCIA: Per definizione

$$t(\omega )=\omega ^{g_{1}}+\omega ^{g_{2}}+\dots +\omega ^{g_{n}}$$

$$t(\omega )=\omega ^{g_{1}}+\omega ^{g_{2}}+\dots +\omega ^{g_{n}}$$

$$=\sum _{i=1}^{p-1}\omega ^{i}=\omega +\omega ^{2}+\dots +\omega ^{p-1}$$

$$=\sum _{i=1}^{p-1}\omega ^{i}=\omega +\omega ^{2}+\dots +\omega ^{p-1}$$

e in particolare, $t(\omega )+1=\phi _{p}(\omega )$$t(\omega )+1=\phi _{p}(\omega )$, e siccome $\omega$$\omega$ è radice del polinomio ciclotomico, $\phi _{p}(\omega )=0$$\phi _{p}(\omega )=0$ quindi $t(\omega )=-1$$t(\omega )=-1$.

CALCOLO DELLA NORMA:

$$n(\omega )=\prod _{i=1}^{p-1}\omega ^{g_{i}}=\prod _{i=1}^{p-1}\omega ^{i}$$

$$n(\omega )=\prod _{i=1}^{p-1}\omega ^{g_{i}}=\prod _{i=1}^{p-1}\omega ^{i}$$

$$=\omega ^{\sum _{i=1}^{p-1}i}=\omega ^{p(p-1)/2}=(1)^{(p-1)/2}=1$$

$$=\omega ^{\sum _{i=1}^{p-1}i}=\omega ^{p(p-1)/2}=(1)^{(p-1)/2}=1$$

$$***************************************$$

$$***************************************$$

Esercizio 7.8

Sia $\alpha ={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$$\alpha ={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$.

1. Calcolare il polinomio minimo $f(x)$$f(x)$ di $\alpha$$\alpha$ su $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$.
2. Sia $M$$M$ campo di spezzamento di $f(x)$$f(x)$ su $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$, mostrare che ${\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$${\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$ è ciclico di ordine 4.
3. Determinare la corrispondenza di Galois tra campi intermedi e sottogruppi.

 

1. POLINOMIO MINIMO: Osservo che
   $$\alpha ^{2}=2+{\sqrt {2}}\,\longrightarrow \,\alpha ^{2}-2={\sqrt {2}}$$

   $$\alpha ^{2}=2+{\sqrt {2}}\,\longrightarrow \,\alpha ^{2}-2={\sqrt {2}}$$
   ed elevando al quadrato l'ultima identità si ha:
   $$\alpha ^{4}+4-4\alpha ^{2}=2,\,\longrightarrow \,\alpha ^{4}-4\alpha ^{2}+2=0$$

   $$\alpha ^{4}+4-4\alpha ^{2}=2,\,\longrightarrow \,\alpha ^{4}-4\alpha ^{2}+2=0$$
   cioè $\alpha$$\alpha$ è radice del polinomio $f(x)=x^{4}-4x^{2}+2$$f(x)=x^{4}-4x^{2}+2$. $f(x)$$f(x)$ è monico, e mostro che è irriducibile. Pongo $x^{2}=t$$x^{2}=t$ e risolvo l'equazione
   $$t^{2}-4t+2=0$$

   $$t^{2}-4t+2=0$$
   $$t_{1,2}={\frac {4\pm {\sqrt {8}}}{2}}$$

   $$t_{1,2}={\frac {4\pm {\sqrt {8}}}{2}}$$
   $$t_{1,2}={\frac {4\pm 2{\sqrt {2}}}{2}}$$

   $$t_{1,2}={\frac {4\pm 2{\sqrt {2}}}{2}}$$
   $$t_{1,2}=2\pm {\sqrt {2}}$$

   $$t_{1,2}=2\pm {\sqrt {2}}$$
   quindi $f(x)$$f(x)$ si fattorizza nel modo seguente:
   $$f(x)=(x^{2}-{\sqrt {2}}-2)(x^{2}-2+{\sqrt {2}})$$

   $$f(x)=(x^{2}-{\sqrt {2}}-2)(x^{2}-2+{\sqrt {2}})$$
   quindi $f(x)$$f(x)$ non ammette una fattorizzazione in $\mathbb {Q} [x]$$\mathbb {Q} [x]$ ed è irriducibile in $\mathbb {Q} [x]$$\mathbb {Q} [x]$, quindi è il polinomio minimo di $\alpha$$\alpha$ su $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$ (potevo anche usare il Criterio di Eisenstein).
2. GRUPPO DI GALOIS: Pongo $\alpha ={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$$\alpha ={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$ e $\beta ={\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$$\beta ={\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$, allora le radici di $f(x)$$f(x)$ sono $\pm \alpha$$\pm \alpha$ e $\pm \beta$$\pm \beta$.${\rm {{gr}(f(x))=|\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} |=4}}$${\rm {{gr}(f(x))=|\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} |=4}}$, siccome dobbiamo mostrare che ${\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$${\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$ è ciclico di ordine 4, mostriamo che $M=\mathbb {Q} (\alpha )$$M=\mathbb {Q} (\alpha )$, equivalentemente che $\beta \in \mathbb {Q} (\alpha )$$\beta \in \mathbb {Q} (\alpha )$. Moltiplico e divido $\beta$$\beta$ per ${\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$${\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$:
   $$\beta ={\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}={\frac {{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}*{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$$

   $$\beta ={\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}={\frac {{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}*{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$$
   $$={\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}=(\alpha ^{2}-2)/\alpha =(\alpha ^{2}-2)*\alpha ^{-1}$$

   $$={\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}=(\alpha ^{2}-2)/\alpha =(\alpha ^{2}-2)*\alpha ^{-1}$$
   quindi $\beta \in \mathbb {Q} (\alpha )$$\beta \in \mathbb {Q} (\alpha )$ e $M=\mathbb {Q} (\alpha )$$M=\mathbb {Q} (\alpha )$.Segue quindi che $4=|M:\mathbb {Q} |=o({\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$$4=|M:\mathbb {Q} |=o({\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )$, e $G:={\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )=\{g_{1},g_{2},g_{3},g_{4}\}$$G:={\mathcal {G}}(M/\mathbb {Q} )=\{g_{1},g_{2},g_{3},g_{4}\}$. Gli elementi di $G$$G$ sono determinati dalla loro azione su $\alpha$$\alpha$, e mandano $\alpha$$\alpha$ in una delle radici di $f(x)$$f(x)$; supponiamo che gli elementi di $G$$G$ siano definiti nel seguente modo:
   $$\alpha ^{g_{1}}=\alpha ,\,\alpha ^{g_{2}}=-\alpha ,\,\alpha ^{g_{3}}=\beta ,\,\alpha ^{g_{4}}=-\beta .$$

   $$\alpha ^{g_{1}}=\alpha ,\,\alpha ^{g_{2}}=-\alpha ,\,\alpha ^{g_{3}}=\beta ,\,\alpha ^{g_{4}}=-\beta .$$
   Per mostrare che $G$$G$ è ciclico, basta trovare un elemento di ordine 4. Esplicito le relazioni tra gli elementi di $G$$G$:#*Per $g_{2}$$g_{2}$ si ha:
   $$\alpha ^{g_{2}^{2}}=(-\alpha )^{g_{2}}=\alpha$$

   $$\alpha ^{g_{2}^{2}}=(-\alpha )^{g_{2}}=\alpha$$
   quindi $o(g_{2})=2$$o(g_{2})=2$. Considero allora $g_{3}$$g_{3}$:#*Per $g_{3}$$g_{3}$ si ha
   $$\alpha ^{g_{3}^{2}}=\beta ^{g_{3}}=(\beta ^{2}-2)/\beta$$

   $$\alpha ^{g_{3}^{2}}=\beta ^{g_{3}}=(\beta ^{2}-2)/\beta$$
   e sostituendo l'espressione di $\beta$$\beta$:
   $$={\frac {2-{\sqrt {2}}-2}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$$

   $$={\frac {2-{\sqrt {2}}-2}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$$
   $$={\frac {-{\sqrt {2}}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$$

   $$={\frac {-{\sqrt {2}}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$$
   moltiplico e divido per ${\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$${\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$:
   $$={\frac {-{\sqrt {2}}*{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}{{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}*{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}$$

   $$={\frac {-{\sqrt {2}}*{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}{{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}*{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}$$
   $$={\frac {-{\sqrt {2}}*{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}{\sqrt {2}}}$$

   $$={\frac {-{\sqrt {2}}*{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}{\sqrt {2}}}$$
   $$=-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}=-\alpha$$

   $$=-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}=-\alpha$$
   quindi $\alpha ^{g_{3}^{2}}=\alpha ^{g_{2}}$$\alpha ^{g_{3}^{2}}=\alpha ^{g_{2}}$, e $g_{3}^{2}=g_{2}$$g_{3}^{2}=g_{2}$. Allora $g_{3}$$g_{3}$ non ha ordine 2 e quindi ha necessariamente ordine 4, cioè $G$$G$ è ciclico generato da $g_{3}$$g_{3}$, e pongo $g:=g_{3}$$g:=g_{3}$, e si ha $g_{2}=g^{2}$$g_{2}=g^{2}$.#*Si verifica anche che $g_{4}=g^{3}$$g_{4}=g^{3}$, infatti
   $$\alpha ^{g^{3}}=\beta ^{g^{2}}=(-\alpha )^{g}=-\beta$$

   $$\alpha ^{g^{3}}=\beta ^{g^{2}}=(-\alpha )^{g}=-\beta$$
   quindi $\alpha ^{g^{3}}=\alpha ^{g_{4}}$$\alpha ^{g^{3}}=\alpha ^{g_{4}}$ e $g_{4}=g^{3}$$g_{4}=g^{3}$.Concludo che $G=\{1,g,g^{2},g^{3}\}$$G=\{1,g,g^{2},g^{3}\}$ con $\alpha ^{g}=\beta$$\alpha ^{g}=\beta$.L'estensione $M\supseteq \mathbb {Q}$$M\supseteq \mathbb {Q}$ è normale perché $M$$M$ è campo di spezzamento su $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$ di $f(x)$$f(x)$ e siamo in caratteristica 0.
3. CORRISPONDENZA DI GALOIS: L'unico sottogruppo proprio di $G$$G$ è $H=\{1,g^{2}\}$$H=\{1,g^{2}\}$, e determino il corrispondente campo intermedio $H'={\rm {{Fix}(H)}}$$H'={\rm {{Fix}(H)}}$. Basta determinare gli elementi di $M$$M$ fissati da $g^{2}$$g^{2}$. Essendo $M$$M$ campo di spezzamento di $f(x)$$f(x)$ si ha
   $$M=\{a_{0}+a_{1}\alpha +a_{2}\alpha ^{2}+a_{3}\alpha ^{3},\,a_{i}\in \mathbb {Q} ,\;\forall i,\alpha ^{4}=4\alpha ^{2}-2\}$$

   $$M=\{a_{0}+a_{1}\alpha +a_{2}\alpha ^{2}+a_{3}\alpha ^{3},\,a_{i}\in \mathbb {Q} ,\;\forall i,\alpha ^{4}=4\alpha ^{2}-2\}$$
   Dato $\xi \in M$$\xi \in M$, siccome $g^{2}$$g^{2}$ è tale che $\alpha \mapsto -\alpha$$\alpha \mapsto -\alpha$, si ha
   $$\xi ^{g^{2}}=a_{0}-a_{1}\alpha +a_{2}\alpha ^{2}-a_{3}\alpha ^{3}$$

   $$\xi ^{g^{2}}=a_{0}-a_{1}\alpha +a_{2}\alpha ^{2}-a_{3}\alpha ^{3}$$
   e $\xi ^{g^{2}}=\xi$$\xi ^{g^{2}}=\xi$ se e solo se $a_{1}=a_{3}=0$$a_{1}=a_{3}=0$. Si ha quindi
   $$H'=\{a_{0}+a_{2}\alpha ^{2},\,a_{i}\in \mathbb {Q} ,\;\forall i\}=\mathbb {Q} (\alpha ^{2})$$

   $$H'=\{a_{0}+a_{2}\alpha ^{2},\,a_{i}\in \mathbb {Q} ,\;\forall i\}=\mathbb {Q} (\alpha ^{2})$$
   Diagramma dei campi: $\mathbb {Q} (\alpha )\supseteq \mathbb {Q} (\alpha ^{2})\supseteq \mathbb {Q}$$\mathbb {Q} (\alpha )\supseteq \mathbb {Q} (\alpha ^{2})\supseteq \mathbb {Q}$ (i tre campi sono uniti da un segmento)Diagramma dei sottogruppi: $1\leq H\leq G$$1\leq H\leq G$

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Esercizio 7.9

Determinare il gruppo di Galois ${\mathcal {G}}(\mathbb {Q} (\omega )/\mathbb {Q} )$${\mathcal {G}}(\mathbb {Q} (\omega )/\mathbb {Q} )$ dove $\omega$$\omega$ è una radice sedicesima dell'unità.