Teoremi di Sylow

Proposizione introduttiva

Proposizione (230)

Sia $G$$G$ un gruppo finito di ordine $m$$m$ e sia $p$$p$ un primo tale che $m=p^{a}*n$$m=p^{a}*n$, per qualche $a>0$$a>0$ (sia $p$$p$ un divisore primo dell'ordine del gruppo). Denotiamo con $N(p^{a})$$N(p^{a})$ il numero dei sottogruppi di $G$$G$ di ordine $p^{a}$$p^{a}$. Allora $N(p^{a})$$N(p^{a})$ è congruo a $1$$1$ modulo $p$$p$ ed è maggiore di $0$$0$.

 

Dimostrazione

Cardinalità di $X$$X$: Sia $X$$X$ l'insieme di tutti i sottoinsiemi $S\in G$$S\in G$ tali che $O(S)=p^{a}$$O(S)=p^{a}$. La cardinalità di $X$$X$ è data da ${\binom {m}{p^{a}}}={\binom {p^{a}*n}{p^{a}}}={\binom {o(G)}{o(S)}}$${\binom {m}{p^{a}}}={\binom {p^{a}*n}{p^{a}}}={\binom {o(G)}{o(S)}}$.

Consideriamo l'azione di $G$$G$ su $X$$X$ definita da $(g,S)\mapsto g.S=gS=\{gs,\,s\in S\}$$(g,S)\mapsto g.S=gS=\{gs,\,s\in S\}$.

Si può verificare che valgono le proprietà di azione.

Quest'azione dà luogo a una partizione in $G$$G$-orbite dei sottoinsiemi. In ciascuna orbita si può scegliere un rappresentante.

Sia $\{S_{i}\}$$\{S_{i}\}$ un insieme completo di rappresentanti per le $G$$G$-orbite sull'insieme $X$$X$. Allora per l'equazione delle orbite $|X|=\sum _{i}|G.S_{i}|$$|X|=\sum _{i}|G.S_{i}|$.

Stabilizzatore: Poniamo $G_{i}=G_{S_{i}}$$G_{i}=G_{S_{i}}$ (lo stabilizzatore di $S_{i}$$S_{i}$ in $G$$G$).

Allora poiché $G_{i}=\{g\in Gt.c.g.S_{i}=S_{i}\}$$G_{i}=\{g\in Gt.c.g.S_{i}=S_{i}\}$, sicuramente $S_{i}$$S_{i}$ è unione insiemistica di laterali destri del sottogruppo $G_{i}\in G$$G_{i}\in G$, infatti:

$$S_{i}=\{s_{i1},s_{ir_{i}}\}=G_{i}*S_{i}=\bigcup _{j=1}^{r_{i}}G_{i}*s_{ij}$$

$$S_{i}=\{s_{i1},s_{ir_{i}}\}=G_{i}*S_{i}=\bigcup _{j=1}^{r_{i}}G_{i}*s_{ij}$$

Sia $S_{i}=\bigcup _{j=1}^{r_{i}}G_{i}*s_{ij}$$S_{i}=\bigcup _{j=1}^{r_{i}}G_{i}*s_{ij}$, $s_{ij}\in S_{i}$$s_{ij}\in S_{i}$. Ne segue che l'ordine di $S_{i}$$S_{i}$ che è $p^{a}$$p^{a}$ è uguale a $p^{a}=|S_{i}|=\sum _{j=1}^{r_{i}}|G_{i}*s_{ij}|=o(G_{i})*r_{i}$$p^{a}=|S_{i}|=\sum _{j=1}^{r_{i}}|G_{i}*s_{ij}|=o(G_{i})*r_{i}$, da cui $o(G_{i})$$o(G_{i})$ è un divisore di $p^{a}$$p^{a}$ ed è $p^{b_{i}}\leq p^{a}$$p^{b_{i}}\leq p^{a}$.

Se $b_{i}<a$$b_{i}<a$, allora la cardinalità dell'orbita è uguale al rapporto tra l'ordine di $G$$G$ e l'ordine dello stabilizzatore $G_{i}$$G_{i}$. Quindi si ha:

$$|G.S_{i}|={\frac {|G|}{|G_{i}|}}=$$

$$|G.S_{i}|={\frac {|G|}{|G_{i}|}}=$$

$$=(m)/(p^{b_{i}})={\frac {n*p^{a}}{p^{b_{i}}}}=p^{a-b_{i}}*n\equiv 0\mod pn$$

$$=(m)/(p^{b_{i}})={\frac {n*p^{a}}{p^{b_{i}}}}=p^{a-b_{i}}*n\equiv 0\mod pn$$

. (è divisibile per $pn$$pn$).

Invece se $b_{i}=a$$b_{i}=a$ si ha

$${\frac {p^{a}*n}{p^{a}}}=n\not \equiv 0\mod pn$$

$${\frac {p^{a}*n}{p^{a}}}=n\not \equiv 0\mod pn$$

Possiamo eliminare dalla 1 i termini congrui a $0$$0$ modulo $pn$$pn$ ottenendo:

$$|X|\equiv {\binom {p^{a}*n}{p^{a}}}\equiv \sum _{|G.S_{i}|=n}|G.S_{i}|\mod pn$$

$$|X|\equiv {\binom {p^{a}*n}{p^{a}}}\equiv \sum _{|G.S_{i}|=n}|G.S_{i}|\mod pn$$

$$|X|\equiv |G.S_{i}|\mod pn$$

$$|X|\equiv |G.S_{i}|\mod pn$$

dove $i$$i$ sono le orbite di lunghezza $n$$n$.

 

Osservazione (231)

Se prendo un'orbita di lunghezza $|G.S_{i}|=n$$|G.S_{i}|=n$, allora $b_{i}=a$$b_{i}=a$ e quindi l'ordine dello stabilizzatore $G_{i}$$G_{i}$ è $p^{a}$$p^{a}$ (lo stabilizzatore ha ordine uguale al numero delle orbite). Il sottogruppo $G_{i}$$G_{i}$ e il sottoinsieme $S_{i}$$S_{i}$ hanno lo stesso ordine.

 

Sottogruppo coniugato: $O(S_{i})=O(G_{i})$$O(S_{i})=O(G_{i})$ e quindi $r_{i}=1$$r_{i}=1$ (deriva dalla relazione $|G.S_{i}|=|G_{i}|*r_{i}$$|G.S_{i}|=|G_{i}|*r_{i}$). Quindi c'è un solo laterale e $S_{i}=G_{i}*s_{i}$$S_{i}=G_{i}*s_{i}$. Segue che $(s_{i})^{-1}S_{i}=(s_{i})^{-1}G_{i}s_{i}$$(s_{i})^{-1}S_{i}=(s_{i})^{-1}G_{i}s_{i}$. Siccome $G_{i}$$G_{i}$ è un sottogruppo, questo è il coniugato di $G_{i}$$G_{i}$ mediante $s_{i}$$s_{i}$. Ho un sottogruppo di $G$$G$ di ordine $p^{a}$$p^{a}$ contenuto nell'orbita $g.S_{i}$$g.S_{i}$, che chiamo $b_{i}$$b_{i}$.

Biezione tra orbite e laterali: Quindi $g.S_{i}=\bigcup \{g*b_{i}\}$$g.S_{i}=\bigcup \{g*b_{i}\}$ cioè l'orbita $g.S_{i}$$g.S_{i}$ è unione dei laterali sinistri $gb_{i}$$gb_{i}$ al variare di $g$$g$ in $G$$G$. Quindi l'orbita può essere scritta come il sottoinsieme dei laterali del sottogruppo $b_{i}\in G$$b_{i}\in G$.

Inversamente, se suppongo che ci sia un sottogruppo $U$$U$ di ordine $p^{a}$$p^{a}$ e considero i suoi laterali sinistri che sono un'orbita per l'azione, ad esso corrisponde una $G$$G$-orbita $O$$O$ data da $\{gU,g\in G\}$$\{gU,g\in G\}$ di lunghezza $n$$n$.

In conclusione: se ho un'orbita di lunghezza $n$$n$, essa è costituita dai laterali sinistri del sottogruppo di ordine $p^{a}$$p^{a}$ di $G$$G$. Se esiste un sottogruppo di ordine $p^{a}$$p^{a}$, l'orbita ha lunghezza $n$$n$.

Si può costruire una biezione tra i sottogruppi di $G$$G$ di ordine $p^{a}$$p^{a}$ e le orbite di lunghezza $n$$n$.

Se immagino di avere un sottogruppo $U$$U$ di $G$$G$ di ordine $p^{a}$$p^{a}$, posso associargli l'orbita di tutti i laterali sinistri.

Lemma (232)

Supponiamo che esistano due sottogruppi distinti $U_{1}$$U_{1}$ e $U_{2}$$U_{2}$ di ordine $P^{a}$$P^{a}$, allora le orbite $O_{1}=\{gU_{1},g\in G\}$$O_{1}=\{gU_{1},g\in G\}$ e $O_{2}=\{gU_{2},g\in G\}$$O_{2}=\{gU_{2},g\in G\}$ associate sono distinte.

 

Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che l'orbita sia la stessa. Allora $U_{1}$$U_{1}$ sta in $O_{1}$$O_{1}$ e deve essere uguale a un elemento di $O_{2}$$O_2$, quindi dev'essere $U_{1}=gU_{2}$$U_{1}=gU_{2}$. Ma preso un laterale $gH$$gH$ di un sottogruppo $H$$H$, questo è un sottogruppo solo se coincide con $H$$H$ stesso. Allora l'unico elemento di $O_{2}$$O_2$ che può essere uguale a $U_{1}$$U_{1}$ è $U_{2}$$U_{2}$, e questa è una contraddizione perché per ipotesi $U_{1}\neq U_{2}$$U_{1}\neq U_{2}$.

 

Conseguenze: in forza di queste osservazioni, deduciamo che il numero delle $G$$G$-orbite su $X$$X$ aventi lunghezza $n$$n$ è uguale al numero dei sottogruppi di $G$$G$ di ordine $p^{a}$$p^{a}$. (le orbite distinte di lunghezza $n$$n$ corrispondono ai sottogruppi di ordine $p^{a}$$p^{a}$ e sono tutte disgiunte).

La cardinalità di $X$$X$ è congrua modulo $pn$$pn$ alla somma delle cardinalità orbite di lunghezza $n$$n$. allora

$$|X|={\binom {p^{a}*n}{p^{a}}}\equiv n*N(p^{a})\mod pn$$

$$|X|={\binom {p^{a}*n}{p^{a}}}\equiv n*N(p^{a})\mod pn$$

Gruppi ciclici: Questa formula dev'essere vera per ogni gruppo $G$$G$, e quindi anche nel caso in cui $G$$G$ è un gruppo ciclico finito.

Per questi gruppi il teorema di lagrange si inverte: se $G$$G$ è ciclico, $N(p^{a})=1$$N(p^{a})=1$, perché per ogni divisore del gruppo esiste un unico sottogruppo che ha come ordine quel divisore, e dunque si ottiene

$$|X|={\binom {p^{a}*n}{p^{a}}}\equiv n\mod pn$$

$$|X|={\binom {p^{a}*n}{p^{a}}}\equiv n\mod pn$$

Conclusione: Considero quindi le due disuguaglianze:

1. $$|X|={\binom {p^{a}*n}{p^{a}}}\equiv n*N(p^{a})\mod pn$$

   $$|X|={\binom {p^{a}*n}{p^{a}}}\equiv n*N(p^{a})\mod pn$$
2. $$|X|={\binom {p^{a}*n}{p^{a}}}\equiv n\mod pn$$

   $$|X|={\binom {p^{a}*n}{p^{a}}}\equiv n\mod pn$$

quindi unendo le due congruenze per la proprietà transitiva:

$$n*N(p^{a})\equiv n\mod pn$$

$$n*N(p^{a})\equiv n\mod pn$$

semplificando per $n$$n$:

$$N(p^{a})\equiv 1\mod p$$

$$N(p^{a})\equiv 1\mod p$$

Primo teorema di Silow

Definizione (233 $p$-sottogruppo di Sylow)

Sia $G$$G$ un gruppo finito di ordine $p^{a}*n$$p^{a}*n$ ove $p$$p$ è un primo e $p\nmid n$$p\nmid n$ ($p^{a}$$p^{a}$ è la massima potenza di $p$$p$ che divide l'ordine del gruppo). Un sottogruppo $P$$P$ di $G$$G$ di ordine $p^{a}$$p^{a}$ si dice $p$$p$-sottogruppo di Sylow di $G$$G$.

 

Dalla proposizione precedente segue come corollario il primo teorema di Sylow:

Corollario (234 Primo teorema di Sylow)

Per ogni primo $p$$p$ ogni gruppo finito contiene i sottogruppi di Sylow e il numero $n_{p}$$n_{p}$ dei $p$$p$-sottogruppi di Sylow è congruo a $1$$1$ modulo $p$$p$.

 

Corollario di Cauchy

Un'altra conseguenza della proposizione è il corollario di Cauchy.

Corollario (235 Corollario di Cauchy)

Se $p$$p$ è un primo che divide l'ordine del gruppo $G$$G$, il gruppo $G$$G$ contiene elementi di periodo $p$$p$ (è il caso particolare in cui la potenza di $p$$p$ che divide $G$$G$ è $a=1$$a=1$).

 

Definizione (236 $p$-gruppo)

Sia $p$$p$ un primo. Un gruppo $G$$G$ non necessariamente finito si dice $p$$p$-gruppo se ogni suo elemento ha come periodo una potenza di $p$$p$.

 

Esercizio (237)

Nel caso finito, un gruppo $G$$G$ è un $p$$p$-gruppo se e solo se ha come ordine una potenza di $p$$p$.

Supponiamo che $G$$G$ abbia come ordine una potenza di $p$$p$: allora $G$$G$ è un $p$$p$-gruppo, perché ogni suo elemento ha come periodo un divisore dell'ordine di $G$$G$, cioè una potenza di $p$$p$.

Viceversa, se $G$$G$ è un $p$$p$-gruppo, supponiamo che per assurdo non abbia come ordine una potenza di $p$$p$. Allora il suo ordine deve essere divisibile per un altro primo $q\neq p$$q\neq p$, ma per il corollario di Cauchy questo significca che $G$$G$ contiene elementi di periodo $q$$q$ diverso da una potenza di $p$$p$ e quindi non sarebbe un $p$$p$-gruppo.

 

Secondo teorema di Sylow

Teorema (238 Secondo teorema di Sylow)

Sia $G$$G$ un gruppo finito e $p$$p$ un primo. Allora:

1. Se $P$$P$ è un $p$$p$-gruppo di Sylow, e $U$$U$ è un qualsiasi $p$$p$-sottogruppo di $G$$G$ con ordine una potenza di $p$$p$, allora esiste un elemento

$g\in G$$g\in G$ tale che $U$$U$ sia contenuto nel coniugato $gPg^{-1}$$gPg^{-1}$. (ogni $P$$P$-sottogruppo di $G$$G$ è contenuto in un $P$$P$-sylow, inoltre si può considerare $U$$U$ come un sottogruppo del coniugato di $P$$P$)

1. I $p$$p$-sottogruppi di Sylow di $G$$G$ formano una classe di coniugio di sottogruppi di $G$$G$ (un'orbita), in

particolare $n_{p}\mid {\frac {o(G)}{o(P)}}$$n_{p}\mid {\frac {o(G)}{o(P)}}$, dove $n_{p}$$n_{p}$ è il numero dei $p$$p$-sottogruppi di Sylow.

 

Dimostrazione

1. Consideriamo l'azione di $U$$U$ per moltiplicazione a sinistra sui laterali sinistri di $P$$P$, cioè l'azione di $U$$U$ sull'insieme $G|P$$G|P$.

$\sigma \colon U\times G|p\to G|p$$\sigma \colon U\times G|p\to G|p$ definita ponendo per ogni $u\in U$$u\in U$, $u.gP=ugP$$u.gP=ugP$. In altre parole $\sigma _{u}(gP)=ugP$$\sigma _{u}(gP)=ugP$.

Si può verificare che è un'azione del $p$$p$-sottogruppo $U$$U$ sui laterali sinistri di $U$$U$ in $G$$G$.

Poiché $U$$U$ è un $P$$P$-gruppo, la lunghezza di ogni $u$$u$-orbita dev'essere un divisore dell'ordine di $U$$U$ e quindi una potenza di $p$$p$. (perché ogni $u$$u$ ha periodo una potenza di $p$$p$). D'altronde, poiché $p$$p$ è un $P$$P$-Sylow di $G$$G$, il numero dei laterali sinistri di $P$$P$ in $G$$G$ è coprimo con $p$$p$ (l'indice di un Sylow è uguale a $O(G)/o(p)=nt.c.p\nmid n$$O(G)/o(p)=nt.c.p\nmid n$).

Ne segue che esiste almeno una $u$$u$-orbita su $G|P$$G|P$ di lunghezza $1$$1$, ovvero esiste almeno un laterale sinistro $gP$$gP$ di $P$$P$ in $G$$G$ tale che costituisca da solo un'orbita di lunghezza $1$$1$. Quindi per ogni $u\in U$$u\in U$, $gp=ugp$$gp=ugp$ per ogni $u\in U$$u\in U$. Segue che $uP=ugP$$uP=ugP$ per ogni $u\in U$$u\in U$. e quindi $ug$$ug$ appartiene a $gP$$gP$.

Moltiplicando a destra per l'inverso di $g$$g$, $u$$u$ appartiene a $gPg^{-1}$$gPg^{-1}$, cioè Sta nel coniugati di $P$$P$ per ogni $u\in U$$u\in U$, quindi $U$$U$ è contenuto in $gPg^{-1}$$gPg^{-1}$.

1. Il punto 2 segue subito dall'1. Se prendo un sottogruppo dello stesso ordine di $P$$P$, allora $U$$U$ è contenuto in qualche coniugato di $P$$P$ e quindi $U$$U$ è uguale a $gPg^{-1}$$gPg^{-1}$.

I $P$$P$-Sylow costituiscono un'intera $G$$G$-orbita.

 

Un $p$$p$-sottogruppo di Sylow è unico del suo ordine se e solo se è normale in $G$$G$.

Riepilogo

Se $G$$G$ è un gruppo finito il cui ordine è $o(G)=p^{a}*n$$o(G)=p^{a}*n$ dove $p$$p$ è un divisore primo di $o(G)$$o(G)$ e $p$$p$ è primo con $n$$n$, allora esistono dei sottogruppi $P\in G$$P\in G$ di ordine $p^{a}$$p^{a}$. Essi si chiamano $P$$P$-sottogruppi di Sylow. Il numero $n_{p}$$n_{p}$ di questi sottogruppi è congruo a 1 modulo $p$$p$ e divide l'indice di un P-Sylow, cioè divide ${\frac {O(G)}{O(P)}}$${\frac {O(G)}{O(P)}}$.

Per il secondo teorema di Sylow, se $U$$U$ è un sottogruppo di $G$$G$ dove $O(U)$$O(U)$ è una potenza di $P$$P$ ($U$$U$ è un p-sottogruppo) allora esiste $g\in G$$g\in G$ tale che $U\in gPg^{-1}$$U\in gPg^{-1}$ dove $P$$P$ è un P-Sylow di $G$$G$.

In particolare, i $P$$P$-sottogruppi di Sylow di $G$$G$ sono tutti tra loro coniugati e formano una classe completa di coniugio di $G$$G$.

Se $U$$U$ è un P-Sylow, allora $U=gPg^{-1}$$U=gPg^{-1}$ perché ha ordine uguale a $gPg^{-1}$$gPg^{-1}$. Il numero esatto di sottogruppi di $G$$G$ è uguale all'indice del normalizzante di $P$$P$ in $G$$G$.

Consideriamo il gruppo $Gl(n,F)$$Gl(n,F)$. Supponiamo che $f$$f$ sia finito. Si può provare che un campo finito ha necessariamente come ordine la potenza di un primo. Supponiamo che $F$$F$ abbia ordine $p^{a}$$p^{a}$. Prendendo le matrici unitriangolari alte, esse formano un P-sottogruppo di Sylow.

Per determinare l'ordine di $Gl(n,F)$$Gl(n,F)$ basta prendere tutte le matrici lineari: esse sono determinate univocamente dal fatto che presa una base, si decide quali immagini hanno i vettori della base. Se $o(f)=p^{q}$$o(f)=p^{q}$, l'immagine del primo vettore di una base fissata può essere scelta tra $q^{n-1}$$q^{n-1}$ vettori (non il vettore nullo). Per il secondo si può scegliere tra $q^{n-q}$$q^{n-q}$ vettori (vanno scartati i vettori linearmente dipendenti agli altri).

$$q^{n*q^{n-1}}$$

$$q^{n*q^{n-1}}$$

si raccoglie la massima potenza di p che divide il prodotto e quello che si ottiene è uguale all'ordine del sottogruppo delle matrici triangolari.