Separabilità e inseparabilità

Campi perfetti

Sia $F$$F$ un campo di caratteristica $p$$p$, con $p>0$$p>0$ primo. Allora esiste l'omomorfismo di Frobenius $\phi :F\to F$$\phi :F\to F$ tale che $\phi (a)=a^{p}$$\phi (a)=a^{p}$. Vale che

$$\phi (a+b)=(a+b)^{p}=a^{p}+b^{p}=\phi (a)+\phi (b)$$

$$\phi (a+b)=(a+b)^{p}=a^{p}+b^{p}=\phi (a)+\phi (b)$$

$$\phi (ab)=(ab)^{p}=a^{p}*b^{p}=\phi (a)*\phi (b)$$

$$\phi (ab)=(ab)^{p}=a^{p}*b^{p}=\phi (a)*\phi (b)$$

Inoltre $\phi (1)=1$$\phi (1)=1$ e in particolare $\phi$$\phi$ è iniettivo.

L'immagine di $\phi$$\phi$, indicata con $F^{p}$$F^{p}$, è l'insieme $\{a^{p},\;a\in F\}$$\{a^{p},\;a\in F\}$ ed è un sottocampo di $F$$F$.

Definizione 6.1

$F$$F$ si dice perfetto se $F^{p}=F$$F^{p}=F$, cioè se $\phi$$\phi$ è suriettivo: in altre parole, $F$$F$ è perfetto se comunque prendo $a\in F$$a\in F$, esiste $b\in F$$b\in F$ tale che $a=b^{p}$$a=b^{p}$.

 

Esempio 6.1

Ogni campo $F$$F$ finito di caratteristica prima è tale che $|F|=|F^{p}|$$|F|=|F^{p}|$, e quindi è perfetto.

 

Esempio 6.2 (esempio di campo non perfetto infinito)

Considero $F=F_{p}(t)$$F=F_{p}(t)$ campo delle funzioni razionali a coefficienti in $F_{p}$$F_{p}$ nell'indeterminata $t$$t$. Allora $t\notin F^{p}$$t\notin F^{p}$. Infatti, se $t\in F^{p}$$t\in F^{p}$, esisterebbe $f(t)/g(t)\in F$$f(t)/g(t)\in F$ con $f(t),g(t)\in F[t]$$f(t),g(t)\in F[t]$, tale che $t=(f(t)/g(t))^{p}={\frac {f(t)^{p}}{g(t)^{p}}}$$t=(f(t)/g(t))^{p}={\frac {f(t)^{p}}{g(t)^{p}}}$, cioè $t*(g(t))^{p}=(f(t))^{p}$$t*(g(t))^{p}=(f(t))^{p}$, ma questo non può avvenire perché se così fosse si avrebbe $p{\rm {{gr}(f(t))=1+p*{\rm {{gr}(g(t))}}}}$$p{\rm {{gr}(f(t))=1+p*{\rm {{gr}(g(t))}}}}$.

 

Teorema 6.3

Sia $f(x)\in F(x)$$f(x)\in F(x)$ un polinomio irriducibile e non separabile. Allora ${\rm {{car}F=p}}$${\rm {{car}F=p}}$ primo, e $F$$F$ non è perfetto (e quindi in particolare non è finito).

 

Dimostrazione

Dire $f$$f$ irriducibile e non separabile significa che $f'(x)=0$$f'(x)=0$, e quindi necessariamente ${\rm {{car}F=p}}$${\rm {{car}F=p}}$ primo, e $f(x)=g(x^{p})$$f(x)=g(x^{p})$ per un certo $g(x)\in F[x]$$g(x)\in F[x]$. Ora $g(x)$$g(x)$ è un polinomio della forma $\sum _{i}a_{i}x^{i},\,a_{i}\in F$$\sum _{i}a_{i}x^{i},\,a_{i}\in F$. Se $F$$F$ fosse perfetto, si avrebbe che $a_{i}=b_{i}^{p}$$a_{i}=b_{i}^{p}$ per un certo $b_{i}\in F$$b_{i}\in F$, e quindi

$$f(x)=\sum _{i}a_{i}x^{ip}=\sum _{i}b_{i}^{p}(x^{i})^{p}$$

$$f(x)=\sum _{i}a_{i}x^{ip}=\sum _{i}b_{i}^{p}(x^{i})^{p}$$

$$=\sum _{i}(b_{i}x^{i})^{p}=(\sum _{i}b_{i}x^{i})^{p}=(h(x))^{p}$$

$$=\sum _{i}(b_{i}x^{i})^{p}=(\sum _{i}b_{i}x^{i})^{p}=(h(x))^{p}$$

dove ho posto $h(x)=\sum _{i}b_{i}x^{i}$$h(x)=\sum _{i}b_{i}x^{i}$. Quindi $f(x)=(h(x))^{p}$$f(x)=(h(x))^{p}$ ma $f$$f$ è irriducibile quindi questo non può avvenire.

 

Corollario 6.1

Sia $F$$F$ un campo con ${\rm {{car}F=0}}$${\rm {{car}F=0}}$ o ${\rm {{car}F=p}}$${\rm {{car}F=p}}$ primo e $F$$F$ perfetto. Allora ogni estensione algebrica di $F$$F$ è separabile.

 

Dimostrazione

Sia $E\supseteq F$$E\supseteq F$ un'estensione algebrica di $F$$F$, allora ogni $\alpha \in E$$\alpha \in E$ è algebrico su $F$$F$. Il polinomio minimo di $\alpha$$\alpha$ che è irriducibile in $F[x]$$F[x]$ dev'essere separabile, altrimenti per il lemma precedente $F$$F$ non sarebbe perfetto.

 

Corollario 6.2

Sia $F$$F$ un campo con caratteristica prima, e $f(x)\in F[x]$$f(x)\in F[x]$ un polinomio irriducibile allora $f(x)=g(x^{p^{n}})$$f(x)=g(x^{p^{n}})$ per $n\geq 0$$n\geq 0$, e per un certo polinomio $g(x)$$g(x)$ irriducibile e separabile.

 

Dimostrazione

CASO 1: Se $f'(x)\neq 0$$f'(x)\neq 0$, $f(x)$$f(x)$ è separabile, allora il risultato è vero se prendo $n=0$$n=0$, e $g(x)=f(x)$$g(x)=f(x)$.

CASO 2: Se invece $f'(x)=0$$f'(x)=0$, $f(x)=h(x^{p})$$f(x)=h(x^{p})$ per un certo $h(x)\in F[x]$$h(x)\in F[x]$. Ora $h(x)$$h(x)$ dev'essere irriducibile, perché se $h$$h$ ammettesse una fattorizzazione propria, si avrebbe $h(x)=s(x)*t(x)$$h(x)=s(x)*t(x)$, e $f(x)=h(x^{p})=s(x^{p})*t(x^{p})$$f(x)=h(x^{p})=s(x^{p})*t(x^{p})$, ma $f$$f$ è irriducibile e quindi questo non può avvenire. In particolare ${\rm {{gr}(h(x))<{\rm {{gr}(f(x))}}}}$${\rm {{gr}(h(x))<{\rm {{gr}(f(x))}}}}$.

Per induzione sul grado, il risultato è vero per $h(x)$$h(x)$, cioè posso scrivere $h(x)=g(x^{p^{n}})$$h(x)=g(x^{p^{n}})$, con $n\geq 0$$n\geq 0$ e $g(x)$$g(x)$ separabile e irriducibile. Allora $f(x)=h(x^{p})=g(x^{p^{n+1}})$$f(x)=h(x^{p})=g(x^{p^{n+1}})$ e quindi vale l'asserto anche per $f$$f$.

 

Estensione puramente inseparabile

Definizione 6.2

Data $E\supseteq F$$E\supseteq F$ un'estensione algebrica, $E\supseteq F$$E\supseteq F$ si dice separabile (su $F$$F$) se ogni elemento di $E$$E$ è separabile su $F$$F$, ovvero se per ogni $\alpha \in E$$\alpha \in E$, il polinomio minimo di $\alpha$$\alpha$ in $F[x]$$F[x]$ è un polinomio separabile (su $F$$F$).

 

Definizione 6.3

Data $E\supseteq F$$E\supseteq F$ un'estensione algebrica, dico che $E\supseteq F$$E\supseteq F$ è puramente inseparabile se gli unici elementi di $E$$E$ separabili su $F$$F$ sono gli elementi di $F$$F$ (un'estensione puramente inseparabile ha il minor numero possibile di elementi separabili).

 

Esempio 6.3

$F$$F$ come estensione di se stesso è puramente inseparabile.

 

Osservazione 6.1

Se $E\supset F$$E\supset F$ è un'estensione algebrica e puramente inseparabile, allora ${\rm {{car}F=p}}$${\rm {{car}F=p}}$ e $F$$F$ non può essere perfetto per il primo teorema dimostrato.

 

Teorema 6.4

Sia $E\supseteq F$$E\supseteq F$ un'estensione algebrica, con $F$$F$ campo di caratteristica $p$$p$ prima. Allora sono equivalenti queste tre affermazioni:

1. $E$$E$ è puramente inseparabile su $F$$F$;
2. comunque prendo $\alpha \in E$$\alpha \in E$, $\alpha ^{p^{n}}\in F$$\alpha ^{p^{n}}\in F$ per $n\geq 0$$n\geq 0$;
3. ogni elemento di $E$$E$ ha polinomio minimo su $F$$F$ della forma $x^{p^{n}}-a$$x^{p^{n}}-a$, con $a\in F$$a\in F$ e $n\geq 0$$n\geq 0$.

 

Corollario 6.3

Sia $E=F(\alpha )$$E=F(\alpha )$ un'estensione semplice, con $F$$F$ di caratteristica $p$$p$ primo, e $\alpha ^{p^{n}}\in F$$\alpha ^{p^{n}}\in F$ per un certo $n\geq 0$$n\geq 0$. Allora $E$$E$ è puramente inseparabile su $F$$F$.

 

Dimostrazione

Sia $\beta \in E=F(\alpha )$$\beta \in E=F(\alpha )$, devo mostrare che $\beta ^{p^{*}}\in F$$\beta ^{p^{*}}\in F$. Infatti, se questo avviene, $E$$E$ è puramente inseparabile su $F$$F$ per il teorema appena enunciato.

$\beta \in F(\alpha )$$\beta \in F(\alpha )$, allora $\beta =a_{m}\alpha ^{m}+a_{m-1}\alpha ^{m-1}+\dots +a_{1}\alpha +a_{0}$$\beta =a_{m}\alpha ^{m}+a_{m-1}\alpha ^{m-1}+\dots +a_{1}\alpha +a_{0}$ con $a_{i}\in F$$a_{i}\in F$. Quindi, siccome siamo in caratteristica $p$$p$

$$\beta ^{p^{n}}=a_{m}^{p^{n}}*\alpha ^{p^{n}*m}+a_{m-1}^{p^{n}}*\alpha ^{p^{n}*(m-1)}+\dots +a_{1}^{p^{n}}\alpha ^{p^{n}}+a_{0}^{p^{n}}\in F$$

$$\beta ^{p^{n}}=a_{m}^{p^{n}}*\alpha ^{p^{n}*m}+a_{m-1}^{p^{n}}*\alpha ^{p^{n}*(m-1)}+\dots +a_{1}^{p^{n}}\alpha ^{p^{n}}+a_{0}^{p^{n}}\in F$$

perché per ipotesi $\alpha ^{p^{n}}\in F$$\alpha ^{p^{n}}\in F$.

 

Esempio 6.4

Per avere un esempio non banale di estensione puramente inseparabile prendo $F$$F$ un campo di caratteristica $p$$p$ primo, non perfetto. Allora esiste un elemento $a\in F\smallsetminus F^{p}$$a\in F\smallsetminus F^{p}$. Pongo $f(x)=x^{p}-a\in F[x]$$f(x)=x^{p}-a\in F[x]$, sia $M$$M$ il campo di spezzamento per $f(x)$$f(x)$ su $F$$F$, e $\alpha$$\alpha$ una radice di $f(x)$$f(x)$. Considero $E=F(\alpha )$$E=F(\alpha )$. Siccome $f(\alpha )=0$$f(\alpha )=0$, $\alpha ^{p}=a\in F$$\alpha ^{p}=a\in F$, quindi $E$$E$ è un'estensione di $F$$F$ puramente inseparabile.

Osservo che $E\neq F$$E\neq F$, perché $a\notin F^{p}$$a\notin F^{p}$. Inoltre $E=F(\alpha )$$E=F(\alpha )$ è campo di spezzamento per $f(x)$$f(x)$ su $F$$F$, perché $f(x)=x^{p}-a$$f(x)=x^{p}-a$ con $a=\alpha ^{p}$$a=\alpha ^{p}$, cioè $f(x)=x^{p}-\alpha ^{p}=(x-\alpha )^{p}$$f(x)=x^{p}-\alpha ^{p}=(x-\alpha )^{p}$.

 

Conclusione: se $F$$F$ è un campo con ${\rm {{car}F=p}}$${\rm {{car}F=p}}$ primo e $F$$F$ non perfetto, allora $F$$F$ ammette un'estensione puramente inseparabile non banale.

Condizioni equivalenti ad essere puramente inseparabile

Teorema 6.5

Data un'estensione algebrica $E\supseteq F$$E\supseteq F$ con ${\rm {{car}F=p}}$${\rm {{car}F=p}}$ primo, allora sono equivalenti

1. $E\supseteq F$$E\supseteq F$ è puramente inseparabile.
2. per ogni $\alpha \in E$$\alpha \in E$, esiste $n\geq 0$$n\geq 0$ con $\alpha ^{p^{n}}\in F$$\alpha ^{p^{n}}\in F$;
3. il polinomio minimo su $F$$F$ di ogni elemento di $E$$E$ è della forma $x^{p^{n}}-a,\,n\geq 0,a\in F$$x^{p^{n}}-a,\,n\geq 0,a\in F$

 

Dimostrazione

$1\longrightarrow 2$$1\longrightarrow 2$: sia $\alpha \in E$$\alpha \in E$ e $f(x)$$f(x)$ il polinomio minimo di $\alpha$$\alpha$ su $F$$F$. Allora per il corollario precedente posso scrivere $f(x)=g(x^{p^{n}})$$f(x)=g(x^{p^{n}})$ con $g(x)\in F[x]$$g(x)\in F[x]$ polinomio irriducibile e separabile. Allora $g(x)$$g(x)$ è polinomio minimo di $\alpha ^{p^{n}}$$\alpha ^{p^{n}}$ essendo $g(x)$$g(x)$ irriducibile e monico, e quindi $\alpha ^{p^{n}}$$\alpha ^{p^{n}}$ è separabile su $F$$F$. Ma per l'ipotesi l'estensione è puramente inseparabile quindi tutti gli elementi separabili su $F$$F$ stanno in $F$$F$, allora $\alpha ^{p^{n}}\in F$$\alpha ^{p^{n}}\in F$.

$2\longrightarrow 3$$2\longrightarrow 3$: per ipotesi, $\alpha ^{p^{n}}\in F$$\alpha ^{p^{n}}\in F$, cioè $\alpha$$\alpha$ è radice del polinomio $x^{p^{n}}-\alpha ^{p^{n}}\in F[x]$$x^{p^{n}}-\alpha ^{p^{n}}\in F[x]$. Ma essendo in caratteristica $p$$p$, $g(x)=x^{p^{n}}-\alpha ^{p^{n}}=(x-\alpha )^{p^{n}}$$g(x)=x^{p^{n}}-\alpha ^{p^{n}}=(x-\alpha )^{p^{n}}$, quindi un fattore irriducibile di $g(x)$$g(x)$ in $F[x]$$F[x]$ sarà della forma $f(x)=(x-\alpha )^{r}$$f(x)=(x-\alpha )^{r}$. Siccome $f(\alpha )=0$$f(\alpha )=0$, segue che $f(x)$$f(x)$ è il polinomio minimo di $\alpha$$\alpha$ su $F$$F$ e quindi $f(x)$$f(x)$ è univocamente determinato. Dunque $f(x)$$f(x)$e' l'unico fattore irriducibile di $g(x)$$g(x)$ in $F[x]$$F[x]$ e pertanto $g(x)$$g(x)$ è una potenza di $f(x)$$f(x)$, quindi $r\mid p^{n}$$r\mid p^{n}$ e $r=p^{m},\,m\in \mathbb {N}$$r=p^{m},\,m\in \mathbb {N}$. Segue che $f(x)=x^{p^{m}}-a$$f(x)=x^{p^{m}}-a$ con $a=\alpha ^{p^{m}}\in F$$a=\alpha ^{p^{m}}\in F$.

$3\longrightarrow 1$$3\longrightarrow 1$: sia $\alpha \in E$$\alpha \in E$ e supponiamo che $\alpha$$\alpha$ sia separabile su $F$$F$. Vogliamo mostrare che $\alpha \in F$$\alpha \in F$. Per ipotesi il polinomio minimo di $\alpha$$\alpha$ su $F$$F$ è della forma $f(x)=x^{p^{n}}-a,\,a\in F,n\geq 0$$f(x)=x^{p^{n}}-a,\,a\in F,n\geq 0$.

$f(\alpha )=0$$f(\alpha )=0$ implica che $a=\alpha ^{p^{n}}$$a=\alpha ^{p^{n}}$. Allora $f(x)=x^{p^{n}}-\alpha ^{p^{n}}=(x-\alpha )^{p^{n}}$$f(x)=x^{p^{n}}-\alpha ^{p^{n}}=(x-\alpha )^{p^{n}}$. Se $n\geq 1$$n\geq 1$ (e quindi $p^{n}>1$$p^{n}>1$), $(x-\alpha )^{2}\mid f(x)$$(x-\alpha )^{2}\mid f(x)$ ma $f(x)$$f(x)$ dev'essere separabile, allora non può avere radici multiple, rimane provato che $n=0$$n=0$ e $\alpha \in F$$\alpha \in F$.

 

Corollario 6.4

Sia $F$$F$ un campo di caratteristica $p$$p$, con $p$$p$ primo, e $E$$E$ un'estensione di $F$$F$ puramente inseparabile. Allora

1. Se $E\supseteq L\supseteq F$$E\supseteq L\supseteq F$, allora $E\supseteq L$$E\supseteq L$ e $L\supseteq F$$L\supseteq F$ sono puramente inseparabili.
2. se $|E:F|$$|E:F|$ è finito, allora $|E:F|=p^{*}$$|E:F|=p^{*}$.

 

Dimostrazione

1. $E\supseteq F$$E\supseteq F$ è puramente inseparabile, quindi per il teorema appena dimostrato,dato $\alpha \in E$$\alpha \in E$, si ha che $\alpha ^{p^{n}}\in F$$\alpha ^{p^{n}}\in F$ per $n\geq 0$$n\geq 0$. Allora $\alpha ^{p^{n}}\in L$$\alpha ^{p^{n}}\in L$, quindi $E\supseteq L$$E\supseteq L$ è puramente inseparabile.Inoltre se $\beta \in L$$\beta \in L$, si ha $\beta \in E$$\beta \in E$, e siccome $E\supseteq F$$E\supseteq F$ è puramente inseparabile, $\beta ^{p^{m}}\in F$$\beta ^{p^{m}}\in F$ per un certo $m\geq 0$$m\geq 0$, quindi $L\supseteq F$$L\supseteq F$ è puramente inseparabile.
2. Procediamo per induzione su $|E:F|$$|E:F|$. Se $|E:F|=1$$|E:F|=1$, allora $1=p^{0}$$1=p^{0}$ e quindi il passo base vale. Altrimenti, prendo $\alpha \in E\smallsetminus F$$\alpha \in E\smallsetminus F$, allora per la condizione 3 del teorema precedente, il polinomio minimo di $\alpha$$\alpha$ su $F$$F$ è della forma $x^{p^{n}}-a$$x^{p^{n}}-a$. Quindi $|F(\alpha ):F|=p^{n}$$|F(\alpha ):F|=p^{n}$. Considero la catena di estensioni $E\supseteq F(\alpha )\supseteq F$$E\supseteq F(\alpha )\supseteq F$. Per la prima parte di questo corollario, $E\supseteq F(\alpha )$$E\supseteq F(\alpha )$ è puramente inseparabile, e ha grado $<|E:F|$$<|E:F|$ perché hoscelto $\alpha \in E\smallsetminus F$$\alpha \in E\smallsetminus F$, allora per induzione $|E:F(\alpha )|=p^{m}$$|E:F(\alpha )|=p^{m}$ e il resto segue dal teorema della torre, cioè $|E:F|=p^{n+m}$$|E:F|=p^{n+m}$.

 

Corollario 6.5 (transitività delle estensioni puramente inseparabili)

Data la catena di estensioni $E\supseteq L\supseteq F$$E\supseteq L\supseteq F$, con $E\supseteq L$$E\supseteq L$ e $L\supseteq F$$L\supseteq F$ estensioni puramente inseparabili, allora $E\supseteq F$$E\supseteq F$ è puramente inseparabile.

 

Dimostrazione

Sia $E\supseteq F$$E\supseteq F$, e $E\neq F$$E\neq F$, allora $L\supset F$$L\supset F$ oppure $E\supset L$$E\supset L$, da cui segue che ${\rm {{car}F=p}}$${\rm {{car}F=p}}$ (voglio escludere il caso di caratteristica 0). Data $\alpha \in E$$\alpha \in E$, $\alpha ^{p^{n}}\in L$$\alpha ^{p^{n}}\in L$, ma $E\supseteq L$$E\supseteq L$ è puramente inseparabile quindi posso applicare questa proprietà ad $\alpha ^{p^{n}}$$\alpha ^{p^{n}}$, cioè $(\alpha ^{p^{n}})^{p^{m}}=\alpha ^{p^{n+m}}\in F$$(\alpha ^{p^{n}})^{p^{m}}=\alpha ^{p^{n+m}}\in F$, e quindi $E\supseteq F$$E\supseteq F$ è puramente inseparabile.

 

Proprietà del campo degli elementi separabili su F

Sia $E\supseteq F$$E\supseteq F$ un'estensione algebrica, e considero l'insieme

$$S=\{\alpha \in E\,t.c.\,\alpha \,separabile\,su\,F\}$$

$$S=\{\alpha \in E\,t.c.\,\alpha \,separabile\,su\,F\}$$

Allora $S$$S$ è un campo, ed è l'unico campo con $E\supseteq S\supseteq F$$E\supseteq S\supseteq F$, $E\supseteq S$$E\supseteq S$ puramente inseparabile e $S\supseteq F$$S\supseteq F$ separabile.

Per dimostrare questo fatto è necessario il seguente lemma:

Lemma 6.1

Sia $E=F(\alpha ,\beta )$$E=F(\alpha ,\beta )$ con $\alpha ,\beta$$\alpha ,\beta$ separabili su $F$$F$, allora $E\supseteq F$$E\supseteq F$ è separabile.

 

Dimostrazione

Siano $f(x),g(x)$$f(x), g(x)$ i polinomi minimi di $\alpha$$\alpha$ e $\beta$$\beta$ rispettivamente su $F$$F$, e sia $h(x)=f(x)*g(x)\in F[x]$$h(x)=f(x)*g(x)\in F[x]$.

Sia $L$$L$ campo di spezzamento per $h(x)$$h(x)$ su $F$$F$. Ora $h(x)$$h(x)$ è un polinomio i cui fattori irriducibili, $f,g$$f,g$, sono separabili su $F$$F$, allora $L\supseteq F$$L\supseteq F$ è normale di grado finito.

Se considero la catena di estensioni $L\supseteq E\supseteq F$$L\supseteq E\supseteq F$, con $L\supseteq F$$L\supseteq F$ separabile, segue che anche $E\supseteq F$$E\supseteq F$ è separabile.

 

Teorema 6.6

Sia $E\supseteq F$$E\supseteq F$ un'estensione algebrica, e sia

$$S=\{\alpha \in E\,t.c.\,\alpha \,separabile\,su\,F\}$$

$$S=\{\alpha \in E\,t.c.\,\alpha \,separabile\,su\,F\}$$

Allora $S$$S$ è un campo, ed è l'unico campo intermedio $E\supseteq S\supseteq F$$E\supseteq S\supseteq F$ tale che $E\supseteq S$$E\supseteq S$ è puramente inseparabile e $S\supseteq F$$S\supseteq F$ è separabile.

 

Dimostrazione

1. Per dimostrare che $S$$S$ è un campo, basta mostrare che, dati $\alpha ,\beta \in S$$\alpha ,\beta \in S$, $\alpha -\beta \in S$$\alpha -\beta \in S$ e $\alpha \beta ^{-1}\in S$$\alpha \beta ^{-1}\in S$ per $\beta \neq 0$$\beta \neq 0$. Considero $F(\alpha ,\beta )$$F(\alpha ,\beta )$, che è un'estensione separabile di $F$$F$ per il lemma precedente. $F(\alpha ,\beta )$$F(\alpha ,\beta )$ contiene $\alpha -\beta$$\alpha -\beta$ e $\alpha \beta ^{-1}$$\alpha \beta ^{-1}$, e quindi sono separabili su $F$$F$. In particolare stanno in $S$$S$.
2. ovviamente $S\supseteq F$$S\supseteq F$ è separabile per come $S$$S$ è definito.
3. Rimane da provare che $E\supseteq S$$E\supseteq S$ è puramente inseparabile. Possiamo assumere che ${\rm {{Car}F=p}}$${\rm {{Car}F=p}}$, perché in caratteristica $0$$0$, $S$$S$ esaurisce tutti gli elementi di $E$$E$. Sia $\alpha \in E$$\alpha \in E$, e considero $f(x)$$f(x)$ polinomio minimo di $\alpha$$\alpha$ su $F$$F$.Si avrà $f(x)=g(x^{p^{n}})$$f(x)=g(x^{p^{n}})$ con $g(x)$$g(x)$ monico, irriducibile e separabile. Inoltre $0=f(\alpha )=g(\alpha ^{p^{n}})$$0=f(\alpha )=g(\alpha ^{p^{n}})$, allora $g$$g$ è il polinomio minimo di $\alpha ^{p^{n}}$$\alpha ^{p^{n}}$ ed è separabile, quindi $\alpha ^{p^{n}}$$\alpha ^{p^{n}}$ è separabile su $F$$F$, cioè per definizione $\alpha ^{p^{n}}\in S$$\alpha ^{p^{n}}\in S$, quindi $E\supseteq S$$E\supseteq S$ è puramente inseparabile perché vale la condizione 3 del teorema.
4. Mostriamo l'unicità di $S$$S$. Sia $T$$T$ un campo con $E\supseteq T\supseteq F$$E\supseteq T\supseteq F$, con $T\supseteq F$$T\supseteq F$ separabile e $E\supseteq T$$E\supseteq T$ puramente inseparabile. Mostriamo che $T=S$$T=S$.Dal fatto che $T\supseteq F$$T\supseteq F$ è separabile, segue che tutti gli elementi di $T$$T$ sono separabili su $F$$F$, quindi $T\subseteq S$$T\subseteq S$. Allora considero la catena di estensioni $E\supseteq S\supseteq T$$E\supseteq S\supseteq T$: siccome $E\supseteq T$$E\supseteq T$ è puramente inseparabile, anche $S\supseteq T$$S\supseteq T$ lo è. Considero ora la catena di estensioni $S\supseteq T\supseteq F$$S\supseteq T\supseteq F$, siccome $S\supseteq F$$S\supseteq F$ è separabile, anche $S\supseteq T$$S\supseteq T$ è separabile. Allora $S=T$$S=T$ perché $S$$S$ è contemporaneamente separabile e puramente inseparabile su $T$$T$.

 

Corollario 6.6

Sia $E\supseteq F$$E\supseteq F$ un'estensione di grado finito e non separabile, allora ${\rm {{car}F\mid |E:F|}}$${\rm {{car}F\mid |E:F|}}$.

 

Dimostrazione

Siccome per ipotesi l'estensione è non separabile, si ha che ${\rm {{Car}F=p}}$${\rm {{Car}F=p}}$ primo. Sia $S$$S$ l'insieme degli elementi di $E$$E$ separabili su $S$$S$, allora $E\neq S$$E\neq S$, $E\supseteq S$$E\supseteq S$ è puramente inseparabile e $|E:S|=p^{*}$$|E:S|=p^{*}$. Dal teorema della torre segue che ${\rm {{carF}=p\mid |E:S|\mid |E:F|=|E:S|*|S:F|}}$${\rm {{carF}=p\mid |E:S|\mid |E:F|=|E:S|*|S:F|}}$.

 

Proposizione 6.2

Sia $E\supseteq L\supseteq F$$E\supseteq L\supseteq F$ una catena di estensioni con $E\supseteq L$$E\supseteq L$ separabile e $L\supseteq F$$L\supseteq F$ separabile, allora $E\supseteq F$$E\supseteq F$ è separabile.

 

Dimostrazione

Sia $S$$S$ l'insieme degli elementi di $E$$E$ separabili su $F$$F$. Siccome $L\supseteq F$$L\supseteq F$ è separabile, segue che $L\subseteq S$$L\subseteq S$, allora posso considerare la catena di estensioni $E\supseteq S\supseteq L$$E\supseteq S\supseteq L$. Siccome $E\supseteq L$$E\supseteq L$ è separabile segue che $E\supseteq S$$E\supseteq S$ è separabile per un argomento già visto. Inoltre $E\supseteq S$$E\supseteq S$ è puramente inseparabile e unendo le due condizioni si ha $E=S$$E=S$, e quindi $E\supseteq F$$E\supseteq F$ è separabile.

 

Grado di separabilità

Definizione 6.4

Sia $E\supseteq F$$E\supseteq F$ un'estensione di grado finito, e sia $S$$S$ l'insieme degli elementi di $E$$E$ separabili su $F$$F$. Si dice grado di separabilità di $E$$E$ su $F$$F$ il grado di $S$$S$ su $F$$F$, cioè $|E:F|_{s}=|S:F|$$|E:F|_{s}=|S:F|$.

 

L'estensione $E\supseteq F$$E\supseteq F$ è separabile se e solo se $|E:F|=|E:F|_{s}$$|E:F|=|E:F|_{s}$. In generale $|E:F|_{s}\mid |E:F|$$|E:F|_{s}\mid |E:F|$, e il quoziente ${\frac {|E:F|}{|E:F|_{s}}}$${\frac {|E:F|}{|E:F|_{s}}}$ è una potenza di $p$$p$.

Lemma 6.2

Sia $E\supseteq F$$E\supseteq F$ un'estensione puramente inseparabile, e sia $f(x)\in F[x]$$f(x)\in F[x]$ monico, irriducibile e separabile. Allora $f(x)$$f(x)$ è irriducibile in $E[x]$$E[x]$.

 

Dimostrazione

Sia $g(x)$$g(x)$ un fattore monico e irriducibile di $f(x)$$f(x)$ in $E[x]$$E[x]$, e mostriamo che $g=f$$g=f$, provando così che $f$$f$ rimane irriducibile in $E[x]$$E[x]$. Sia $M$$M$ il campo di spezzamento per $f(x)$$f(x)$ su $E$$E$, quindi $M\supseteq E\supseteq F$$M\supseteq E\supseteq F$. Allora in $M$$M$, posso scrivere $g(x)=\prod _{i}(x-\alpha _{i})$$g(x)=\prod _{i}(x-\alpha _{i})$ dove gli $\alpha _{i}$$\alpha _{i}$ sono radici di $g(x)$$g(x)$ e quindi anche di $f(x)$$f(x)$.

Sia

$$S=\{\beta \in M\,t.c.\,\beta \,\,separabile\,su\,F\}$$

$$S=\{\beta \in M\,t.c.\,\beta \,\,separabile\,su\,F\}$$

e voglio mostrare che $g(x)\in S[x]$$g(x)\in S[x]$. Gli $\alpha _{i}$$\alpha _{i}$, radici di $g$$g$, sono anche radici di $f$$f$. Ora $f$$f$ è polinomio minimo di ciascuna sua radice in particolare di ciascun $\alpha _{i}$$\alpha _{i}$. Per ipotesi $f(x)$$f(x)$ è separabile su $F$$F$, allora gli $\alpha _{i}$$\alpha _{i}$ stanno in $S$$S$, $x-\alpha _{i}\in S[x]$$x-\alpha _{i}\in S[x]$ allora $g(x)\in S[x]$$g(x)\in S[x]$. Inoltre $g(x)\in E[x]$$g(x)\in E[x]$ quindi i coefficienti di $g$$g$ stanno in $S\cap E$$S\cap E$.

Concludo che $E\cap S=F$$E\cap S=F$ infatti valgono questi fatti:

1. $E\supseteq E\cap S\supseteq F$$E\supseteq E\cap S\supseteq F$ e $E\supseteq F$$E\supseteq F$ è puramente inseparabile, allora$E\cap S\supseteq F$$E\cap S\supseteq F$ è puramente inseparabile.
2. per costruzione $S\supseteq F$$S\supseteq F$ è separabile, e quindi anche $E\cap S\supseteq F$$E\cap S\supseteq F$ è separabile.

Allora $E\cap S=F$$E\cap S=F$, cioè $g(x)\in F[x]$$g(x)\in F[x]$, allora $g=f$$g=f$.

 

Teorema 6.7

Sia $E\supseteq F$$E\supseteq F$ un'estensione di grado finito, e siano $K,L$$K,L$ campi intermedi tra $E$$E$ ed $F$$F$ con $E\supseteq L$$E\supseteq L$ puramente inseparabile, $L\supseteq F$$L\supseteq F$ separabile, $E\supseteq K$$E\supseteq K$ separabile, $K\supseteq F$$K\supseteq F$ puramente inseparabile, come mostra lo schema seguente:

$${\begin{array}{ccccc}&&E&&\\&\diagup ^{p.ins.}&&\diagdown ^{sep.}&\\L&&&&K\\&\diagdown ^{sep.}&&\diagup ^{p.ins.}&\\&&F&&\end{array}}$$

$${\begin{array}{ccccc}&&E&&\\&\diagup ^{p.ins.}&&\diagdown ^{sep.}&\\L&&&&K\\&\diagdown ^{sep.}&&\diagup ^{p.ins.}&\\&&F&&\end{array}}$$

Allora $|L:F|=|E:K|$$|L:F|=|E:K|$.

 

Dimostrazione

Mostro le due disuguaglianze:

DISUGUAGLIANZA 1: $|L:F|\leq |E:K|$$|L:F|\leq |E:K|$: Sia $\alpha \in L$$\alpha \in L$, e sia $f(x)\in F[x]$$f(x)\in F[x]$ il suo polinomio minimo. Siccome $K\supseteq F$$K\supseteq F$ è puramente inseparabile, $f(x)$$f(x)$ rimane irriducibile come polinomio in $K[x]$$K[x]$. Allora $|F(\alpha ):F|=|K(\alpha ):K|$$|F(\alpha ):F|=|K(\alpha ):K|$. Per il teorema dell'elemento primitivo, siccome $L\supseteq F$$L\supseteq F$ è separabile, posso scrivere $L=F(\alpha )$$L=F(\alpha )$ (con abuso di notazione). Allora $|L:F|=|F(\alpha ):F|=|K(\alpha ):K|\leq |E:K|$$|L:F|=|F(\alpha ):F|=|K(\alpha ):K|\leq |E:K|$. DISUGUAGLIANZA 2: $|E:K|\leq |L:F|$$|E:K|\leq |L:F|$: $E\supseteq K$$E\supseteq K$ e per il teorema dell'elemento primitivo posso scrivere $E=K(\beta )$$E=K(\beta )$ per un certo $\beta$$\beta$. $E\supseteq L$$E\supseteq L$ è puramente inseparabile, allora $\beta ^{p^{n}}\in L$$\beta ^{p^{n}}\in L$ per un certo $n\geq 0$$n\geq 0$, $p={\rm {{car}F}}$$p={\rm {{car}F}}$ (se ${\rm {{car}F=0}}$${\rm {{car}F=0}}$, $L=E$$L=E$ e $K=F$$K=F$). Considero $E=K(\beta )\supseteq K(\beta ^{p^{n}})$$E=K(\beta )\supseteq K(\beta ^{p^{n}})$. Da un lato, siccome $\beta ^{p^{n}}\in K(\beta ^{p^{n}})$$\beta ^{p^{n}}\in K(\beta ^{p^{n}})$, $E\supseteq K(\beta ^{p^{n}})$$E\supseteq K(\beta ^{p^{n}})$ è puramente inseparabile; d'altra parte $E\supseteq K(\beta ^{p^{n}})\supseteq K$$E\supseteq K(\beta ^{p^{n}})\supseteq K$, e siccome $E\supseteq K$$E\supseteq K$ è separabile, lo è anche $E\supseteq K(\beta ^{p^{n}})$$E\supseteq K(\beta ^{p^{n}})$. Deduco che $E=K(\beta ^{p^{n}})$$E=K(\beta ^{p^{n}})$.

Quindi

$$|E:K|=|K(\beta ^{p^{n}}):K|=|F(\beta ^{p^{n}}):F|\leq |L:F|$$

$$|E:K|=|K(\beta ^{p^{n}}):K|=|F(\beta ^{p^{n}}):F|\leq |L:F|$$

perché $\beta ^{p^{n}}\in L$$\beta ^{p^{n}}\in L$. Noto anche che la seconda uguglianza segue dallo stesso argomento usato all'inizio di questa dimostrazione.

 

Teorema 6.8 (moltiplicatività del grado di separabilità)

Siano $E\supseteq U\supseteq F$$E\supseteq U\supseteq F$ campi con $|E:F|$$|E:F|$ finito. Allora $|E:F|_{s}=|E:U|_{s}*|U:F|_{s}$$|E:F|_{s}=|E:U|_{s}*|U:F|_{s}$.

 

Dimostrazione

Considero lo schema seguente:

$${\begin{array}{ccccc}&&E&&\\&&\vert ^{p.ins.}&&\\&&T&&\\&\diagup ^{sep.}&&\diagdown ^{p.ins.}&\\U&&&&V\\&\diagdown ^{p.ins.}&&\diagup ^{sep.}&\\&&S&&\\&&\vert ^{sep.}&&\\&&F&&\end{array}}$$

$${\begin{array}{ccccc}&&E&&\\&&\vert ^{p.ins.}&&\\&&T&&\\&\diagup ^{sep.}&&\diagdown ^{p.ins.}&\\U&&&&V\\&\diagdown ^{p.ins.}&&\diagup ^{sep.}&\\&&S&&\\&&\vert ^{sep.}&&\\&&F&&\end{array}}$$

Considero $E\supseteq U$$E\supseteq U$, e chiamo

$$T=\{\beta \in E\,t.c.\,\beta \,separabile\,su\,U\}$$

$$T=\{\beta \in E\,t.c.\,\beta \,separabile\,su\,U\}$$

allora segue che $E\supseteq T$$E\supseteq T$ è puramente inseparabile, $T\supseteq U$$T\supseteq U$ è separabile. Considero poi $U\supseteq F$$U\supseteq F$, e pongo

$$S=\{\alpha \in U\,t.c.\;\alpha \,separabile\,su\,F\}$$

$$S=\{\alpha \in U\,t.c.\;\alpha \,separabile\,su\,F\}$$

allora segue che $U\supseteq S$$U\supseteq S$ è puramente inseparabile e $S\supseteq F$$S\supseteq F$ è separabile.
Considero la catena di estensioni

$$E\supseteq T\supseteq U\supseteq S\supseteq F$$

$$E\supseteq T\supseteq U\supseteq S\supseteq F$$

e pongo

$$V=\{\gamma \in T\,t.c.\gamma \,separabile\,su\,S\}$$

$$V=\{\gamma \in T\,t.c.\gamma \,separabile\,su\,S\}$$

allora $T\supseteq V$$T\supseteq V$ è puramente inseparabile, mentre $V\supseteq S$$V\supseteq S$ è separabile.

Ogni pezzo della catena di estensioni $V\supseteq S\supseteq F$$V\supseteq S\supseteq F$ è separabile. Allora $V\supseteq F$$V\supseteq F$ è separabile per transitività.

Se considero $E\supseteq T\supseteq V$$E\supseteq T\supseteq V$, $E\supseteq T$$E\supseteq T$ è puramente inseparabile e $T\supseteq V$$T\supseteq V$ è puramente inseparabile, allora $E\supseteq V$$E\supseteq V$ è puramente inseparabile. Per l'unicità del campo intermedio $V$$V$ che soddisfa queste due condizioni segue che

$$V=\{\gamma \in E\,t.c.\,\gamma \,separabile\,su\,F\}$$

$$V=\{\gamma \in E\,t.c.\,\gamma \,separabile\,su\,F\}$$

Segue che $|E:F|_{s}=|V:F|$$|E:F|_{s}=|V:F|$, inoltre per il teorema della torre

$$|V:F|=|V:S|*|S:F|=|V:S|*|U:F|_{s},$$

$$|V:F|=|V:S|*|S:F|=|V:S|*|U:F|_{s},$$

ma $|V:S|=|T:U|$$|V:S|=|T:U|$ per il teorema precedente, e $|T:U|=|E:U|_{s}$$|T:U|=|E:U|_{s}$ cioè, unendo queste formule, $|E:F|_{s}=|E:U|_{s}*|U:F|_{s}$$|E:F|_{s}=|E:U|_{s}*|U:F|_{s}$.